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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8.2 兩條直線的位置關(guān)系教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　兩直線的交點(diǎn) 【例1】若三條直線l1：2x＋y－3＝0，l2：3x－y＋2＝0和l3：ax＋y＝0不能構(gòu)成三角形，求a的值. 【解析】①l3∥l1時(shí)，－a＝－2?a＝2； ②l3∥l2時(shí)，－a＝3?a＝－3； ③由?將(－1，－1)代入ax＋y＝0?a＝－1. 綜上，a＝－1或a＝2或a＝－3時(shí)，l1、l2、l3不能構(gòu)成三角形. 【點(diǎn)撥】三條直線至少有兩條平行時(shí)或三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)不能構(gòu)成三角形. 【變式訓(xùn)練1】已知兩條直線l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0的交點(diǎn)為P(2,3)，則過A(a1，b1)，B(a2，b2)的直線方程是　　　　　　　. 【解析】由P(2,3)為l1和l2的交點(diǎn)得 故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐標(biāo)滿足方程2x＋3y＋1＝0， 即直線2x＋3y＋1＝0必過A(a1，b1)，B(a2，b2)兩點(diǎn). 題型二　兩直線位置關(guān)系的判斷 【例2】已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值. (1)l1⊥l2，且l1過點(diǎn)(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到兩條直線的距離相等. 【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在， 所以k2＝1－a，若k2＝0，則1－a＝0，即a＝1. 因?yàn)閘1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b＝0， 又l1過點(diǎn)(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0， 而a＝1，b＝0代入上式不成立，所以k2≠0. 因?yàn)閗2≠0，即k1，k2都存在， 因?yàn)閗2＝1－a，k1＝，l1⊥l2， 所以k1k2＝－1，即(1－a)＝－1， 又l1過點(diǎn)(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0， 聯(lián)立上述兩個(gè)方程可解得a＝2，b＝2. (2)因?yàn)閘2的斜率存在，又l1∥l2，所以k1＝k2，即＝(1－a)， 因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2， 所以 l1，l2在y軸的截距互為相反數(shù)，即＝b， 聯(lián)立上述方程解得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2， 所以a，b的值分別為2和－2或和2. 【點(diǎn)撥】運(yùn)用直線的斜截式y(tǒng)＝kx＋b時(shí)，要特別注意直線斜率不存在時(shí)的特殊情況.求解兩條直線平行或垂直有關(guān)問題時(shí)，主要是利用直線平行和垂直的充要條件，即“斜率相等”或“斜率互為負(fù)倒數(shù)”. 【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).點(diǎn)P(0，p)是線段AO上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn))，這里a，b，c，p均為非零實(shí)數(shù)，設(shè)直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，某同學(xué)已正確求得直線OE的方程為(－)x＋(－)y＝0，則直線OF的方程為　　　　　　　　　　　　. 【解析】由截距式可得直線AB：＋＝1，直線CP：＋＝1，兩式相減得(－)x＋(－)y＝0，顯然直線AB與CP的交點(diǎn)F滿足此方程，又原點(diǎn)O也滿足此方程，故所求直線OF的方程為(－)x＋(－)y＝0. 題型三　點(diǎn)到直線的距離 【例3】已知△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(m，)(1＜m＜4)，當(dāng)△ABC的面積S最大時(shí)，求m的值. 【解析】因?yàn)锳(1,1)，B(4,2)，所以|AB|＝＝， 又因?yàn)橹本€AB的方程為x－3y＋2＝0， 則點(diǎn)C(m，)到直線AB的距離即為△ABC的高， 設(shè)高為h，則h＝，S＝|AB|h＝|m－3＋2|， 令＝t，則1＜t＜2，所以S＝|m－3＋2|＝|t2－3t＋2|＝|(t－)2－|， 由圖象可知，當(dāng)t＝時(shí)，S有最大值，此時(shí)＝，所以m＝. 【點(diǎn)撥】運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般形式.求最值可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用處理代數(shù)問題的方法解決. 【變式訓(xùn)練3】若動(dòng)點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)分別在直線l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移動(dòng)，求P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值. 【解析】方法一：因?yàn)镻1、P2分別在直線l1和l2上， 所以 (①＋②)2，得－－10＝0，所以P1P2的中點(diǎn)P(，)在直線x－y－10＝0上，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線x－y－10＝0的距離d＝＝5.所以，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為5. 方法二：設(shè)l為夾在直線l1和l2之間且和l1與l2的距離相等的直線. 令l：x－y－c＝0，則5＜c＜15，且＝， 解得c＝10.所以l的方程為x－y－10＝0. 由題意知，P1P2的中點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線l的距離d＝＝5，所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為5. 總結(jié)提高 1.求解與兩直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí)，主要是利用兩直線平行或垂直的條件，即“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”.若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究. 2.學(xué)會(huì)用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗(yàn)等基本的數(shù)學(xué)方法和思想.特別是注意數(shù)形結(jié)合思想方法，根據(jù)題意畫出圖形不僅易于找到解題思路，還可以避免漏解和增解，同時(shí)還可以充分利用圖形的性質(zhì)，挖掘出某些隱含條件，找到簡捷解法. 3.運(yùn)用公式d＝求兩平行直線之間的距離時(shí)，要注意把兩直線方程中x、y的系數(shù)化成分別對(duì)應(yīng)相等.