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2019-2020年高考數(shù)學單元考點復習12 分期付款中的有關計算 教學目的： 通過“分期付款中的有關計算“的教學，使學生學會從數(shù)學角度對某些日常生活中的問題進行研究 教學重點：分期付款問題進行獨立探究的基本步驟 教學難點：將實際問題轉化為數(shù)學問題 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內容分析： 研究性課題的教學有兩個特點：一是不僅僅局限于書本知識，更有很多課外內容，如利率、復利計息、分期付款等專業(yè)術語的含義，以及現(xiàn)代網絡技術的運用等，這樣就使探究成敗不決定于數(shù)學成績的好壞，每一位學生都可以通過自己的思考與實踐獲得成功；其次，不僅僅拘泥于教師主演，也不僅僅注重研究的結果，更關注的是學生在學習過程中提出問題、分析問題、解決問題的能力和心理體驗,這就為學生個性的發(fā)展，能力的提高，創(chuàng)新精神的培養(yǎng)提供了廣闊的空間而正因有這樣的特點，就導致了不僅僅該課題本身是開放的（具有解法和結論的不確定性），其教學本身也是開放性的，這就有可能出現(xiàn)教師事先沒預料到的問題，從而也為促進教學相長提供了好機會 研究性課題是應教改需要在新教材中新加的一個專題性欄目，為突出研究性課題的實踐性，課前和課后都安排學生進行社會調查實踐；為突出研究性課題的探究性，對學生適當啟發(fā)引導，大膽放手，讓學生獨立分析和解決問題另外以突出學生主體地位為根本去設計教學環(huán)節(jié)；以面向全體學生為原則而采取分層次的教學方式，并且采用了現(xiàn)代網絡技術等多媒體教學手段輔助教學，提高了課堂效率和教學效果 教學過程： 一、復習引入： 1．研究性課題的基本過程： 生活實際中的問題存在的可行方案啟迪思維留有余地 搜集整理信息獨立探究個案提出解答并給答辯 創(chuàng)建數(shù)學模型驗證并使用模型結論分析 2．分期付款使用模型：分期付款購買售價為a的商品,分n次經過m個年（月）還清貸款,每年（月）還款x,年（月）利率為p,則每次應付款： 二、例題講解 將上節(jié)課采取不同方案所得結果列表比較，看其是否有共同特點?列表比較，觀其規(guī)律. 方案 類別 付款 次數(shù) 付款方法 每期所付款表達式 每期 付款 付款 總額 1 6 每隔2個月付款1次，付6次 x= 1785.86 10721.16 2 12 每月付款1次，付12次 x= 888.49 10661.85 3 3 每隔4個月付款1次，付3次 x= 3607.62 10822.85 例1 一般地，購買一件售價為a元的商品采用分期付款時要求在m個月內將款全部付清，月利率為p，分n(n是m的約數(shù))次付款，那么每次付款數(shù)的計算公式為 推導過程：設每次付款x 則：第1期付款x元（即購貨后個月時），到付清款時還差個月，因此這期所付款連同利息之和為： …… 第n期付款（即最后一次付款）x元時，款已付清，所付款沒有利息. 各期所付的款連同到最后一次付款時所生的利息之和為： 貨款到m個月后已增值為 根據規(guī)定可得： 即： 解之得： 例2 某人，公元xx年參加工作，考慮買房數(shù)額較大需做好長遠的儲蓄買房計劃，打算在xx年的年底花50萬元購一套商品房，從xx年初開始存款買房，請你幫我解決下列問題： 方案1：從xx年開始每年年初到建設銀行存入3萬元，銀行的年利率為1.98%，且保持不變，按復利計算（即上年利息要計入下年的本金生息），在xx年年底，可以從銀行里取到多少錢？若想在xx年年底能夠存足50萬，每年年初至少要存多少呢？ 方案2：若在xx年初向建行貸款50萬先購房，銀行貸款的年利率為4.425%，按復利計算，要求從貸款開始到xx年要分10年還清，每年年底等額歸還且每年1次，每年至少要還多少錢呢？ 方案3：若在xx年初貸款50萬元先購房，要求從貸款開始到xx年要分5期還清，頭兩年第1期付款，再過兩年付第二期…，到xx年年底能夠還清，這一方案比方案2好嗎？ 啟迪思維，留有余地： 問題1：按各種方案付款每次需付款額分別是多少？ 每次付款額是50萬元的平均數(shù)嗎？（顯然不是，而會偏高） 那么分期付款總額就高于買房價，什么引起的呢？（利息） 問題2：按各種方案付款最終付款總額分別是多少？（事實上，它等于各次付款額之和，于是可以歸結為上一問題） 于是，本課題的關鍵在于按各種方案付款每次需付款額分別是多少？ ——設為x 搜集、整理信息： (1)分期付款中規(guī)定每期所付款額相同; (2)每年利息按復利計算,即上年利息要計入下年本金. 例如,由于年利率為1.98%，,款額a元過一個年就增值為 a(1+1.98%)=1.0198a(元); 再過一個月又增值為1.0198a(1+1.98%)=1.0198a(元) 獨立探究方案1 可將問題進一步分解為： 1. 商品售價增值到多少？ 2. 各期所付款額的增值狀況如何？ 3．當貸款全部付清時，房屋售價與各期付款額有什么關系？ 提出解答,并給答辯： 按復利計算存10年本息和（即從銀行里取到錢）為： 3+3+…+3 =≈33.51（萬元） 設每年存入x萬元，在xx年年底能夠存足50萬則： 解得x=4.48（萬元） 通過方案1讓學生了解了銀行儲蓄的計算，也初步掌握了等比數(shù)列在銀行儲蓄中的應用，儲蓄買房時間長久，顯然不切合我的實際，于是引出分期付款問題； 獨立探究方案2： 分析方法1：設每年還x，第n年年底欠款為，則 xx年底：=50（1+4.425%）–x xx年底：=（1+4.425%）–x =50–（1+4.425%）x–x … xx年底：=（1+4.425%）–x =50– x–…–（1+4.425%）x–x =50– 解得：≈6.29（萬元） 分析方法2：50萬元10年產生本息和與每年存入x的本息和相等，故有 購房款50萬元十年的本息和：50 每年存入x萬元的本息和：x+x+…+x =x 從而有 50＝x 解得：x=6.29（萬元） ， 10年共付：62.9萬元 獨立探究方案3： 分析：設每期存入x萬元，每一期的本息和分別為：第5期為x，第4期x， 第3期 x，第二期：x，第1期x，則有 [1++++x =50 解得：≈12.85（萬元） 此時，10年共付：12.855=64.25（萬元） 創(chuàng)建數(shù)學模型： 比較方案1、2、3結果，經過猜想得：分期付款購買售價為a的商品,分n次經過m個年還清貸款,每年還款x,年利率為p,則 驗證并使用模型：（略） 結論分析： 方案 類別 付（存）款 次數(shù) 付（存）款方法 每期所付款表達式 每期 付款 付款 總額 1 10 每隔1年存款1次，存10次 4.48 50 2 10 每年付款1次，付12次 6.29 62. 9 3 5 每隔2年付款1次，付5次 12.85 64.25 方案3比方案2多付了：64.25-62.9=1.35(萬元)所以方案2更好 方案1每年雖存款少，但需等10年后才能買房由于6.29－4.48＝1.81(萬元)，如若本地的年房租低于1.81(萬元)就可以考慮先租10年房后再買房的方案，當然還要考慮10年后的房價是升還降的問題 四、小結 ： 解決實際應用問題時，應先根據題意將實際問題轉化為數(shù)學問題，即數(shù)學建模，然后根據所學有關數(shù)學知識求得數(shù)學模型的解，最后根據實際情況求得實際問題的解. 五、課后作業(yè)：提出一個熟悉的日常生活中的分期付款問題，并探究解決 六、板書設計（略） 七、課后記