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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 2.8 函數(shù)與方程教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間 【例1】已知函數(shù)f(x)＝x＋log2x，問(wèn)方程f(x)＝0在區(qū)間[，4]上有沒(méi)有實(shí)根，為什么？ 【解析】因?yàn)閒 ()＝＋log2＝－2＝－＜0， f(4)＝4＋log24＝4＋2＝6＞0，f()f(4)＜0，又f(x)＝x＋log2x在區(qū)間[，4]是連續(xù)的， 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[，4]上有零點(diǎn)，即存在c∈[，4]，使f(c)＝0， 所以方程f(x)＝0在區(qū)間[，4]上有實(shí)根. 【點(diǎn)撥】判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是否在區(qū)間(a，b)內(nèi)，只需檢驗(yàn)兩條：①函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上是連續(xù)不斷的；②f(a)f(b)＜0. 【變式訓(xùn)練1】若x0是函數(shù)f(x)＝x＋2x－8的一個(gè)零點(diǎn)，則[x0](表示不超過(guò)x0的最大整數(shù))＝　　　. 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x＋2x－8在區(qū)間(－∞，＋∞)上是連續(xù)不間斷的單調(diào)遞增函數(shù)，且f(2)f(3)＜0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上存在唯一的零點(diǎn)x0，所以[x0]＝2. 題型二　判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 【例2】判斷下列函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). (1)f(x)＝x2＋mx＋(m－2)； (2)f(x)＝x－4＋log2x. 【解析】(1)由Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4＞0，得知f(x)＝x2＋mx＋(m－2)＞0有兩個(gè)不同的零點(diǎn). (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x－4＋log2x在區(qū)間(0，＋∞)上是連續(xù)不間斷的單調(diào)遞增函數(shù)，且f(2)f(3)＜0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上存在唯一的零點(diǎn). 【點(diǎn)撥】判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有以下兩種方法： (1)方程f(x)＝0的根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； (2)函數(shù)f(x)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； 特殊情況下，還可以將方程f(x)＝0化為方程g(x)＝h(x)，然后再看函數(shù)y＝g(x)與y＝h(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 【變式訓(xùn)練2】問(wèn)a為何值時(shí)，函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有三個(gè)零點(diǎn)，二個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)？ 【解析】f′(x)＝3x2－3＝0，得x1＝1，x2＝－1，此時(shí)f(x)有極大值f(－1)＝2＋a，極小值f(1)＝－2＋a.由圖象(圖略)得知： 當(dāng)－2＜a＜2時(shí)，函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)a＝－2或a＝2時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)a＜－2或a＞2時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn). 題型三　利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題 【例3】設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－4x＋2a. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)關(guān)于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三個(gè)相異的零點(diǎn)，求a的取值范圍. 【解析】(1)f′(x)＝3x2＋4x－4. 由f′(x)＞0，得x＜－2或x＞；由f′(x)＜0，得－2＜x＜. 故f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，－2)、(，＋∞)， f(x)的遞減區(qū)間為(－2，). (2)由f(x)＝a2?x3＋2x2－4x－a2＋2a＝0， 令g(x)＝x3＋2x2－4x－a2＋2a. 所以g′(x)＝3x2＋4x－4. 由(1)可知，g(x)在(－∞，－2)和(，＋∞)上遞增，在(－2，)上遞減，故g(x)在[－3， －2]和[，2)上為增函數(shù)，在[－2，]上為減函數(shù). 關(guān)于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則 解得－2＜a≤－1或3≤a＜4. 【點(diǎn)撥】(1)先求f′(x)，由f′(x)＝0求出極值點(diǎn)，再討論單調(diào)性；(2)利用(1)及函數(shù)f(x)的大致圖形，找到滿(mǎn)足題設(shè)的a的條件. 【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝＋ax2＋2bx＋c的兩個(gè)極值分別為f(x1)和f(x2)，若x1和x2分別在區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi)，則的取值范圍為(　　) A.(－1，－) B.(－∞，)∪(1，＋∞) C.(，1) D.(，2) 【解析】因?yàn)閒′(x)＝x2＋ax＋2b，由題意可知， 畫(huà)出a，b滿(mǎn)足的可行域，如圖中的陰影部分(不包括邊界)所示，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)D(1,2)的連線(xiàn)的斜率，記為k，觀(guān)察圖形可知，kCD＜k＜kBD，而kCD＝＝，kBD＝＝1，所以＜＜1，故選C. 總結(jié)提高 函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，注意零點(diǎn)不是“點(diǎn)”，并不是所有的函數(shù)都有零點(diǎn)，或者說(shuō)不是所有的函數(shù)圖象都與x軸有交點(diǎn).二分法是求一般函數(shù)零點(diǎn)的一種通法，但要注意使用二分法的條件.二分法是利用“逐步逼近”的數(shù)學(xué)思想得到零點(diǎn)的近似值，但二分法也存在局限性，一是二分法一次只能求一個(gè)零點(diǎn)，二是在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)，未必f(a)f(b)＜0成立，三是二分法計(jì)算量較大，常要借助計(jì)算器完成.