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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 第十二篇 概率、隨機變量及其分布 第1講　隨機事件的概率教案 理 新人教版 【xx年高考會這樣考】 1．隨機事件的概率在高考中多以選擇題、填空題的形式考查，也時常在解答題中出現(xiàn)，應(yīng)用題也是?？碱}型，并且常與統(tǒng)計知識放在一塊考查． 2．借助古典概型考查互斥事件、對立事件的概率求法． 【復習指導】 隨機事件的概率常與古典概型、互斥、對立事件、統(tǒng)計等相結(jié)合進行綜合考查，對事件類型的準確判斷和對概率運算公式的熟練掌握是解題的基礎(chǔ)，因此，復習時要通過練習不斷強化對事件類型的理解和公式的掌握，弄清各事件類型的特點與本質(zhì)區(qū)別，準確判斷事件的類型是解題的關(guān)鍵． 基礎(chǔ)梳理 1．隨機事件和確定事件 (1)在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的必然事件． (2)在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的不可能事件． (3)必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為確定事件． (4)在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機事件． (5)確定事件和隨機事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A，B，C…表示． 2．頻率與概率 (1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率． 3．互斥事件與對立事件 (1)互斥事件：若A∩B為不可能事件(A∩B＝?)，則稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生． (2)對立事件：若A∩B為不可能事件，而A∪B為必然事件，那么事件A與事件B互為對立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生． 4．概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(A)＝1. (3)不可能事件的概率：P(A)＝0. (4)互斥事件的概率加法公式： ①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)． ②P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)． (5)對立事件的概率：P()＝1－P(A)． 一條規(guī)律 互斥事件與對立事件都是兩個事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件． 兩種方法 求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法： (1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算； (2)間接法：先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”、“至少”型題目，用間接法就顯得比較簡便． 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　)． A．必然事件 B．隨機事件 C．不可能事件 D．無法確定 答案　B 2．在n次重復進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為，當n很大時，P(A)與的關(guān)系是(　　)． A．P(A)≈ B．P(A)＜ C．P(A)＞ D．P(A)＝ 解析　事件A發(fā)生的概率近似等于該頻率的穩(wěn)定值． 答案　A 3．(xx蘭州月考)從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥而不對立的事件是(　　)． A．至少有一個紅球與都是紅球 B．至少有一個紅球與都是白球 C．至少有一個紅球與至少有一個白球 D．恰有一個紅球與恰有二個紅球 解析　對于A中的兩個事件不互斥，對于B中兩個事件互斥且對立，對于C中兩個事件不互斥，對于D中的兩個互斥而不對立． 答案　D 4．(xx陜西)甲乙兩人一起去游“xx西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　若用{1,2,3,4,5,6}代表6處景點，顯然甲、乙兩人選擇結(jié)果為{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36種；其中滿足題意的“同一景點相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6個基本事件，所以所求的概率值為. 答案　D 5．(xx湖北)在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期．從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為________(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)． 解析　所取的2瓶中都是不過期的飲料的概率為P＝＝，則至少有1瓶為已過保質(zhì)期飲料的概率＝1－P＝. 答案　 　 考向一　互斥事件與對立事件的判定 【例1】?判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從1～10各10張)中，任取一張． (1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”； (2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”． [審題視點] 可用集合的觀點判斷． 解　(1)是互斥事件，不是對立事件． 原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”與“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還有可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件． (2)既是互斥事件，又是對立事件． 原因是：從40張撲克牌中，任意抽取1張．“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件． (3)不是互斥事件，也不是對立事件． 原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張．“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件． 對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，這些也可類比集合進行理解，具體應(yīng)用時，可把所有試驗結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系． 【訓練1】 一個均勻的正方體的玩具的各個面上分別標以數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過3，事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4，則(　　)． A．A與B是互斥而非對立事件 B．A與B是對立事件 C．B與C是互斥而非對立事件 D．B與C是對立事件 解析　根據(jù)互斥事件與對立事件的意義作答，A∩B＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3}，事件A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B∪C＝Ω，故事件B，C是對立事件． 答案　D 考向二　隨機事件的概率與頻率 【例2】?(xx湖南)某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計，當X＝70時，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的頻率分布表： 近20年六月份降雨量頻率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 頻率 (2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率． [審題視點] 第一問中的統(tǒng)計表是降雨量的統(tǒng)計表，只要根據(jù)給出的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計計算即可；第二問中根據(jù)給出的X，Y的函數(shù)關(guān)系，求出Y＜490或者Y＞530對應(yīng)的X的范圍，結(jié)合第一問的概率分布情況求解，或者求解其對立事件的概率． 解　(1)在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個．故近20年六月份降雨量頻率分布表為 降雨量 70 110 140 160 200 220 頻率 (2)由已知得Y＝＋425，故P(“發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時”)＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝＋＋＝. 故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率為. 概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學抽象，當試驗次數(shù)越來越多時頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當作隨機事件的概率． 【訓練2】 某市統(tǒng)計的xx～xx年新生嬰兒數(shù)及其中男嬰數(shù)(單位：人)見下表： 時間 xx年 xx年 xx年 xx年 新生嬰兒數(shù) 21 840 23 070 20 094 19 982 男嬰數(shù) 11 453 12 031 10 297 10 242 (1)試計算男嬰各年的出生頻率(精確到0.001)； (2)該市男嬰出生的概率約是多少？ 解　(1)xx年男嬰出生的頻率為fn(A)＝＝≈0.524. 同理可求得xx年、xx年和xx年男嬰出生的頻率分別約為0.521、0.512、0.513. (2)由以上計算可知，各年男嬰出生的頻率在0.51～0.53之間，所以該市男嬰出生的概率約為0.52. 考向三　互斥事件、對立事件的概率 【例3】?據(jù)統(tǒng)計，某食品企業(yè)在一個月內(nèi)被消費者投訴次數(shù)為0,1,2的概率分別為0.4,0.5,0.1. (1)求該企業(yè)在一個月內(nèi)被消費者投訴不超過1次的概率； (2)假設(shè)一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率． [審題視點] (1)根據(jù)互斥事件，第(1)問可轉(zhuǎn)化為求被消費者投訴0次和1次的概率和． (2)第(2)問可轉(zhuǎn)化為求以下三種情形的概率和：①1,2月份各被投訴1次；②1,2月份各被投訴0,2次；③1,2月份各被投訴2,0次． 解　法一　(1)設(shè)事件A表示“一個月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0”，事件B表示“一個月內(nèi)被投訴的次數(shù)為1”， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9. (2)設(shè)事件Ai表示“第i個月被投訴的次數(shù)為0”，事件Bi表示“第i個月被投訴的次數(shù)為1”，事件Ci表示“第i個月被投訴的次數(shù)為2”，事件D表示“兩個月內(nèi)共被投訴2次”． ∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2)， ∵兩個月中，一個月被投訴2次，另一個月被投訴0次的概率為P(A1C2＋A2C1)， 一、二月份均被投訴1次的概率為P(B1B2)， ∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)， 由事件的獨立性得 P(D)＝0.40.1＋0.10.4＋0.50.5＝0.33. 法二　(1)設(shè)事件A表示“一個月內(nèi)被投訴2次”，事件B表示“一個月內(nèi)被投訴的次數(shù)不超過1次”． ∵P(A)＝0.1，∴P(B)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9. (2)同法一． 本題主要考查隨機事件，互斥事件有一個發(fā)生的概率及相互獨立事件同時發(fā)生的概率；實際生活中的概率問題，在閱讀理解的基礎(chǔ)上，利用互斥事件分類，有時還借助對立事件尋求間接求解問題的捷徑，這類問題重在考查學生思維的靈活性和解決實際問題的能力． 【訓練3】 某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得，1 000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1張獎券的中獎概率； (3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率． 解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分別為，，. (2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C.∵A、B、C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝. 故1張獎券的中獎概率為. (3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝. 故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為.　　 難點突破24——事件對立與互斥的辨別問題 對事件的互斥性與對立性的辨別，在解題中要根據(jù)問題的具體情況作出準確的判斷．互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，其概率滿足加法公式，即若A，B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；對立事件是必然有一個發(fā)生的兩個互斥事件，也就是說對立的兩個事件首先必須是互斥的，而且這兩個事件之和是一個必然事件，即一個事件A與它的對立事件的概率之間有關(guān)系式P(A)＋P()＝1，用好這個關(guān)系對解決概率問題是非常有用的，它往往能使復雜的問題簡單化． 【示例1】? (xx蘇州模擬)甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是對立事件，那么(　　)． A．甲是乙的充分但不必要條件 B．甲是乙的必要但不充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 【示例2】? 拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標有數(shù)字1、 2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過3”，求P(A∪B)．