2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《圓錐曲線與方程》全部教案 北師大版選修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《圓錐曲線與方程》全部教案 北師大版選修2 第一課時 3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一) 一、教學(xué)目標(biāo):1、知識目標(biāo):掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程,能正確推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2、能力目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、合作學(xué)習(xí)能力和運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題的能力;培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.3、情感目標(biāo):激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、提高學(xué)生的審美情趣、培養(yǎng)學(xué)生勇于探索,敢于創(chuàng)新的精神. 二、教學(xué)重點(diǎn):橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.教學(xué)難點(diǎn):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo). 三、教學(xué)方法:探究式教學(xué)法,即教師通過問題誘導(dǎo)→啟發(fā)討論→探索結(jié)果,引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察→歸納抽象→總結(jié)規(guī)律,使學(xué)生在獲得知識的同時,能夠掌握方法、提升能力. 四、教學(xué)過程: (一)、復(fù)習(xí)引入: 1.1997年初,中國科學(xué)院紫金山天文臺發(fā)布了一條消息,從1997年2月中旬起,海爾波普彗星將逐漸接近地球,過4月以后,又將漸漸離去,并預(yù)測3000年后,它還將光臨地球上空 1997年2月至3月間,許多人目睹了這一天文現(xiàn)象天文學(xué)家是如何計算出彗星出現(xiàn)的準(zhǔn)確時間呢?原來,海爾波普彗星運(yùn)行的軌道是一個橢圓,通過觀察它運(yùn)行中的一些有關(guān)數(shù)據(jù),可以推算出它的運(yùn)行軌道的方程,從而算出它運(yùn)行周期及軌道的的周長 (說明橢圓在天文學(xué)和實際生產(chǎn)生活實踐中的廣泛應(yīng)用,指出研究橢圓的重要性和必要性,從而導(dǎo)入本節(jié)課的主題) 2.復(fù)習(xí)求軌跡方程的基本步驟: 3.手工操作演示橢圓的形成:取一條定長的細(xì)繩,把它的兩端固定在 畫圖板上的兩點(diǎn),當(dāng)繩長大于兩點(diǎn)間的距離時,用鉛筆把繩子拉 近,使筆尖在圖板上慢慢移動,就可以畫出一個橢圓 分析:(1)軌跡上的點(diǎn)是怎么來的?(2)在這個運(yùn)動過程中,什么是不變的? 答:兩個定點(diǎn),繩長即不論運(yùn)動到何處,繩長不變(即軌跡上與兩個定點(diǎn)距離之和不變) (二)、探究新課: 1 橢圓定義:平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓,這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距 注意:橢圓定義中容易遺漏的兩處地方: (1)兩個定點(diǎn)---兩點(diǎn)間距離確定(2)繩長--軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定 思考:在同樣的繩長下,兩定點(diǎn)間距離較長,則所畫出的橢圓較扁(線段) 在同樣的繩長下,兩定點(diǎn)間距離較短,則所畫出的橢圓較圓(圓)由此,橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距離、繩長有關(guān)(為下面離心率概念作鋪墊) 2.根據(jù)定義推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程: 取過焦點(diǎn)的直線為軸,線段的垂直平分線為軸設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn),橢圓的焦距是().則,又設(shè)M與距離之和等于()(常數(shù)) , , 化簡,得 , 由定義,令代入,得 , 兩邊同除得 ,此即為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上,焦點(diǎn)是,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程 其中 注意若坐標(biāo)系的選取不同,可得到橢圓的不同的方程 如果橢圓的焦點(diǎn)在軸上(選取方式不同,調(diào)換軸)焦點(diǎn)則變成,只要將方程中的調(diào)換,即可得,也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 理解:所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,一定指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn);在與這兩個標(biāo)準(zhǔn)方程中,都有的要求,如方程就不能肯定焦點(diǎn)在哪個軸上;分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,可與直線截距式類比,如中,由于,所以在軸上的“截距”更大,因而焦點(diǎn)在軸上(即看分母的大小) (三)、探析例題: 例1、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:⑴兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0),橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10;⑵兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,-2)和(0,2)且過(,) 解:(1)因為橢圓的焦點(diǎn)在軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 因為橢圓的焦點(diǎn)在軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由橢圓的定義知,+ 又所以所求標(biāo)準(zhǔn)方程為 另法:∵ ∴可設(shè)所求方程,后將點(diǎn)(,)的坐標(biāo)代入可求出,從而求出橢圓方程 點(diǎn)評:題(1)根據(jù)定義求 若將焦點(diǎn)改為(0,-4)、(0,4)其結(jié)果如何; 題(2)由學(xué)生的思考與練習(xí),總結(jié)有兩種求法:其一由定義求出長軸與短軸長,根據(jù)條件寫出方程;其二是由已知焦距,求出長軸與短軸的關(guān)系,設(shè)出橢圓方程,由點(diǎn)在橢圓上的條件,用待定系數(shù)的辦法得出方程 (四)、課堂練習(xí): 1 橢圓上一點(diǎn)P到一個焦點(diǎn)的距離為5,則P到另一個焦點(diǎn)的距離為( ) A.5 B.6 C.4 D.10 2.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( ) A.(5,0) B.(0,5) C.(0,12) D.(12,0) 3.已知橢圓的方程為,焦點(diǎn)在軸上,則其焦距為( ) A.2 B.2 C.2 D. 4.,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 5.方程表示橢圓,則的取值范圍是( ) A. B.∈Z) C. D. ∈Z) 參考答案:1.A2.C3.A4. 5. B (五)、小結(jié) :本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,應(yīng)注意以下幾點(diǎn): ①橢圓的定義中, ; ②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,焦點(diǎn)的位置看,的分母大小來確定; ③、、的幾何意義 (六)、課后作業(yè):1.判斷下列方程是否表上橢圓,若是,求出的值 ①;②;③;④ 答案:①表示園;②是橢圓;③不是橢圓(是雙曲線);④可以表示為 ,是橢圓, 2 橢圓的焦距是 ,焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ;若CD為過左焦點(diǎn)的弦,則的周長為 答案: 3. 方程的曲線是焦點(diǎn)在上的橢圓 ,求的取值范圍 答案: 4 化簡方程: 答案: 5 橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于6,則點(diǎn)P到另一個焦點(diǎn)F2的距離是 答案:4 6 動點(diǎn)P到兩定點(diǎn) (-4,0), (4,0)的距離的和是8,則動點(diǎn)P的軌跡為 _______ 答案:是線段,即 五、教后反思: 第二課時3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(二) 一、教學(xué)目標(biāo):熟練掌握橢圓的兩個標(biāo)準(zhǔn)方程 二、教學(xué)重點(diǎn):兩種橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí): 1、橢圓定義: 平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓,這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距 2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (二)、引入新課 例1、已知B、C是兩個定點(diǎn),∣BC∣=6,且△ABC的周長等于16,求頂點(diǎn)A的軌跡方程. 分析:在解析幾何里,求符合某種條件的點(diǎn)的軌跡方程,要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,而選擇坐標(biāo)系的原則,通常欲使得到的曲線方程形式簡單. 在右圖中,由△ABC的周長等于16,∣BC∣=6可知,點(diǎn)A到B、C兩點(diǎn)的距離之和是常數(shù),即 ∣AB∣+∣AC∣=16-6=10,因此,點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓,據(jù)此可建立坐標(biāo)系并畫出草圖(如圖) 解:如右圖,建立坐標(biāo)系,使x軸經(jīng)過點(diǎn)B、C,原點(diǎn)O與BC的中點(diǎn)重合. 由已知∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=16,∣BC∣=6,有∣AB∣+∣AC∣=10,即點(diǎn)A的軌跡是橢圓,且 2c=6, 2a=16-6=10 ∴c=3, a=5, b2=52-32=16 但當(dāng)點(diǎn)A在直線BC上,即y=0時,A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,所以點(diǎn)A的軌跡方程是 說明:①求出曲線后,要注意檢查一下方程的曲線上的點(diǎn)是否都符合題意,如果有不符合題意的點(diǎn),應(yīng)在所得方程后注明限制條件;②例1要求學(xué)生對橢圓的定義比較熟悉,這樣可以在求曲線軌跡方程時,簡化求解步驟,快速準(zhǔn)確得到所求的軌跡方程,并且在課堂練習(xí)中對這點(diǎn)予以強(qiáng)調(diào). 例2、 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-3,0),(3,0),橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5,0). (2)兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,5),(0,-5),橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和為26. 解:(1)∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為: ∵,2c=6. ∴ ∴ ∴所求橢圓的方程為:. (2)∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . ∴ ∴所求橢圓方程為: 例3、 已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解:設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 則有 ,解得 所以,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 例4、已知B,C是兩個定點(diǎn),|BC|=6,且的周長等于16,求頂點(diǎn)A的軌跡方程 解:以BC所在直線為軸,BC中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)頂點(diǎn),根據(jù)已知條件得|AB|+|AC|=10 再根據(jù)橢圓定義得 所以頂點(diǎn)A的軌跡方程為 (≠0)(特別強(qiáng)調(diào)檢驗) (三)、課堂練習(xí):課本P65頁1、2、3 補(bǔ)充題:寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(口答) (1) a=4,b=3,焦點(diǎn)在x軸;(2)a=5,c=2,焦點(diǎn)在y軸上.(答案:;) (2) 已知三角形ΔABC的一邊長為6,周長為16,求頂點(diǎn)A的軌跡方程 解:以BC邊為x軸,BC線段的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則A點(diǎn)的軌跡是橢圓,其方程為: 若以BC邊為y軸,BC線段的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則A點(diǎn)的軌跡是橢圓, 其方程為: (四)、小結(jié):本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的簡單應(yīng)用;①求出曲線后,要注意檢查一下方程的曲線上的點(diǎn)是否都符合題意,如果有不符合題意的點(diǎn),應(yīng)在所得方程后注明限制條件;②例1要求學(xué)生對橢圓的定義比較熟悉,這樣可以在求曲線軌跡方程時,簡化求解步驟,快速準(zhǔn)確得到所求的軌跡方程,并且在課堂練習(xí)中對這點(diǎn)予以強(qiáng)調(diào).注意待定系數(shù)法的運(yùn)用。(1)橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)標(biāo)準(zhǔn)方程中的關(guān)系;(3)焦點(diǎn)所在的軸與標(biāo)準(zhǔn)方程形式之間的關(guān)系. (五)、課后作業(yè):習(xí)題3-1 A組中2、3、4、5 四、教學(xué)反思: 第三課時 3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)(一) 一、教學(xué)目標(biāo):(1)知識與技能:掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn),掌握幾何意義以及的相互關(guān)系,初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。(2)過程與方法:利用曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法是學(xué)習(xí)解析幾何以來的第一次,通過初步嘗試,使學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生與形成的過程,不僅注意對研究結(jié)果的掌握和應(yīng)用,更重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng);以自主探究為主,通過體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。(3)情感、態(tài)度與價值觀:通過自主探究、交流合作使學(xué)生親身體驗研究的艱辛,從中體味合作與成功的快樂,由此激發(fā)其更加積極主動的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣;通過多媒體展示,讓學(xué)生體會橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對稱美,培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):重點(diǎn):從知識上來講,要掌握如何利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征研究橢圓的幾何性質(zhì);從學(xué)生的體驗來說,需要關(guān)注學(xué)生在探究橢圓性質(zhì)的過程中思維的過程展現(xiàn),如思維角度和思維方法。難點(diǎn):橢圓幾何性質(zhì)的形成過程,即如何從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征中抽象出橢圓的幾何性質(zhì)。 三、教學(xué)方法:探究式教學(xué)法,即教師通過問題誘導(dǎo)→啟發(fā)討論→探索結(jié)果,引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察→歸納抽象→總結(jié)規(guī)律,使學(xué)生在獲得知識的同時,能夠掌握方法、提升能力. 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí)與引入過程:引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)由函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)或其圖像的特點(diǎn),在本節(jié)中不僅要注意通過對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論,研究橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用,而且還注意對這種研究方法的培養(yǎng).①由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負(fù)實數(shù)的概念能得到橢圓的范圍;②由方程的性質(zhì)得到橢圓的對稱性;③先定義圓錐曲線頂點(diǎn)的概念,容易得出橢圓的頂點(diǎn)的坐標(biāo)及長軸、短軸的概念;④通過P48的思考問題,探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率.〖板書〗2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì). (二)、新課探析 (1)、通過復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí),知道對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來研究橢圓的幾何性質(zhì). 提問:研究曲線的幾何特征有什么意義?從哪些方面來研究? 通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點(diǎn)的討論,可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置.要從范圍、對稱性、頂點(diǎn)及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì). (2)、橢圓的簡單幾何性質(zhì):①范圍:由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得,,進(jìn)一步得:,同理可得:,即橢圓位于直線和所圍成的矩形框圖里;②對稱性:由以代,以代和代,且以代這三個方面來研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有,從而得到橢圓是以軸和軸為對稱軸,原點(diǎn)為對稱中心;③頂點(diǎn):先給出圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義,即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點(diǎn)叫做圓錐曲線的頂點(diǎn).因此橢圓有四個頂點(diǎn),由于橢圓的對稱軸有長短之分,較長的對稱軸叫做長軸,較短的叫做短軸; ④離心率: 橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率(),; . (3)例題講解與引申、擴(kuò)展 例1、 求橢圓的長軸和短軸的長、離心 率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo). 分析:由橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,容易求出.引導(dǎo) 學(xué)生用橢圓的長軸、短軸、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的定義即可 求相關(guān)量. 擴(kuò)展:已知橢圓的離心率為,求的值. 解法剖析:依題意,,但橢圓的焦點(diǎn)位置沒有確定,應(yīng)分類討論:①當(dāng)焦點(diǎn)在軸上,即時,有,∴,得;②當(dāng)焦點(diǎn)在軸上,即時,有,∴. 例2、 如圖,一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分.過對對稱的截口是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一個焦點(diǎn)上,片門位于另一個焦點(diǎn)上,由橢圓一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點(diǎn).已知,,.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求截口所在橢圓的方程. 解法剖析:建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,算出的值;此題應(yīng)注意兩點(diǎn):①注意建立直角坐標(biāo)系的兩個原則;②關(guān)于的近似值,原則上在沒有注意精確度時,看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定. 例3、如圖,設(shè)與定點(diǎn)的距離和它到直線:的距離的比是常數(shù),求點(diǎn)的軌跡方程. 分析:若設(shè)點(diǎn),則,到直線 :的距離,則容易得點(diǎn)的軌跡方程. 引申:(用《幾何畫板》探究)若點(diǎn)與定點(diǎn)的 距離和它到定直線:的距離比是常數(shù),則點(diǎn)的軌跡方程是橢圓.其中定點(diǎn)是焦點(diǎn),定直線:相應(yīng)于的準(zhǔn)線;由橢圓的對稱性,另一焦點(diǎn),相應(yīng)于的準(zhǔn)線:. (三)、課堂練習(xí):課本P68頁中1、2 (四)、反思小結(jié):(1)、利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)時,若橢圓的方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程,首先應(yīng)將方程畫為標(biāo)準(zhǔn)方程,然后找出相應(yīng)的。利用橢圓的幾何性質(zhì),可以簡化畫圖過程,保證圖形的準(zhǔn)確性;(2)、掌握畫橢圓草圖的基本步驟和注意事項:①以橢圓的長軸、短軸為鄰邊畫矩形;②由矩形四邊的中點(diǎn)確定橢圓的四個頂點(diǎn);③用曲線將四個頂點(diǎn)連成一個橢圓;④畫圖時要注意它們的對稱性及頂點(diǎn)附近的平滑性。 (五)、課后作業(yè):課本習(xí)題3-1 A組中6、7、8 五、教后反思: 第四課時 3.1.2橢圓的幾何性質(zhì)(二) 一、教學(xué)目標(biāo):1.熟悉橢圓的幾何性質(zhì);2.了解橢圓的簡單應(yīng)用. 二、教學(xué)重點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí): 1、橢圓定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2、橢圓的幾何性質(zhì) (二)、引入新課 1.橢圓的第二定義:一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內(nèi)常數(shù),那么這個點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn),定直線叫做準(zhǔn)線,常數(shù)就是離心率 2.橢圓的準(zhǔn)線方程 對于,相對于左焦點(diǎn)對應(yīng)著左準(zhǔn)線;相對于右焦點(diǎn)對應(yīng)著右準(zhǔn)線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離(焦參數(shù)) 注:(1)橢圓的第二定義與第一定義是等價的,它是橢圓兩種不同的定義方式 (2)橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條,這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部,與短軸平行,且關(guān)于短軸對稱 (三)例題探析 例1、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)經(jīng)過點(diǎn)P(-3,0)、Q(0,-2);(2)長軸的長等于20,離心率等于. 解:(1)由橢圓的幾何性質(zhì)可知,以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn),所以點(diǎn)P、Q分別是橢圓長軸和短軸的一個端點(diǎn),于是得a=3,b=2. 又因為長軸在x軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)由已知,2a=20,, 由于橢圓的焦點(diǎn)可能在x軸上,也可能在y軸上,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 或. 說明:此題要求學(xué)生熟悉橢圓的幾何性質(zhì),并注意區(qū)分兩種橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程. 例2、求下列橢圓的準(zhǔn)線方程:(1) (2) 解析:將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,利用性質(zhì)可求解。 例3、橢圓上有一點(diǎn)P,它到橢圓的左準(zhǔn)線距離為10,求點(diǎn)P到橢圓的右焦點(diǎn)的距離 解析:利用橢圓定義。 例4、如圖,我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道,是以地心(地球的中心)為一個焦點(diǎn)的橢圓。已知它的近地點(diǎn)(離地面最近的點(diǎn))距地面,遠(yuǎn)地點(diǎn)(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面,并且、、在同一直線上,地球半徑約為,求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程(精確到). 解:如圖,建立直角坐標(biāo)系,使點(diǎn)在軸上,為橢圓右焦點(diǎn)(記為左焦點(diǎn)), 設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(), 則, 圖① , 解得: ∴, 所以,衛(wèi)星的軌道方程是. (三)、小結(jié):本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的橢圓的幾何性質(zhì)(對稱性、范圍、頂點(diǎn)、離心率).1、掌握橢圓的幾何性質(zhì):范圍、對稱性、頂點(diǎn)、長軸、短軸、離心率;2、掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c、e之間的關(guān)系。 (四)、課堂練習(xí):1、求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo),并用描點(diǎn)法畫出圖形. 解:把已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,,,∴, ∴橢圓長軸和短軸長分別為和,離心率, 焦點(diǎn)坐標(biāo),,頂點(diǎn),,,. 2、(06山東理,7)在給定橢圓中,過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該橢圓的離心率為( ) (A) (B) (C) (D) 3、(xx全國,15)設(shè)橢圓=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F1,右準(zhǔn)線為l1,若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點(diǎn)F1到l1的距離,則橢圓的離心率是 。 解析:(1)不妨設(shè)橢圓方程為(a>b>0),則有,據(jù)此求出e=,選B。 (2);解析:由題意知過F1且垂直于x軸的弦長為,∴,∴,∴,即e=。 (五)、課后作業(yè):課本習(xí)題3-1 B組中1、2、3 五、教后反思: 第五課時3.2. 1拋物線及標(biāo)準(zhǔn)方程(一) 一、教學(xué)目標(biāo):1、知識與技能:掌握拋物線的定義,掌握拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式,及其對應(yīng)的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線。2、過程與方法:通過對拋物線概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生分析和概括的能力,提高建立坐標(biāo)系的能力,由圓錐曲線的統(tǒng)一定義,形成學(xué)生對事物運(yùn)動變化、對立、統(tǒng)一的辨證唯物主義觀點(diǎn)。3、情感、態(tài)度與價值觀:通過拋物線概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、嚴(yán)密細(xì)致的科學(xué)態(tài)度,通過提問、討論、思考等教學(xué)活動,調(diào)動學(xué)生積極參與教學(xué),培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 二、教學(xué)重點(diǎn):(1)拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線;(2)利用坐標(biāo)法求出拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程;(3)會根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),準(zhǔn)線方程求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 教學(xué)難點(diǎn):(1)拋物線的四種圖形及標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分;(2)拋物線定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等知識的靈活運(yùn)用。 三、教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)法(通過橢圓第二定義引出拋物線)。依據(jù)建構(gòu)主義教學(xué)原理,通過類比、歸納把新知識化歸到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去(二次函數(shù)與拋物線方程的對比,移圖與建立適當(dāng)建立坐標(biāo)系的方法的歸納)。利用多媒體教學(xué) 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí)引入: 橢圓的定義。 (二)、探析新課: 1. 拋物線定義:平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線 定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線 2.推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程: 如圖所示,建立直角坐標(biāo)系系,設(shè)|KF|=(>0),那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,準(zhǔn)線的方程為, 設(shè)拋物線上的點(diǎn)M(x,y),則有 化簡方程得 方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(,0),它的準(zhǔn)線方程是 (2)一條拋物線,由于它在坐標(biāo)系的位置不同,方程也不同,有四種不同的情況,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式:,,.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下 3.拋物線的準(zhǔn)線方程:如圖所示,分別建立直角坐標(biāo)系,設(shè)出|KF|=(>0),則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下: (1), 焦點(diǎn):,準(zhǔn)線: (2), 焦點(diǎn):,準(zhǔn)線: (3), 焦點(diǎn):,準(zhǔn)線: (4) , 焦點(diǎn):,準(zhǔn)線: 相同點(diǎn):(1)拋物線都過原點(diǎn);(2)對稱軸為坐標(biāo)軸;(3)準(zhǔn)線都與對稱軸垂直,垂足與焦點(diǎn)在對稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱 它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的,即 不同點(diǎn):(1)圖形關(guān)于X軸對稱時,X為一次項,Y為二次項,方程右端為、左端為;圖形關(guān)于Y軸對稱時,X為二次項,Y為一次項,方程右端為,左端為 (2)開口方向在X軸(或Y軸)正向時,焦點(diǎn)在X軸(或Y軸)的正半軸上,方程右端取正號;開口在X軸(或Y軸)負(fù)向時,焦點(diǎn)在X軸(或Y軸)負(fù)半軸時,方程右端取負(fù)號 點(diǎn)評:(1)建立坐標(biāo)系是坐標(biāo)法的思想基礎(chǔ),但不同的建立方式使所得的方程繁簡不同,布置學(xué)生自己寫出推導(dǎo)過程并與課文對照可以培養(yǎng)學(xué)生動手能力、自學(xué)能力,提高教學(xué)效果 ,進(jìn)一步明確拋物線上的點(diǎn)的幾何意義 (2)猜想是數(shù)學(xué)問題解決中的一類重要方法,請同學(xué)們根據(jù)推導(dǎo)出的(1)的標(biāo)準(zhǔn)方程猜想其它幾個結(jié)論,非常有利于培養(yǎng)學(xué)生歸納推理或類比推理的能力,幫助他們形成良好的直覺思維—數(shù)學(xué)思維的一種基本形式 另外讓學(xué)生推導(dǎo)和猜想出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程所有的四種形式,也比老師直接寫出這些方程給學(xué)生帶來的理解和記憶的效果更好 (3)對四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程進(jìn)行完整的歸納小結(jié),讓學(xué)生通過對比分析全面深刻地理解和掌握它們 (三)、探析例題: 例1、(1)已知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 (2)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,-2),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程 分析:(1)在標(biāo)準(zhǔn)方程下焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程都是用p的代數(shù)式表示的,所以只要求出p即可; ?。?)求的是標(biāo)準(zhǔn)方程,因此所指拋物線應(yīng)過原點(diǎn),結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求出p,問題易解。 解析:(1)p=3,焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0)準(zhǔn)線方程是x=-.(2)焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上,=2, 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)議程是. 例2、 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(1)y2=12x,(2)y=12x2,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程. 分析:這是關(guān)于拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本例題,關(guān)鍵是(1)根據(jù)示意圖確定屬于哪類標(biāo)準(zhǔn)形式,(2)求出參數(shù)p的值. 解:(1)p=6,焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)準(zhǔn)線方程是x=-3. (2)先化為標(biāo)準(zhǔn)方程,,焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,),準(zhǔn)線方程是y=-. 例3、 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(-5,0);(2)經(jīng)過點(diǎn)A(2,-3) 分析:拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個參數(shù)p,因此,只要確定了拋物線屬于哪類標(biāo)準(zhǔn)形式,再求出p值就可以寫出其方程,但要注意兩解的情況(如第(2)小題). 解:(1)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上,=5,所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)議程是. (2)經(jīng)過點(diǎn)A(2,-3)的拋物線可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)形式: y2=2px或x2=-2py. 點(diǎn)A(2,-3)坐標(biāo)代入,即9=4p,得2p= 點(diǎn)A(2,-3)坐標(biāo)代入x2=-2py,即4=6p,得2p=∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=x或x2=-y (四)、課堂練習(xí):1.求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 (1)y2=8x (2)x2=4y (3)2y2+3x=0 (4) 2.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)焦點(diǎn)是F(-2,0) (2)準(zhǔn)線方程是 (3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4,焦點(diǎn)在y軸上(4)經(jīng)過點(diǎn)A(6,-2) 3.拋物線x2=4y上的點(diǎn)p到焦點(diǎn)的距離是10,求p點(diǎn)坐標(biāo) 課堂練習(xí)答案:1.(1)F(2,0),x=-2 (2)(0,1),y=-1(3)(,0),x=(4)(0,),y=2.(1)y2=-8x (2)x2=-y (3)x2=8y或x2=-8y (4) 或 3.(6,9) 點(diǎn)評:練習(xí)時注意(1)由焦點(diǎn)位置或準(zhǔn)線方程正確判斷拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型;(2)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離故p>0;(3)根據(jù)圖形判斷解有幾種可能 (五)、小結(jié) :小結(jié)拋物線的定義、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線及其方程的概念。 (六)、課后作業(yè):第78頁1、2、3、4 五、教后反思: 第六課時3.2. 1拋物線及標(biāo)準(zhǔn)方程(二) 一、教學(xué)目標(biāo):熟練掌握拋物線的四個標(biāo)準(zhǔn)方程 二、教學(xué)重點(diǎn):四種拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí): 1、拋物線定義:平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線. 2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (二)、引入新課 例1、點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1,求點(diǎn)M的軌跡方程. 分析:由已知,點(diǎn)M屬于集合 將|MF|用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來,化簡后就可得到點(diǎn)M的軌跡方程,但這種解法的化簡過程比較繁瑣. 仔細(xì)分析題目的條件,不難發(fā)現(xiàn):首先,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x應(yīng)滿足x>-5,即點(diǎn)M應(yīng)在直線l的右邊,否則點(diǎn)M到F的距離大于它到l的距離;其次,“點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1”,就是“點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離等于它到直線x+4=0的距離”,由此可知點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),直線x+4=0為準(zhǔn)線的拋物線. 解:如圖,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y). 由已知條件可知,點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離等于它到直線x+4=0的距離.根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)M的軌跡是以F(4,0)為焦點(diǎn)的拋物線. 因為焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,所以點(diǎn)M的軌跡方程為:y2=16x 說明:此題為拋物線定義的靈活應(yīng)用,應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生加強(qiáng)對拋物線定義的理解與認(rèn)識. 例2、 探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分,光源位于拋物線的焦點(diǎn)處,已知燈口圓的直徑為60cm,燈深40cm,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)的位置. 分析:此題是根據(jù)已知條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是選擇建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并由此使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識坐標(biāo)法. 解:如圖,在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,使反光鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合,x軸垂直于燈口直徑. 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是(40,30),代入方程得: 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是,焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0). 說明:此題在建立坐標(biāo)系后,要求學(xué)生能夠根據(jù)拋物線的圖形確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型,再求出方程中的參數(shù)p. 師:為使大家進(jìn)一步掌握坐標(biāo)法,我們來看下面的例3: 例3、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(-5,0);(2)經(jīng)過點(diǎn)A(2,-3) 分析:拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個參數(shù)p,因此,只要確定了拋物線屬于哪類標(biāo)準(zhǔn)形式,再求出p值就可以寫出其方程,但要注意兩解的情況 解:(1)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上,=5, 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)議程是. (2)經(jīng)過點(diǎn)A(2,-3)的拋物線可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)形式:y2=2px或x2=-2py. 點(diǎn)A(2,-3)坐標(biāo)代入,即9=4p,得2p= 點(diǎn)A(2,-3)坐標(biāo)代入x2=-2py,即4=6p,得2p= ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是或x2=-y 例4、已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(1),(2),求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程. 分析:這是關(guān)于拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本例題,關(guān)鍵是(1)根據(jù)示意圖確定屬于哪類標(biāo)準(zhǔn)形式,(2)求出參數(shù)的值. 解:(1),焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)準(zhǔn)線方程 (2)先化為標(biāo)準(zhǔn)方程,,焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,), 準(zhǔn)線方程是. (三)、課堂小結(jié):本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的簡單應(yīng)用,關(guān)于拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本例題,關(guān)鍵是(1)根據(jù)示意圖確定屬于哪類標(biāo)準(zhǔn)形式;(2)求出參數(shù)的值. (四)、課堂練習(xí):1、根據(jù)下列條件寫出拋物線的方程:①焦點(diǎn)是(0,3);②準(zhǔn)線是;③焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4。 2、求下列拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程:①, ② (五)、課后作業(yè):見第78頁A組9、10 B組中2、3 五、教后反思: 第七課時 3.2.2 拋物線的幾何性質(zhì)(一) 一、教學(xué)目標(biāo):1.掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì);2.能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對拋物線方程進(jìn)行討論,在此基礎(chǔ)上列表、描點(diǎn)、畫拋物線圖形;3.在對拋物線幾何性質(zhì)的討論中,注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化 二、教學(xué)重點(diǎn):拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn):拋物線幾何性質(zhì)的運(yùn)用 。 三、授課類型:新授課 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí)引入:1.拋物線定義: 圖形 方程 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線 平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線 定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線 2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程: 相同點(diǎn):(1)拋物線都過原點(diǎn);(2)對稱軸為坐標(biāo)軸;(3)準(zhǔn)線都與對稱軸垂直,垂足與焦點(diǎn)在對稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱 它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的,即 不同點(diǎn):(1)圖形關(guān)于X軸對稱時,X為一次項,Y為二次項,方程右端為、左端為;圖形關(guān)于Y軸對稱時,X為二次項,Y為一次項,方程右端為,左端為 (2)開口方向在X軸(或Y軸)正向時,焦點(diǎn)在X軸(或Y軸)的正半軸上,方程右端取正號;開口在X軸(或Y軸)負(fù)向時,焦點(diǎn)在X軸(或Y軸)負(fù)半軸時,方程右端取負(fù)號 (二)、講解新課:拋物線的幾何性質(zhì) 1.范圍:因為p>0,由方程可知,這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)滿足不等式x≥0,所以這條拋物線在y軸的右側(cè);當(dāng)x的值增大時,|y|也增大,這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸. 2.對稱性:以-y代y,方程不變,所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱,我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸. 3.頂點(diǎn):拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).在方程中,當(dāng)y=0時,x=0,因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn). 對于其它幾種形式的方程,列表如下: 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 頂點(diǎn) 對稱軸 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線 離心率 軸 軸 軸 軸 注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義:是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 (三)、探析例題: 例1 已知拋物線關(guān)于x軸為對稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),并且經(jīng)過點(diǎn),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程,并用描點(diǎn)法畫出圖形.分析:首先由已知點(diǎn)坐標(biāo)代入方程,求參數(shù)p. 解:由題意,可設(shè)拋物線方程為,因為它過點(diǎn), 所以 ,即 。因此,所求的拋物線方程為. 將已知方程變形為,根據(jù)計算拋物線在的范圍內(nèi)幾個點(diǎn)的坐標(biāo),得 x 0 1 2 3 4 … y 0 2 2.8 3.5 4 … 描點(diǎn)畫出拋物線的一部分,再利用對稱性,就可以畫出拋物線的另一部分 點(diǎn)評:在本題的畫圖過程中,如果描出拋物線上更多的點(diǎn),可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸,但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線,也就是說,拋物線沒有漸近線. 例2 探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分,光源位于拋物線的焦點(diǎn)處,已知燈的圓的直徑60cm,燈深為40cm,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置.分析:這是拋物線的實際應(yīng)用題,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后,根據(jù)題設(shè)條件,可確定拋物線上一點(diǎn)坐標(biāo),從而求出p值. 解:如圖,在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,使反光鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合,x軸垂直于燈口直徑.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (p>0). 由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是(40,30),代入方程,得,即 。所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為. 例3 過拋物線的焦點(diǎn)F任作一條直線m,交這拋物線于A、B兩點(diǎn),求證:以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切. 分析:運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷. 證明:如圖.設(shè)AB的中點(diǎn)為E,過A、E、B分別向準(zhǔn)線引垂線AD,EH,BC,垂足為D、H、C,則|AF|=|AD|,|BF|=|BC|∴|AB|=|AF|+|BF|=|AD|+|BC|=2|EH| 所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑,且EH⊥l,因而圓E和準(zhǔn)線相切. (四)、課堂練習(xí):1.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于,兩點(diǎn),如果,那么=( B ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 2.已知為拋物線上一動點(diǎn),為拋物線的焦點(diǎn),定點(diǎn),則的最小值為( B ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 3.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn),若線段、的長分別是、,則=( C ) (A) (B) (C) (D) 4.過拋物線焦點(diǎn)的直線它交于、兩點(diǎn),則弦的中點(diǎn)的軌跡方程是 ______ (答案: ) 5.定長為的線段的端點(diǎn)、在拋物線上移動,求中點(diǎn)到軸距離的最小值,并求出此時中點(diǎn)的坐標(biāo)(答案: , M到軸距離的最小值為) (五)、小結(jié) :拋物線的離心率、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、對稱軸、準(zhǔn)線、中心等 (六)、課后作業(yè):1.根據(jù)下列條件,求拋物線的方程,并畫出草圖.(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸是x軸,頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于8.(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,且過P(4,2)點(diǎn).(3)頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,其上點(diǎn)P(m,-3)到焦點(diǎn)距離為5. 2.過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),若A、B在準(zhǔn)線上的射影是A2,B2,則∠A2FB2等于 3.拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸,過焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長為16,求拋物線方程. 4.以橢圓的右焦點(diǎn),F(xiàn)為焦點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線,求拋物線截橢圓在準(zhǔn)線所得的弦長. 5.有一拋物線型拱橋,當(dāng)水面距拱頂4米時,水面寬40米,當(dāng)水面下降1米時,水面寬是多少米?習(xí)題答案:1.(1)y2=32x (2)x2=8y (3)x2=-8y 2.903.x2=16 y 4.;5.米 五、教后反思: 第八課時 3.2.2拋物線的幾何性質(zhì)(二) 一、教學(xué)目標(biāo):1.熟悉拋物線的幾何性質(zhì);2.了解拋物線的簡單應(yīng)用. 二、教學(xué)重點(diǎn):拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí):1、拋物線定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;2、拋物線的幾何性質(zhì) (二)、引入新課 例1. 斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B,求線段AB的長. 分析:例2是直線與拋物線相交問題,可通過聯(lián)立方程組求解交點(diǎn)坐標(biāo),然后由兩點(diǎn)間距離公式求解距離;若注意到直線恰好過焦點(diǎn),便可與拋物線定義發(fā)生聯(lián)系,利用拋物線定義將AB分段轉(zhuǎn)化成點(diǎn)A、B到準(zhǔn)線距離,從而達(dá)到求解目的. 解法一:如圖,由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F(1,0),所以直線AB的方程為y=x-1. ① 將方程①代入拋物線方程y2=4x,得(x-1)2=4x 化簡得x2-6x+1=0 解之得:將x1,x2的值分別代入方程①中,得 即A、B坐標(biāo)分別為、. 解法二:在圖中,由拋物線的定義可知,|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-1的距離同理 于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.由此可以看到,本題在得到方程x2-6x+1=0后,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以直接得到x1+x2=6于是可以求出|AB|=6+2=8. 說明:解法二由于靈活運(yùn)用了拋物線的定義,所以減少了運(yùn)算量,提高了解題效率. 例2.正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上,求這個正三角形的邊長. 分析:觀察圖,正三角形及拋物線都是軸對稱圖形,如果能證明x軸是它們的公共的對稱軸,則容易求出三角形的邊長. 解:如圖,設(shè)正三角形OAB的頂點(diǎn)A、B在拋物線上,且坐標(biāo)分別為,則: ,所以. 由此可得,,即線段AB關(guān)于x軸對稱,因為x軸垂直于AB,且∠Aox=30,所以. 說明:這個題目對學(xué)生來說,求邊長不困難,但是他們往往直觀上承認(rèn)拋物線與三角形的對稱軸是公共的,而忽略了它的證明.教學(xué)時, 要提醒學(xué)生注意這一點(diǎn),通過這一例題,可以幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握坐標(biāo)法. 例3、 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸是x軸,拋物線上的點(diǎn)M(-3,m)到焦點(diǎn)的距離等于5,求拋物線的方程和m的值. 解法一:由焦半徑關(guān)系,設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0),則準(zhǔn)線方 因為拋物線上的點(diǎn)M(-3,m)到焦點(diǎn)的距離|MF|與到準(zhǔn)線的距離 得p=4. 因此,所求拋物線方程為y2=-8x.又點(diǎn)M(-3,m)在此拋物線上,故m2=-8(-3). 解法二:由題設(shè)列兩個方程,可求得p和m.由學(xué)生演板.由題意 在拋物線上且|MF|=5,故 例4、過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線與這拋物線相交于A、B兩點(diǎn),且A(x1,y1)、B(x2,y2)(圖2-34). 證明: (1)當(dāng)AB與x軸不垂直時,設(shè)AB方程為: 此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo),則有y1y2=-p2. 或y1=-p,y2=p,故y1y2=-p2. 綜合上述有y1y2=-p2 又∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是拋物線上的兩點(diǎn), (三)、小結(jié):本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了拋物線的幾何性質(zhì) (四)、課堂練習(xí):練習(xí):課本第75頁:1、2、3 (五)、課后作業(yè):課本習(xí)題3-2 A組中5、6、7、8 B組中4 五、教后反思: 第九課時 3.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一) 一、教學(xué)目標(biāo):1.知識與技能:掌握雙曲線的定義,標(biāo)準(zhǔn)方程,并會根據(jù)已知條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.過程與方法:教材通過具體實例類比橢圓的定義,引出雙曲線的定義,通過類比推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.情感、態(tài)度與價值觀:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),可以培養(yǎng)我們類比推理的能力,激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生思考問題、分析問題、解決問題的能力. 二、教學(xué)重點(diǎn): 雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單應(yīng)用;教學(xué)難點(diǎn): 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 三、教學(xué)方法:探究式教學(xué)法,即教師通過問題誘導(dǎo)→啟發(fā)討論→探索結(jié)果,引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察→歸納抽象→總結(jié)規(guī)律,使學(xué)生在獲得知識的同時,能夠掌握方法、提升能力. 四、教學(xué)過程 (一).情境設(shè)置 (1)復(fù)習(xí)提問:(由一位學(xué)生口答,教師利用多媒體投影) 問題 1:橢圓的定義是什么? 問題 2:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的? 問題3:如果把上述橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”,那么點(diǎn)的軌跡會發(fā)生什么變化?它的方程又是怎樣的呢? (2)探究新知:(1)演示:引導(dǎo)學(xué)生用《幾何畫板》作出雙曲線的圖象,并利用課件進(jìn)行雙曲線的模擬實驗,思考以下問題。(2)設(shè)問:①|(zhì)MF1|與|MF2|哪個大?②點(diǎn)M到F1與F2兩點(diǎn)的距離的差怎樣表示?③||MF1|-|MF2||與|F1F2|有何關(guān)系? (請學(xué)生回答:應(yīng)小于|F1F2| 且大于零,當(dāng)常數(shù)等于|F1F2| 時,軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線;當(dāng)常數(shù)大于|F1F2| 時,無軌跡) (二)、新知探究 1.雙曲線的定義:引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線的定義:定義:平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于<|F1F2|)的點(diǎn)軌跡叫做雙曲線,這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。(投影)概念中幾個關(guān)鍵詞:“平面內(nèi)”、“距離的差的絕對值”、“常數(shù)小于” 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:現(xiàn)在我們可以用類似求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法來求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,請學(xué)生思考、回憶橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法,隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)(教師使用多媒體演示) (1)建系:取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸,線段F1F2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。 (2) 設(shè)點(diǎn):設(shè)M(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn),雙曲線的焦距為2c(c>0),則F1(-c,0)、F2(c,0),又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(2a<2c). (3)列式:由定義可知,雙曲線上點(diǎn)的集合是P={M|||MF1|-|MF2||=2a}. 即: (4)化簡方程 由一位學(xué)生板演,教師巡視?;啠淼茫? 移項兩邊平方得 兩邊再平方后整理得 由雙曲線定義知 這個方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,它所表示的雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)是F1(-c,0)、F2(c,0), 思考: 雙曲線的焦點(diǎn)F1(0,-c)、F2(0,c)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么? 學(xué)生得到: 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:. 注:(1)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn): ①雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)y軸上兩種: 焦點(diǎn)在軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(,); 焦點(diǎn)在軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(,) ②有關(guān)系式成立,且其中a與b的大小關(guān)系:可以為 (2).焦點(diǎn)的位置:從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點(diǎn)位置可由方程中含字母、項的分母的大小來確定,分母大的項對應(yīng)的字母所在的軸就是焦點(diǎn)所在的軸 而雙曲線是根據(jù)項的正負(fù)來判斷焦點(diǎn)所在的位置,即項的系數(shù)是正的,那么焦點(diǎn)在軸上;項的系數(shù)是正的,那么焦點(diǎn)在軸上。 (三)、例題探析、引申與補(bǔ)充 例1、已知雙曲線兩個焦點(diǎn)分別為,,雙曲線上一點(diǎn)到,距離差的絕對值等于,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 分析:由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義及給出的條件,容易求出. 補(bǔ)充:求下列動圓的圓心的軌跡方程:① 與⊙:內(nèi)切,且過點(diǎn);② 與⊙:和⊙:都外切;③ 與⊙:外切,且與⊙:內(nèi)切. 解題剖析:這表面上看是圓與圓相切的問題,實際上是雙曲線的定義問題.具體解:設(shè)動圓的半徑為. ① ∵⊙與⊙內(nèi)切,點(diǎn)在⊙外,∴,,因此有,∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,即的軌跡方程是; ② ∵⊙與⊙、⊙均外切,∴,,因此有,∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的上支,∴的軌跡方程是; ③ ∵與外切,且與內(nèi)切,∴,,因此,∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,∴的軌跡方程是. 例2、 已知,兩地相距,在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚,且聲速為,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程. 分析:首先要判斷軌跡的形狀,由聲學(xué)原理:由聲速及,兩地聽到爆炸聲的時間差,即可知,兩地與爆炸點(diǎn)的距離差為定值.由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程. 擴(kuò)展:某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀察點(diǎn)的報告:正西、正北兩個觀察點(diǎn)同時聽到了一聲巨響,正東觀察點(diǎn)聽到該巨響的時間比其他兩個觀察點(diǎn)晚.已知各觀察點(diǎn)到該中心的距離都是.試確定該巨響發(fā)生的位置(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為;相關(guān)點(diǎn)均在同一平面內(nèi)). 解法剖析:因正西、正北同時聽到巨響,則巨響應(yīng)發(fā)生在西北方向或東南方向,以因正東比正西晚,則巨響應(yīng)在以這兩個觀察點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線上. 如圖,以接報中心為原點(diǎn),正東、正北方向分別為軸、軸方向,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)、、分別是西、東、北觀察點(diǎn),則,,. 設(shè)為巨響發(fā)生點(diǎn),∵、同時聽到巨響,∴所在直線為……①,又因點(diǎn)比點(diǎn)晚聽到巨響聲,∴.由雙曲線定義知,,,∴,∴點(diǎn)在雙曲線方程為……②.聯(lián)立①、②求出點(diǎn)坐標(biāo)為.即巨響在正西北方向處. 探究:如圖,設(shè),的坐標(biāo)分別為,.直線,相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為,求點(diǎn)的軌跡方程,并與2.1.例3比較,有什么發(fā)現(xiàn)? 探究方法:若設(shè)點(diǎn),則直線,的斜率就可以用含的式子表示,由于直線,的斜率之積是,因此,可以求出之間的關(guān)系式,即得到點(diǎn)的軌跡方程. (四)、課堂小結(jié):雙曲線的兩類標(biāo)準(zhǔn)方程是焦點(diǎn)在軸上,焦點(diǎn)在軸上,有關(guān)系式成立,且 其中a與b的大小關(guān)系:可以為。 (五)、課堂練習(xí):課本P80頁1、2 (六)、作業(yè)布置:課本習(xí)題3-3 A組中1、2、3、4 五、教學(xué)反思: 第十課時 3.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(二) 一、教學(xué)目標(biāo):熟練掌握雙曲線的兩個標(biāo)準(zhǔn)方程 二、教學(xué)重點(diǎn):兩種雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí): 1、雙曲線定義: 平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線; 2、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (二)、引入新課 例1 已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,并且雙曲線上兩點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為(3,)、(),求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 解:因為雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為: (a>0,b>0) ① 因為點(diǎn)P1、P2在雙曲線上,所以點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)適合方程①.將(3,)、()分別代入方程①中,得方程組 解得:a2=16,b2=9.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 說明:例2要求學(xué)生熟悉雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程,并能熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求解曲線的方程. 例2 一炮彈在某處爆炸,在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2 s. (1)爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上? (2)已知A、B兩地相距800 m,并且此時聲速為340 m/s,求曲線的方程. 解(1)由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時間差,可知A、B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差,因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上. 因為爆炸點(diǎn)離A處比離B處更遠(yuǎn),所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的一支上. (2)如圖8—14,建立直角坐標(biāo)系xOy,使A、B兩點(diǎn)在x軸上,并且點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合. 設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則 即2a=680,a=340. 又 ∴2c=800,c=400, b2=c2-a2=44400. ∵ ∴x>0. 所求雙曲線的方程為: (x>0). 說明:例2表明,利用兩個不同的觀測點(diǎn)測得同一炮彈爆炸聲的時間差,可以確定爆炸點(diǎn)所在的雙曲線的方程,但不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.如果再增設(shè)一個觀測點(diǎn)C,利用B、C(或A、C)兩處測得的爆炸聲的時間差,可以求出另一個雙曲線的方程,解這兩個方程組成的方程組,就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.這是雙曲線的一個重要應(yīng)用. 例3、求下列動圓的圓心的軌跡方程:① 與⊙:內(nèi)切,且過點(diǎn);② 與⊙:和⊙:都外切;③ 與⊙:外切,且與⊙:內(nèi)切. 解題剖析:這表面上看是圓與圓相切的問題,實際上是雙曲線的定義問題.具體解:設(shè)動圓的半徑為. ① ∵⊙與⊙內(nèi)切,點(diǎn)在⊙外,∴,,因此有,∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,即的軌跡方程是; ② ∵⊙與⊙、⊙均外切,∴,,因此有,∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的上支,∴的軌跡方程是; ③ ∵與外切,且與內(nèi)切,∴,,因此,∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,∴的軌跡方程是. (三)、小結(jié):本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的簡單應(yīng)用 (四)、課堂練習(xí):1、求焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6,0)、(6,0),并且經(jīng)過點(diǎn)A(-5,2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2、求經(jīng)過點(diǎn)和,焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 3、橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn),則實數(shù)的值是 。 4.已知是雙曲線的焦點(diǎn),PQ是過焦點(diǎn)的弦,且PQ的傾斜角為600,那么的值為 (五)、課后作業(yè):見練習(xí)冊 四、教學(xué)反思: 第十一課時3.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)(一) 一、教學(xué)目標(biāo):1、掌握雙曲線的幾何性質(zhì):范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線、實軸、虛軸、離心率;2、掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 圓錐曲線與方程 2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章圓錐曲線與方程全部教案 北師大版選修2 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 第三 圓錐曲線 方程 全部 教案 北師大 選修
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