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2019-2020年高考數學 第十三節(jié) 函數的應用教材 教 材 面 面 觀 常見函數模型的增長變化情況： (1)一次函數模型：f(x)＝________(k，b為常數，k≠0)，當k＞0時，f(x)為增函數，這個函數的增長速度是均勻的，我們常常用“直線上升”來形容一次函數模型的這個增長性質； (2)反比例函數模型：f(x)＝________(k，b為常數，k≠0)，當k＞0時，f(x)在(0，＋∞)上是減函數(根據函數性質可知，f(x)在(－∞，0)上也是減函數)，而且在(0，＋∞)上，f(x)遞減的速度越來越緩慢； (3)二次函數模型：f(x)＝________(a，b，c為常數，a≠0)，當a＞0時，f(x)在[－，＋∞)上是增函數，且增長速度是變化的； (4)指數函數模型：f(x)＝________(a，b，c為常數，a≠0，b＞0，且b≠1)，當a＞0，b＞1時，f(x)是增函數，且增長的速度越來越快，底數越大，增長速度越驚人．我們常用“指數爆炸”來形容這個性質； (5)對數函數模型：f(x)＝________(m，n，a為常數，m≠0，a＞0，且a≠1)，當m＞0，a＞1時，f(x)是增函數，但是增長的速度越來越緩慢，底數越大，這個情況越明顯．我們常用“對數平緩”來形容這個性質； (6)冪函數模型：f(x)＝________(a，n，b為常數，a≠0，n≠0)．當a＞0，n＞0時，f(x)在(0，＋∞)上是增函數，且增長的快慢程度與指數n密切相關． 答案　kx＋b　＋b　ax2＋bx＋c　abx＋c　mlogax＋n　axn＋b 考 點 串 串 講 1．三種函數模型的性質 函數 性質　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增減性 增函數 增函數 增函數 增長的速度 越來越快 越來越慢 相對平穩(wěn) 圖象的變化 隨x增大逐漸上升 隨x增大逐漸上升 隨n值而不同 　　 2.函數y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)增長速度的對比 (1)對于指數函數y＝ax(a＞1)和冪函數y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內，ax會小于xn，但由于指數函數增長速度快于冪函數的增長速度，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有ax＞xn. (2)對于對數函數y＝logax(a＞1)和冪函數y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管在x的一定范圍內，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有xn＞logax. (3)在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上．隨著x的增大，總會存在一個x0，當x＞x0時，就會有l(wèi)ogax＜xn＜ax. 3．解答函數應用題的一般步驟是 第一步：閱讀題目中的文字敘述，理解敘述中所反映的實際背景，領悟從背景中概括出來的數學實質．尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進而把握住新信息． 在此基礎上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知識，確定自變量與函數值的意義．審題時要抓住題目中的關鍵量，要勇于探索，敏于發(fā)現、歸納，善于聯(lián)想、化歸，實際問題向數學問題的轉化． 第二步：引進數學符號，建立數學模型． 一般地，設自變量為x，函數為y，并用x表示各相關量，然后根據已知條件，運用已掌握的數學知識、物理知識及其他相關知識建立函數關系，將實際問題轉化為一個數學問題，實現問題的數學化，即所謂建立數學模型． 第三步：利用數學方法將得到的常規(guī)數學問題(即數學模型)予以解答，求得結果． 第四步：再轉設成具體問題作出解答． 這個過程也可用以下框圖表示： 4．解答應用題的關鍵 解答應用題的關鍵在于審題上，而要準確理解題意，又必須過好三關： (1)通過閱讀、理解，明白問題講的是什么，熟悉實際背景，為解題打開突破口． (2)將實際問題的文字語言轉化為數學的符號語言，用數學式子表示數學關系． (3)在構建數學模型的過程中，對已知數學知識進行檢索，從而認定或構建相應的數學模型，完成由實際問題向數學問題的轉化，構建了數學模型之后，要真正解決數學問題，就需要具備扎實的基礎知識和較強的數理能力． 5．函數模型的確定 利用給定的函數模型或建立確定的函數模型解決實際問題的方法： (1)根據題意選用恰當的函數模型來描述所涉及的數量之間的關系； (2)利用待定系數法，確定具體函數模型； (3)對選定的函數模型進行適當的評價、比較、并選擇最恰當的模型； (4)根據實際問題對模型進行適當的修正． 6．數學擬合過程中的假設 就一般的數學建模來說，是離不開假設的，如果在問題的原始狀態(tài)下不作任何假設，將所有的變化因素全部考慮進去．對于稍復雜一點的問題就無法下手了，假設的作用主要表現在以下幾個方面： (1)進一步明確模型中需要考慮的因素和它們在問題中的作用．通常，初步接觸一個問題，會覺得圍繞它的因素非常多，經仔細分析觀察，發(fā)現有的因素并無實質聯(lián)系，有的因素是無關緊要的，排除這些因素，問題則越發(fā)清晰明朗，在假設時就可以設這些因素不需考慮． (2)降低解題難度．雖然每一個解題者的能力不同，但經過適當的假設就都可以有能力建立數學模型，并且得到相應的解． 一般情況下，是先在最簡單的情形下組建模型，然后通過不斷地調整假設使模型盡可能地接近實際，從而得到更滿意的解. 典 例 對 對 碰 題型一 二次函數模型 例1某旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿，公司欲提高檔次，并提高租金．如果每間客房每日增加2元，客房出租數就會減少10間，若不考慮其他因素，公司將房間租金提高到多少時，每天客房的租金總收入最高． 解析　設客房租金每間提高x個2元，則將有10x間客房空出，客房租金總收入為y＝(20＋2x)(300－10x)，x∈N.這個二次函數圖象的對稱軸為x＝＝10,20＋2x＝40. 當x＝10時，y最大值＝(20＋20)(300－100)＝8000. 答：將房間租金提高到40元/間時，客房租金總收入最高，每天為8000元． 點評　本題中自變量為正整數，要結合二次函數的對稱性，確定何時取最大值，若求出對稱軸為x＝a＋，n是整數，則x＝n，n＋1可能都符合題意，總之要注意二次函數的對稱性并結合定義域來解決問題. 變式遷移1 有一批材料可以圍成200米長的圍墻，現用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，且內部用此材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形場地的最大面積為(　　) A．1000米2　　　　　　　 B．2000米2 C．2500米2 D．3000米2 答案　C 解析　設三個面積相等的矩形的長、寬分別為x米、y米，如題圖所示，則4x＋3y＝200，又S＝3xy＝3x＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2500，∴當x＝25時，Smax＝2500. 題型二 分段函數模型 例2某公司生產一種電子儀器的固定成本為xx0元，每生產一臺儀器需增加投入100元，已知每月總收益滿足函數： R(x)＝其中x是儀器的月產量． (1)將利潤表示為月產量的函數f(x)； (2)當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益＝總成本＋利潤) 分析　本題考查二次函數的解析式和最值問題．由總收益＝總成本＋利潤，可知利潤＝總收益－總成本．由R(x)是分段函數，所以f(x)也要分段求出．分別求出f(x)在各段中的最大值，通過比較，就能確定f(x)的最大值． 解析　(1)設月產量為x臺，則總成本為xx0＋100x，從而 f(x)＝ (2)當0≤x≤400時， f(x)＝－x2＋300x－xx0＝－(x－300)2＋25000， ∴當x＝300時，f(x)max＝25000. 當x＞400時，f(x)＝－100x＋60000，此時f(x)在定義域上是減函數， ∴f(x)＜f(400)＝xx0. 綜合以上情形可知，當x＝300時，f(x)的最大值為25000. 答：每月生產300臺儀器時，利潤最大，最大利潤為25000元． 點評　在函數的應用題中，已知的等量關系是解題的依據．像此題中的利潤＝總收益－總成本，又如銷售額＝銷售價格銷售數量等．另外，幾何中的面積、體積公式，物理學中的一些公式等，也常用來構造函數關系. 變式遷移2 已知A、B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時的速度從A地前往B地，到達B地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回A地，把汽車離開A地的距離x(千米)表示為時間t(小時)的函數，則下列正確的是(　　) A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5) B．x＝ C．x＝ D．x＝ 答案　D 解析　依題意，函數為分段函數，求出每一段上的解析式即可. 題型三 指數函數模型 例3若某廠去年年產值為a萬元，以后計劃每年按年增長率為p%增長，則x年后的年產值y為多少呢？ 解析　我們先看看特例： 經過1年后其年產值為a(1＋p%)； 經過2年后其年產值為a(1＋p%)＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)2； 經過3年后其生產值為a(1＋p%)3； 歸納到一般有：經過x年后其生產值為y＝a(1＋p%)x. 因而得到增長率的計算公式為y＝a(1＋p%)x. 類似地有下降率的計算公式為y＝a(1－p%)x. 點評　類似地有儲蓄中復利的計算公式為y＝a(1＋r)x. 變式遷移3 為了預防甲型H1N1流感，某學校用某種藥物對教室進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為y＝()t－a(a為常數)，如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題： (1)求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數關系式； (2)據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時，學生才能回到教室． 解析　(1)由于圖中直線的斜率k＝＝10，所以圖象中線段的方程為y＝10t(0≤t≤0.1)， 又點(0.1,1)在曲線y＝()t－a上，所以1＝()0.1－a，所以a＝0.1，因此含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數關系式為y＝. (2)因為藥物釋放過程中室內藥量一直在增加，即使藥量小于0.25毫克，學生也不能進入教室，所以只有當藥物釋放完畢后，室內藥量減少到0.25毫克以下時學生方可進入教室，即()t－0.1＜0.25，解得t＞0.6，所以從藥物釋放開始，至少需要經過0.6小時，學生才能回到教室. 題型四 對數函數模型 例4有時可用函數 f(x)＝描述學習某學科知識的掌握程度，其中x表示某學科知識的學習次數(x∈N*)，f(x)表示對該學科知識的掌握程度，正實數a與學科知識有關． (1)證明：當x≥7時，掌握程度的增長量f(x＋1)－f(x)總是下降； (2)根據經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區(qū)間分別為(115,121]，(121,127]，(127,133]．當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科． 分析　(1)只要根據函數解析式作差，判斷其單調遞減即可；(2)即當自變量等于6，函數值等于0.85時，確定正實數a的取值范圍． 解析　(1)當x≥7時，f(x＋1)－f(x)＝，而當x≥7時，函數y＝(x－3)(x－4)單調遞增，且(x－3)(x－4)＞0，故f(x＋1)－f(x)單調遞減，∴當x≥7時，掌握程度的增長量f(x＋1)－f(x)總是下降． (2)由題意可知0.1＋15ln＝0.85，整理得＝e0.05， 解得a＝6≈20.56＝123，而123∈(121,127]，由此可知，該學科是乙學科． 變式遷移4 在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的質量M(kg)、火箭(除燃料外)的質量m(kg)的函數關系是v＝xxln(1＋)，要使火箭的最大速度可達12 km/s，則燃料的質量與火箭的質量的比值是__________． 答案　e6－1 解析　v＝12 km/s＝1.2104 m/s， 代入v＝xxln(1＋)中得： 1．2104＝xxln(1＋)?＝e6－1，即燃料的質量與火箭的質量的比值是e6－1. 題型五 對號函數模型 例5圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示．已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m.設利用的舊墻長度為x(單位：m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元)． (1)將y表示為x的函數； (2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用． 解析　(1)如圖所示，設矩形的另一邊長為am， 則y＝45x＋180(x－2)＋1802a＝225x＋360a－360， 由已知xa＝360，得a＝. 所以y＝225x＋－360(x＞0)． (2)∵x＞0，∴225x＋≥2＝10800. ∴y＝225x＋－360≥10440. 當且僅當225x＝時，等號成立． 即當x＝24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元． 變式遷移5 某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本y(萬元)與年產量x(噸)之間的函數關系式可以近似地表示為y＝－48x＋8000，已知此生產線的年產量最大為210噸． (1)求年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 解析　(1)生產每噸產品的平均成本為f(x)＝＝＋－48(0＜x≤210)， 由于＋－48≥2 －48＝240－48＝32， 當且僅當＝，即x＝200時等號成立． 故年產量為200噸時，生產每噸產品的平均成本最低為32萬元． (2)設年利潤為s，則s＝40x－(－48x＋8000)＝－＋88x－8000＝－(x－220)2＋1680(0＜x≤210)， 由于s在(0,210]上為增函數，故當x＝210時，s取得最大值為1660. 故年產量為210噸時，可以獲得最大利潤為1660萬元． 【教師備課資源】 題型六 一次函數模型 例6商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只定價20元，茶杯每只定價5元，該商店現推出兩種優(yōu)惠辦法： (1)買一只茶壺贈送一只茶杯； (2)按購買總價的92%付款． 某顧客需購買茶壺4只，茶杯若干只(不少于4只)，若以購買x只茶杯的付款為y元，試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數關系式，并指出如果該顧客需購買茶杯40只，應選擇哪種優(yōu)惠辦法？ 解析　由優(yōu)惠辦法(1)得函數關系式為y1＝204＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)． 由優(yōu)惠辦法(2)得函數關系式為y2＝(204＋5x)92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*)． 當該顧客需購買茶杯40只時，采用優(yōu)惠辦法(1)應付款y1＝540＋60＝260(元)；采用優(yōu)惠辦法(2)應付款y2＝4.640＋73.6＝257.6(元)，由于y2＜y1，因此應選擇優(yōu)惠辦法(2)． 點評　注意分析問題時要抓住實質，本題的實質是一個一次函數問題. 變式遷移6 某超市銷售一種奧運紀念品，每件售價11.7元，后來，此紀念品的進價降低了6.4%，售價不變，從而超市銷售這種紀念品的利潤提高了8%.則這種紀念品的原進價是________元． 答案　6.5 解析　設原進價為x元，則依題意有(11.7－x)(1＋8%)＝11.7－(1－6.4%)x，解得x＝6.5. 題型七 函數模型的確定 例7以下是某地區(qū)不同身高的未成年男性體重的平均值表： 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 體重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 15.70 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)根據表中提供的數據，能否從我們已學過的函數y＝ax＋b，y＝alnx，y＝abx中選擇一種函數，使它比較近似地反映出該地區(qū)未成年男性體重y關于x的函數關系式？試求這個函數關系式； (2)若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么該地區(qū)某一中學生身高為175cm，體重為78kg，他的體重是否正常？ 解析　根據散點圖選擇函數關系式． (1)記身高為x，體重為y，作(x，y)的散點圖(略)．根據變化趨勢；增長的速度越來越快，事實上不畫散點圖，從表中也能觀察出這個變化趨勢，再根據“對數增長，直線上升，指數爆炸”這個規(guī)律，應選擇指數函數模型：y＝abx，反映上述數據之間的對應關系． 把(70,7.90)，(160,47.25)兩組數據代入上述關系，得 利用計算器，得a＝2，b＝1.02. 所以，該地區(qū)未成年男性體重關于身高的近似函數關系式可選為y＝21.02x. 將沒有使用的表中自變量代入檢驗，可知所求函數模型能較好地反映題中關系． (2)把x＝175代入y＝21.02x得y＝21.02175≈63.98. 由于7863.98≈1.22＞1.2，因此可認為這名男生體型偏胖． 點評　根據收集到的數據，作出散點圖，然后通過觀察散點圖變化趨勢選擇適當的函數模型，再利用計算器或計算機的數據擬合功能得出具體的函數關系式，再用得到的函數模型解決相應的問題，這是函數應用的基本過程，但由于選擇函數模型的多種性，造成考查這種能力有一定困難，因此本題采用限定函數模型，若是進一步限定所取散點，則所得具體函數將是唯一的，這樣的題型是可以在考試中出現的，因為答案唯一，閱卷也就比較方便，也基本達到了考查應用函數模型解題的能力這一目的. 變式遷移7 南方某地市場信息中心為了分析本地區(qū)蔬菜的供求情況，通過調查得到家種野菜“蘆蒿”的市場需求量和供應量數據(見下表)． 蘆蒿的市場需求量信息表(表1) 需求量y噸 40 38 37.1 36 32.8 30 價值x千元/噸 2 2.4 2.6 2.8 3.4 4 蘆蒿的市場供應量信息表(表2) 價值y千元/噸 2 2.5 3.2 4.46 5 5.3 供應量x噸 29 32 36.3 40.9 44.6 47 (1)試寫出描述蘆蒿市場需求量y關于價格x的近似函數關系式； (2)試根據這些信息，探求市場對蘆蒿的供求平衡量(需求量與供應量相等，又稱供求平衡)，近似到噸． 解析　(1)在直角坐標系中，由表(1)描出數對(x，y)對應的點，由圖可知這些點近似地構成一條直線(其中四個點在一條直線上)，所以蘆蒿的市場需求量關于價格的近似函數關系式為y－40＝(x－2)，即y＝50－5x　①.表(2)同理可知蘆蒿的市場價格關于供應量的近似函數關系式為y＝x－，所以蘆蒿的市場供應量關于價格的近似函數關系為y＝6x＋17?、? (2)解①、②聯(lián)立的方程組，得x＝3，y＝35，則市場對蘆蒿的供求平衡量為35噸． 題型八 幾類函數模型增長差異 例8研究函數y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增長情況． 分析　畫出函數的圖象，先觀察圖象，然后給出具體的計算，或者給出一個粗略的估計，如本題中令f(x)＝0.5ex－x2－1，計算知f(2)＜0，f(3)＞0，則可以取x0＝3，即當x＞3時，不等式ln(x＋1)＜x2－1＜0.5ex－2恒成立． 解析　分別在同一個坐標系中畫出三個函數的圖象，如圖所示，從圖象上可以看出函數y＝0.5ex－2的圖象首先超過了函數y＝ln(x＋1)的圖象，然后又超過了y＝x2－1的圖象，即存在一個滿足0.5ex0－2＝x－1的x0(這個x0的近似值可以用二分法求得)，當x＞x0時，ln(x＋1)＜x2－1＜0.5ex－2. 變式遷移8 研究函數y＝0.1x與函數y＝lgx在(0，＋∞)上的變化情況． 解析　在同一坐標系中分別畫出兩個函數的圖象，如圖所示，可以看出，兩個函數都是增函數，只在某一段區(qū)域上函數y＝lgx的圖象位于函數y＝0.1x圖象的上方，而當x＞10時，恒有l(wèi)gx＜0.1x. 方 法 路 路 通 1．分析不同類型函數增長差異的方法是 (1)在同一坐標系下正確、規(guī)范地作圖； (2)找到不同函數圖象的交點； (3)注重每種函數自身的單調性； (4)整體把握． 2．幾類常見函數模型的增長特點是 (1)直線型y＝kx＋b(k＞0)函數平穩(wěn)增長； (2)對數型y＝logax(a＞1)函數增長緩慢； (3)指數函數y＝ax(a＞1)函數增長迅速． 一般稱為直線上升，對數增長，指數爆炸． 3．解答應用題的基本思想和程序 (1)解應用題的基本思想 (2)解答應用問題的程序概括為“四步八字”，即 ①審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型． ②建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型． ③求模：求解數學模型，得出數學結論． ④還原：將數學結論還原. 正 誤 題 題 辨 例如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a＞b)．在AB、AD、CD、CB上分別截取AE、AH、CG、CF都等于x，當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？求出這個最大面積． 錯解　設四邊形EFGH的面積為S， 由題意得S△AEH＝S△CFG＝x2， S△BEF＝S△DHG＝(a－x)(b－x)． 由此得S＝ab－2[x2＋(a－x)(b－x)] ＝－2x2＋(a＋b)x ＝－2(x－)2＋. 當x＝時，S取得最大值. 點擊　錯誤的原因在于忽略了這個實際問題中自變量x的取值范圍：0＜x≤b.由于a＞b＞0，所以當a＞3b時，＞b，自變量x不能取得，面積S不能取得最大值. 正解　由前面的計算可得S＝－2(x－)2＋， 由題意可得函數的定義域為{x|0＜x≤b}，因為a＞b＞0，所以0＜b＜. 若≤b，即a≤3b，當x＝時面積S取得最大值； 若＞b，即a＞3b時，函數S＝－2(x－)2＋在(0，b]上是增函數，因此，當x＝b時，面積S取得最大值ab－b2.綜上可知，若a≤3b，當x＝時，四邊形EFGH的面積取得最大值；若a＞3b，當x＝b時，四邊形EFGH的面積取得最大值ab－b2.