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2019-2020年高考數學總復習 課時提升練66 直接證明與間接證明 理 新人教版 一、選擇題 1．用反證法證明某命題時，對結論：“自然數a，b，c中恰有一個偶數”正確的反設為(　　) A．a，b，c中至少有兩個偶數 B．a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數 C．a，b，c都是奇數 D．a，b，c都是偶數 【解析】　“自然數a，b，c中恰有一個偶數”的否定為“a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數”． 【答案】　B 2．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P、Q的大小關系是(　　) A．P＞Q　　　　　 B．P＝Q C．P＜Q　　　　　 D．由a的取值確定 【解析】　∵P2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2， Q2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2， ∴P2＜Q2，∴P＜Q. 【答案】　C 3．(xx張家口模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證＜a”索的因應是(　　) A．a－b＞0 B．a－c＞0 C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0 【解析】　由＜a?b2－ac＜3a2 ?b2＋a(a＋b)＜3a2 ?b2＋a2＋ab＜3a2 ?b2＋ab＜2a2 ?b2＋ab－2a2＜0 ?(a－b)(a－c)＞0. 【答案】　C 4．(xx上海模擬)“a＝”是“對任意正數x，均有x＋≥1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　當a＝時，x＋＝x＋≥2＝2＝1，當且僅當x＝時等號成立．反之，不成立． 【答案】　A 5．(xx成都模擬)已知函數f(x)＝x，a，b是正實數，A＝f，B＝f()，C＝f，則A、B、C的大小關系為(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 【解析】　∵≥≥，又f(x)＝x在R上是減函數，∴f≤f()≤f，即A≤B≤C. 【答案】　A 6．(xx北京高考)學生的語文、數學成績均被評定為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”．若學生甲的語文、數學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”．如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有(　　) A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 【解析】　利用反證法解決實際問題． 假設滿足條件的學生有4位及4位以上，設其中4位同學分別為甲、乙、丙、丁，則4位同學中必有兩個人語文成績一樣，且這兩個人數學成績不一樣，那么這兩個人中一個人的成績比另一個人好，故滿足條件的學生不能超過3人．當有3位學生時，用A，B，C表示“優(yōu)秀”“合格”“不合格”，則滿足題意的有AC，CA，BB，所以最多有3人． 【答案】　B 二、填空題 7．設a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，則＋＋≥________. 【解析】　∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9. 等號成立的條件是a＝b＝c＝. 【答案】　9 8．凸函數的性質定理為：如果函數f(x)在區(qū)間D上是凸函數，則對于區(qū)間D內的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函數y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數，則在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值為________． 【解析】　∵f(x)＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數， 且A、B、C∈(0，π)， ∴≤f＝f， 即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝， 所以sin A＋sin B＋sin C的最大值為. 【答案】　 9．設x，y，z是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內，下列條件中能保證“若x⊥z，且y⊥z，則x∥y”為真命題的是________(填寫所有正確條件的代號)． ①x為直線，y，z為平面； ②x，y，z為平面； ③x，y為直線，z為平面； ④x，y為平面，z為直線； ⑤x，y，z為直線． 【解析】?、僦衳為直線，y，z為平面，則x⊥z，y⊥z，而x?y， ∴必有x∥y成立，故①正確． ②中若x，y，z均為平面，由墻角三面互相垂直可知x∥y是錯的． ③x、y為直線，z為平面，則x⊥z，y⊥z可知x∥y正確． ④x、y為平面，z為直線，z⊥x，z⊥y，則x∥y成立． ⑤x、y、z均為直線，x⊥z且y⊥z，則x與y還可能異面、垂直，故不成立． 【答案】?、佗邰? 三、解答題 10．若a，b，c是不全相等的正數，求證： lg ＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 【證明】　∵a，b，c∈(0，＋∞) ∴≥＞0， ≥＞0， ≥＞0 又a，b，c是不全相等的正數， 故上述三個不等式中等號不能同時成立． ∴l(xiāng)g＋lg＋lg＝lg＞lg()＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c. 11．(xx臨沂模擬)已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0，且00. (1)證明：是函數f(x)的一個零點； (2)試用反證法證明＞c. 【解】　(1)證明：∵f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點，∴f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2， ∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根， 又x1x2＝，∴x2＝， ∴是f(x)＝0的一個根． 即是函數f(x)的一個零點． (2)假設0，由00， 知f>0與f＝0矛盾，∴≥c， 又∵≠c，∴>c. 12．對于定義域為[0,1]的函數f(x)，如果同時滿足： ①對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0； ②f(1)＝1； ③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數f(x)為理想函數． (1)若函數f(x)為理想函數，證明：f(0)＝0； (2)試判斷函數f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是否是理想函數． 【解】　(1)證明：取x1＝x2＝0，則x1＋x2＝0≤1， ∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0. 又對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0， ∴f(0)≥0.于是f(0)＝0. (2)對于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不滿足新定義中的條件②， ∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函數． 對于f(x)＝x2，x∈[0,1]，顯然f(x)≥0，且f(1)＝1. 任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0， 即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)． ∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函數． 對于f(x)＝，x∈[0,1]，顯然滿足條件①②. 對任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， 有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2＋x2) ＝－2≤0， 即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2. ∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不滿足條件③. ∴f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函數． 綜上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函數， f(x)＝2x(x∈[0,1])與f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函數．