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2019-2020年高三數(shù)學總復習 圓的方程教案 理 教材分析 圓是學生比較熟悉的曲線，在初中幾何課中就已學過圓的定義及性質(zhì)．這節(jié)主要是用坐標的方法畫圓———建立圓的方程．首先是根據(jù)圓的定義，建立圓的標準方程，進而研究圓的一般方程，并在此基礎上，運用坐標法，探討直線與圓、圓與圓的位置關系．由于圓是一種對稱、和諧的圖形，有很多優(yōu)美的幾何性質(zhì)，因此，在運用坐標法解決問題的同時，充分利用了圓的幾何性質(zhì)．這節(jié)課的重點是圓的兩種方程的求法及互化，直線與圓位置關系、數(shù)量關系的判定與求解．難點是對待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合等方法的理解及靈活應用． 教學目標 1. 理解和掌握圓的標準方程和一般方程，并會熟練地進行方程的互化，能根據(jù)條件靈活選用適當?shù)姆椒ńA的方程． 2. 在直線的方程、圓的方程的基礎上，用代數(shù)、幾何兩種方法研究直線與圓的位置關系． 3. 初步學會用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法解決與圓有關的一些簡單問題． 4. 能應用圓的方程解決一些簡單的實際問題，培養(yǎng)學生應用數(shù)學分析、解決實際問題的能力． 任務分析 圓是學生比較熟悉的一種曲線，建立圓的方程也比較容易．學習時，應根據(jù)問題條件，靈活適當?shù)剡x取方程形式，否則，可能導致解題過程過于煩鎖．在解決直線與圓、圓與圓位置關系問題時，要盡可能挖掘、應用關于圓的隱含條件，要注意數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法的應用． 教學設計 一、問題情境 圓是最完美的曲線，它是平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合．定點是圓心，定長是半徑．在平面直角坐標系中，怎樣用坐標的方法刻畫圓呢？ ［問　題］ 河北省趙縣的趙州橋，是世界著名的古代石拱橋，也是造成后一直使用到現(xiàn)在的最古老的石橋．趙州橋的跨度是37.02m，圓拱高約為7.2m．建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，寫出這個圓拱所在的圓的方程． 解析：要求圓的方程，只要確定圓心的位置和半徑的大?。? 第一步：以圓拱對的弦所在的直線為ｘ軸、弦的垂直平分線為y軸建立直角坐標系．根據(jù)平面幾何知識可知，圓拱所在圓的圓心O必在y軸上，故可設O1（0，b）． 第二步：設圓拱所在圓的半徑為r，則圓上任意一點P（x，y）應滿足O1P＝r，即 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?、? 因此，只須確定b和r的值，就能寫出圓的方程． 第三步：將點B（18.51，0），C（0，7.2）分別代入①， 得 解得 故趙州橋圓拱所在的圓的方程為x2＋（y＋20.19）2＝750.21． 二、建立模型 （1）一般地，設點P（x，y）是以C（a，b）為圓心、r為半徑的圓上的任意一點，則CP＝r． 由兩點間的距離公式，得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?、? 即（x－a）2＋（y－b）2＝r2． 反過來，若點P1的坐標（x1，y1）是方程①的解， 則（x1－a）2＋（y1－b）2＝r2，即 這說明點P1（x1，y1）在以C（a，b）為圓心、r為半徑的圓上． 結(jié)論：方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2叫作以（a，b）為圓心、r為半徑的圓的標準方程． 特別地，當圓心為原點O（0，0）時，圓的方程為x2＋y2＝r2． 三、解釋應用（1） ［例　題］ 1. 已知兩點M（4，9），N（2，6），求以MN為直徑的圓的方程． 分析：先利用兩點間距離公式求出半徑r，然后分別將兩點的坐標代入圓的標準方程，解方程組求出a，b． 2. 已知動點M（x，y）與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為1∶2，那么點M的坐標應滿足什么關系？請你根據(jù)這個關系，猜想動點M的軌跡方程． 解：根據(jù)題意，得 即x2－2x＋y2－3＝0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?、? 變形，得（x－1）2＋y2＝4．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?、? 由方程①通過配方化為②，可知動點M的軌跡是以（1，0）為圓心、2為半徑的圓． 思考：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否都表示圓呢？ ［練　習］ 寫出滿足下列條件的圓的方程． （1）圓心在原點，半徑為５． （2）圓心在C（6，－2），經(jīng)過點P（5，1）． 思考：點P（x0，y0）與（x－a）2＋（y－b）2＝r2位置關系的判斷方法是什么？ 四、建立模型（2） 將方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方，得，與圓的標準方程比較，可知 （1）當D2＋E2－4F＞0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（－，－）為圓心、以為半徑的圓． （2）當D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有一個解，表示一個點（－，－）. （3）當D2＋E2－4F＜0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0無實數(shù)解，不表示任何圖形． 結(jié)論：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，（D2＋E2－4F＞0）叫作圓的一般方程． 思考：（1）圓的標準方程與一般方程的特點． 圓的標準方程的優(yōu)點在于它明確地指出了圓心及半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點：x2，y2的系數(shù)相同且不等于0，沒有xy這樣的項，是特殊的二元一次方程． （2）探討一般的二元一次方程：Ax2＋Cy2＋Bxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件． Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件為A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0． 五、解釋應用（2） ［例　題］ 1. 求過三點O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑和圓心坐標． 分析：確定圓的一般方程，只要確定方程中三個常數(shù)D，E，F(xiàn)，為此，用待定系數(shù)法． 解：設所求的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 因為O，M1，M2在圓上，所以它們的坐標是方程的解．把它們的坐標依次代入上面的方程，得 于是，得到所求圓的方程：x2＋y2－8x＋6y＝0． 由前面的討論可知，所求的圓的半徑，圓心坐標是（4，－3）． 思考：本題能否利用圓的標準方程求解？有無其他方法？ 2. 已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛．問：一輛寬為2.7m、高為3m的貨運車能不能駛?cè)脒@個隧道？ 解：以某一截面半圓的圓心為坐標原點，半圓的直徑AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系如圖25.2，那么半圓的方程為x2＋y2＝16，（y≥0）． 將x＝2.7代入，得 即離中心線2.7m處，隧道的高度低于貨車的高度． 因此，貨車不能駛?cè)脒@個隧道． 思考：假設貨車的最大寬度為am，那么貨車要駛?cè)朐撍淼?，限高至少為多少米? ［練　習］ 1. 求經(jīng)過三點A（－1，5），B（5，5），C（6，2）的圓的方程． 2. 求過兩點A（3，1），B（－1，3）且圓心在直線3x－y－2＝0上的圓的方程． 六、拓展延伸 1. 自點A（－1，4）作圓（x－2）2＋（y－3）2＝1的切線，求切線l的方程． 思考：（1）當點Ａ的坐標為（2，2）或（1，1）時，討論該切線l與圓的位置關系分別有什么變化？ （2）如何判定直線與圓的位置關系的判定方法． 直線與圓的位置關系的判定常用兩種方法： 幾何法和代數(shù)法．若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，圓C的方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2． ①幾何法 設圓心（a，b）到直線l的距離為d，則 d＞ｒl與c相離； d＝rl與c相切； d＜rl與c相交． ②代數(shù)法 Δ＞0方程有兩個不同解方程組有兩個不同解l與C有兩個不同交點相交；Δ＝0相切；Δ＜０相離． 2. 若圓x2＋y2＝m與圓x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共點，求ｍ的取值范圍． 思考：如何判定圓與圓的位置關系． 圓與圓的位置關系的判定主要就是幾何法． 已知 ，則 d＞r1＋r2C1與C2外離； d＝r1＋r2C1與C2相外切； d＝｜r1－r2｜C1與C2相內(nèi)切； ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2C1與C2相交； d＜｜r1－r2｜C1與C2內(nèi)含． 3. 畫出方程：｜x｜－1＝表示的曲線． 4. 已知圓C：x2＋y2＝r2，直線l：ax＋by＝r2．當點P（a，b）在圓C上、圓C內(nèi)和圓C外時，分別研究直線l與C具有怎樣的位置關系． 5. 已知：圓滿足：①截y軸所得的弦長為2；②被x軸分成兩段弧，其弧長的比為3∶1；③圓心到直線l：x－2y＝0的距離為．求該圓的方程． 點　評 這節(jié)課重點研究了圓方程的兩種表示形式，突出了利用待定系數(shù)法、幾何法來確定圓的方程，及利用圓的方程解決簡單的實際問題，對圓與直線、圓與圓位置關系稍作涉列．由于初中幾何中研究這些知識較多，所以對這些內(nèi)容的探究放手于學生，對學生能力的培養(yǎng)與鍛煉大有好處．此外，例題和練習的選取配置較好，突出了與實際問題的聯(lián)系，易激發(fā)學生的學習興趣．這篇案例在繼承中國傳統(tǒng)的“雙基”同時，著眼于在體現(xiàn)課程新理念上（尤其是體現(xiàn)新的探究、自主學習理念）有所突破．