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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》教案 新人教A版選修1-2 教學(xué)要求：通過典型案例的探究，進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應(yīng)用. 教學(xué)重點(diǎn)：了解線性回歸模型與函數(shù)模型的差異，了解判斷刻畫模型擬合效果的方法－相關(guān)指數(shù)和殘差分析. 教學(xué)難點(diǎn)：解釋殘差變量的含義，了解偏差平方和分解的思想. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 提問：“名師出高徒”這句彥語的意思是什么？有名氣的老師就一定能教出厲害的學(xué)生嗎？這兩者之間是否有關(guān)？ 2. 復(fù)習(xí)：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系. 回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，其步驟：收集數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖求回歸直線方程利用方程進(jìn)行預(yù)報. 二、講授新課： 1. 教學(xué)例題： ① 例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重數(shù)據(jù)如下表所示： 編　號 　1 　2 　3 　4 　5 　6 　7 　8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 體重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重. （分析思路教師演示學(xué)生整理） 　第一步：作散點(diǎn)圖 第二步：求回歸方程 第三步：代值計(jì)算 ② 提問：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？ 不一定，但一般可以認(rèn)為她的體重在60.316kg左右. ③ 解釋線性回歸模型與一次函數(shù)的不同 事實(shí)上，觀察上述散點(diǎn)圖，我們可以發(fā)現(xiàn)女大學(xué)生的體重和身高之間的關(guān)系并不能用一次函數(shù)來嚴(yán)格刻畫（因?yàn)樗械臉颖军c(diǎn)不共線，所以線性模型只能近似地刻畫身高和體重的關(guān)系）. 在數(shù)據(jù)表中身高為165cm的3名女大學(xué)生的體重分別為48kg、57kg和61kg，如果能用一次函數(shù)來描述體重與身高的關(guān)系，那么身高為165cm的3名女在學(xué)生的體重應(yīng)相同. 這就說明體重不僅受身高的影響還受其他因素的影響，把這種影響的結(jié)果（即殘差變量或隨機(jī)變量）引入到線性函數(shù)模型中，得到線性回歸模型，其中殘差變量中包含體重不能由身高的線性函數(shù)解釋的所有部分. 當(dāng)殘差變量恒等于0時，線性回歸模型就變成一次函數(shù)模型. 因此，一次函數(shù)模型是線性回歸模型的特殊形式，線性回歸模型是一次函數(shù)模型的一般形式. 2. 相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，兩個變量的線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，它們的散點(diǎn)圖越接近一條直線，這時用線性回歸模型擬合這組數(shù)據(jù)就越好，此時建立的線性回歸模型是有意義. 3. 小結(jié)：求線性回歸方程的步驟、線性回歸模型與一次函數(shù)的不同. 第二課時 1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（二） 教學(xué)要求：通過典型案例的探究，進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應(yīng)用. 教學(xué)重點(diǎn)：了解評價回歸效果的三個統(tǒng)計(jì)量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和. 教學(xué)難點(diǎn)：了解評價回歸效果的三個統(tǒng)計(jì)量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1．由例1知，預(yù)報變量（體重）的值受解釋變量（身高）或隨機(jī)誤差的影響. 2．為了刻畫預(yù)報變量（體重）的變化在多大程度上與解釋變量（身高）有關(guān)？在多大程度上與隨機(jī)誤差有關(guān)？我們引入了評價回歸效果的三個統(tǒng)計(jì)量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和. 二、講授新課： 1. 教學(xué)總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和： （1）總偏差平方和：所有單個樣本值與樣本均值差的平方和，即. 殘差平方和：回歸值與樣本值差的平方和，即. 回歸平方和：相應(yīng)回歸值與樣本均值差的平方和，即. （2）學(xué)習(xí)要領(lǐng)：①注意、、的區(qū)別；②預(yù)報變量的變化程度可以分解為由解釋變量引起的變化程度與殘差變量的變化程度之和，即；③當(dāng)總偏差平方和相對固定時，殘差平方和越小，則回歸平方和越大，此時模型的擬合效果越好；④對于多個不同的模型，我們還可以引入相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，它表示解釋變量對預(yù)報變量變化的貢獻(xiàn)率. 的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合的效果越好. 2. 教學(xué)例題： 例2 關(guān)于與有如下數(shù)據(jù)： 　　 　　2 　　4 　　5 　　6 　　8 　　 　　30 　　40 　　60 　　50 　　70 為了對、兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，現(xiàn)有以下兩種線性模型：，，試比較哪一個模型擬合的效果更好. 分析：既可分別求出兩種模型下的總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和，也可分別求出兩種模型下的相關(guān)指數(shù)，然后再進(jìn)行比較，從而得出結(jié)論. （答案：，，84.5%＞82%，所以甲選用的模型擬合效果較好.） 3. 小結(jié)：分清總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和，初步了解如何評價兩個不同模型擬合效果的好壞. 第三課時 1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（三） 教學(xué)要求：通過典型案例的探究，進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應(yīng)用. 教學(xué)重點(diǎn)：通過探究使學(xué)生體會有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，了解在解決實(shí)際問題的過程中尋找更好的模型的方法. 教學(xué)難點(diǎn)：了解常用函數(shù)的圖象特點(diǎn)，選擇不同的模型建模，并通過比較相關(guān)指數(shù)對不同的模型進(jìn)行比較. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 給出例3：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，試建立與之間的回歸方程. 溫度 　21 　23 　25 　27 　29 　32 　35 產(chǎn)卵數(shù)個 　7 　11 　21 　24 　66 　115 　325 （學(xué)生描述步驟，教師演示） 2. 討論：觀察右圖中的散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，即兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系. 二、講授新課： 1. 探究非線性回歸方程的確定： ① 如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一個直線狀帶形區(qū)域，可以選線性回歸模型來建模；如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一個曲線狀帶形區(qū)域，就需選擇非線性回歸模型來建模. ② 根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y=的周圍（其中是待定的參數(shù)），故可用指數(shù)函數(shù)模型來擬合這兩個變量. ③ 在上式兩邊取對數(shù)，得，再令，則，而與間的關(guān)系如下： X 　21 　23 　25 　27 　29 　32 　35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 觀察與的散點(diǎn)圖，可以發(fā)現(xiàn)變換后樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合. ④ 利用計(jì)算器算得，與間的線性回歸方程為，因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對溫度的非線性回歸方程為. ⑤ 利用回歸方程探究非線性回歸問題，可按“作散點(diǎn)圖建模確定方程”這三個步驟進(jìn)行. 其關(guān)鍵在于如何通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化成線性回歸問題. 2. 小結(jié)：用回歸方程探究非線性回歸問題的方法、步驟. 三、鞏固練習(xí)： 為了研究某種細(xì)菌隨時間x變化，繁殖的個數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下： 天數(shù)x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖個數(shù)y/個 6 12 25 49 95 190 （1）用天數(shù)作解釋變量，繁殖個數(shù)作預(yù)報變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； （2）試求出預(yù)報變量對解釋變量的回歸方程.（答案：所求非線性回歸方程為.） 第四課時 1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（四） 教學(xué)要求：通過典型案例的探究，進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應(yīng)用. 教學(xué)重點(diǎn)：通過探究使學(xué)生體會有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，了解在解決實(shí)際問題的過程中尋找更好的模型的方法，了解可用殘差分析的方法，比較兩種模型的擬合效果. 教學(xué)難點(diǎn)：了解常用函數(shù)的圖象特點(diǎn)，選擇不同的模型建模，并通過比較相關(guān)指數(shù)對不同的模型進(jìn)行比較. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 提問：在例3中，觀察散點(diǎn)圖，我們選擇用指數(shù)函數(shù)模型來擬合紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度間的關(guān)系，還可用其它函數(shù)模型來擬合嗎？ 441 529 625 729 841 1024 1225 7 11 21 24 66 115 325 2. 討論：能用二次函數(shù)模型來擬合上述兩個變量間的關(guān)系嗎？（令，則，此時與間的關(guān)系如下： 觀察與的散點(diǎn)圖，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)并不分布在一條直線的周圍，因此不宜用線性回歸方程來擬合它，即不宜用二次曲線來擬合與之間的關(guān)系. ）小結(jié)：也就是說，我們可以通過觀察變換后的散點(diǎn)圖來判斷能否用此種模型來擬合. 事實(shí)上，除了觀察散點(diǎn)圖以外，我們也可先求出函數(shù)模型，然后利用殘差分析的方法來比較模型的好壞. 二、講授新課： 1. 教學(xué)殘差分析： ① 殘差：樣本值與回歸值的差叫殘差，即. ② 殘差分析：通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析. ③ 殘差圖：以殘差為橫坐標(biāo)，以樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等為橫坐標(biāo)，作出的圖形稱為殘差圖. 觀察殘差圖，如果殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高. 2. 例3中的殘差分析： 計(jì)算兩種模型下的殘差 一般情況下，比較兩個模型的殘差比較困難（某些樣本點(diǎn)上一個模型的殘差的絕對值比另一個模型的小，而另一些樣本點(diǎn)的情況則相反），故通過比較兩個模型的殘差的平方和的大小來判斷模型的擬合效果. 殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好. 　　由于兩種模型下的殘差平方和分別為1450.673和15448.432，故選用指數(shù)函數(shù)模型的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于選用二次函數(shù)模型. （當(dāng)然，還可用相關(guān)指數(shù)刻畫回歸效果） 3. 小結(jié)：殘差分析的步驟、作用 三、鞏固練習(xí)：練習(xí)：教材P13　第1題