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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章《事件的相互獨(dú)立性》教案 新人教A版選修2-3 一、復(fù)習(xí)引入： 1 事件的定義：隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件； 必然事件：在一定條件下必然發(fā)生的事件； 不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件 2．隨機(jī)事件的概率：一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作． 3.概率的確定方法：通過進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，用這個(gè)事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率； 4．概率的性質(zhì)：必然事件的概率為，不可能事件的概率為，隨機(jī)事件的概率為，必然事件和不可能事件看作隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形 5基本事件：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果（事件）稱為一個(gè)基本事件 6．等可能性事件：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每個(gè)基本事件的概率都是，這種事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個(gè)，而且所有結(jié)果都是等可能的，如果事件包含個(gè)結(jié)果，那么事件的概率 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意義:對(duì)于事件A和事件B是可以進(jìn)行加法運(yùn)算的 10 互斥事件:不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件． 一般地：如果事件中的任何兩個(gè)都是互斥的，那么就說事件彼此互斥 11．對(duì)立事件:必然有一個(gè)發(fā)生的互斥事件． 12．互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么 ＝ 探究: (1)甲、乙兩人各擲一枚硬幣，都是正面朝上的概率是多少？ 事件：甲擲一枚硬幣，正面朝上；事件：乙擲一枚硬幣，正面朝上 (2)甲壇子里有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙壇子里有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，它們都是白球的概率是多少？ 事件：從甲壇子里摸出1個(gè)球，得到白球；事件：從乙壇子里摸出1個(gè)球，得到白球 問題(1)、(2)中事件、是否互斥？（不互斥）可以同時(shí)發(fā)生嗎？（可以） 問題(1)、(2)中事件（或）是否發(fā)生對(duì)事件（或）發(fā)生的概率有無影響？（無影響） 思考:三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng),現(xiàn)分別由三名同學(xué)有放回地抽取,事件A為“第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”, 事件B為“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”. 事件A的發(fā)生會(huì)影響事件B 發(fā)生的概率嗎? 顯然，有放回地抽取獎(jiǎng)券時(shí)，最后一名同學(xué)也是從原來的三張獎(jiǎng)券中任抽一張，因此第一名同學(xué)抽的結(jié)果對(duì)最后一名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果沒有影響，即事件A的發(fā)生不會(huì)影響事件B 發(fā)生的概率．于是 P（B| A）=P(B）, P（AB）=P( A ) P ( B |A）=P（A）P(B). 二、講解新課： 1．相互獨(dú)立事件的定義： 設(shè)A, B為兩個(gè)事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 則稱事件A與事件B相互獨(dú)立（mutually independent ) . 事件（或）是否發(fā)生對(duì)事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件 若與是相互獨(dú)立事件，則與，與，與也相互獨(dú)立 2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率： 問題2中，“從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，它們都是白球”是一個(gè)事件，它的發(fā)生，就是事件，同時(shí)發(fā)生，記作．（簡稱積事件） 從甲壇子里摸出1個(gè)球，有5種等可能的結(jié)果；從乙壇子里摸出1個(gè)球，有4種等可能的結(jié)果于是從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，共有種等可能的結(jié)果同時(shí)摸出白球的結(jié)果有種所以從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，它們都是白球的概率． 另一方面，從甲壇子里摸出1個(gè)球，得到白球的概率，從乙壇子里摸出1個(gè)球，得到白球的概率．顯然． 這就是說，兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積一般地，如果事件相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積， 即 ． 3．對(duì)于事件A與B及它們的和事件與積事件有下面的關(guān)系： 三、講解范例： 例 1.某商場推出二次開獎(jiǎng)活動(dòng)，凡購買一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券．獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng)．如果兩次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是 0 . 05 ，求兩次抽獎(jiǎng)中以下事件的概率： (1)都抽到某一指定號(hào)碼； (2)恰有一次抽到某一指定號(hào)碼； (3)至少有一次抽到某一指定號(hào)碼． 解： (1)記“第一次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”為事件A, “第二次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”為事件B ，則“兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼”就是事件AB．由于兩次抽獎(jiǎng)結(jié)果互不影響，因此A與B相互獨(dú)立．于是由獨(dú)立性可得，兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼的概率 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 050.05 = 0.0025. (2 ) “兩次抽獎(jiǎng)恰有一次抽到某一指定號(hào)碼”可以用（A）U（B）表示．由于事件A與B互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立事件的定義，所求的概率為 P (A）十P（B）=P（A）P（）+ P（）P（B ) = 0. 05(1-0.05 ) + (1-0.05 ) 0.05 = 0. 095. ( 3 ) “兩次抽獎(jiǎng)至少有一次抽到某一指定號(hào)碼”可以用（AB ) U ( A）U（B）表示．由于事件 AB , A和B 兩兩互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立事件的定義，所求的概率為 P ( AB ) + P（A）+ P（B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5. 例2.甲、乙二射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)一目標(biāo)射擊次，甲射中的概率為，乙射中的概率為，求： （1）人都射中目標(biāo)的概率； （2）人中恰有人射中目標(biāo)的概率； （3）人至少有人射中目標(biāo)的概率； （4）人至多有人射中目標(biāo)的概率？ 解：記“甲射擊次，擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊次，擊中目標(biāo)”為事件，則與，與，與，與為相互獨(dú)立事件， （1）人都射中的概率為： ， ∴人都射中目標(biāo)的概率是． （2）“人各射擊次，恰有人射中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中（事件發(fā)生），另一種是甲未擊中、乙擊中（事件發(fā)生）根據(jù)題意，事件與互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的概率為： ∴人中恰有人射中目標(biāo)的概率是． （3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2種情況，其概率為． （法2）：“2人至少有一個(gè)擊中”與“2人都未擊中”為對(duì)立事件， 2個(gè)都未擊中目標(biāo)的概率是， ∴“兩人至少有1人擊中目標(biāo)”的概率為． （4）（法1）：“至多有1人擊中目標(biāo)”包括“有1人擊中”和“2人都未擊中”， 故所求概率為： ． （法2）：“至多有1人擊中目標(biāo)”的對(duì)立事件是“2人都擊中目標(biāo)”， 故所求概率為 例 3.在一段線路中并聯(lián)著3個(gè)自動(dòng)控制的常開開關(guān)，只要其中有1個(gè)開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作假定在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率 解：分別記這段時(shí)間內(nèi)開關(guān)，，能夠閉合為事件，，． 由題意，這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)都不能閉合的概率是 ∴這段時(shí)間內(nèi)至少有1個(gè)開關(guān)能夠閉合，，從而使線路能正常工作的概率是 ． 答：在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率是． 變式題1：如圖添加第四個(gè)開關(guān)與其它三個(gè)開關(guān)串聯(lián)，在某段時(shí)間內(nèi)此開關(guān)能夠閉合的概率也是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率 （） 變式題2：如圖兩個(gè)開關(guān)串聯(lián)再與第三個(gè)開關(guān)并聯(lián)，在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率 方法一： 方法二：分析要使這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作只要排除開且與至少有1個(gè)開的情況 例 4.已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機(jī)的概率為0.2． （1）假定有5門這種高炮控制某個(gè)區(qū)域，求敵機(jī)進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后未被擊中的概率； （2）要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？ 分析:因?yàn)閿硻C(jī)被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機(jī)，故敵機(jī)被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機(jī)的概率 解:（1）設(shè)敵機(jī)被第k門高炮擊中的事件為(k=1,2,3,4,5)，那么5門高炮都未擊中敵機(jī)的事件為． ∵事件，，，，相互獨(dú)立， ∴敵機(jī)未被擊中的概率為 = ∴敵機(jī)未被擊中的概率為． （2）至少需要布置門高炮才能有0.9以上的概率被擊中，仿（1）可得： 敵機(jī)被擊中的概率為1- ∴令，∴ 兩邊取常用對(duì)數(shù)，得 ∵，∴ ∴至少需要布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機(jī) 點(diǎn)評(píng)：上面例1和例2的解法，都是解應(yīng)用題的逆向思考方法采用這種方法在解決帶有詞語“至多”、“至少”的問題時(shí)的運(yùn)用，常常能使問題的解答變得簡便 四、課堂練習(xí)： 1．在一段時(shí)間內(nèi)，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定兩人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么在這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去此地的概率是( ) 2．從甲口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是，從乙口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是，從兩個(gè)口袋內(nèi)各摸出1個(gè)球，那么等于（ ） 2個(gè)球都是白球的概率 2個(gè)球都不是白球的概率 2個(gè)球不都是白球的概率 2個(gè)球中恰好有1個(gè)是白球的概率 3．電燈泡使用時(shí)間在1000小時(shí)以上概率為0.2，則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)后壞了1個(gè)的概率是（ ） 0.128 0.096 0.104 0.384 4．某道路的、、三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條路上行駛時(shí)，三處都不停車的概率是 （ ） 5．（1）將一個(gè)硬幣連擲5次，5次都出現(xiàn)正面的概率是 ； （2）甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)作天氣預(yù)報(bào)，如果它們預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率分別是0.8與0.7，那么在一次預(yù)報(bào)中兩個(gè)氣象臺(tái)都預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是 ． 6．棉籽的發(fā)芽率為0.9，發(fā)育為壯苗的概率為0.6， （1）每穴播兩粒，此穴缺苗的概率為 ；此穴無壯苗的概率為 ． （2）每穴播三粒，此穴有苗的概率為 ；此穴有壯苗的概率為 ． 7．一個(gè)工人負(fù)責(zé)看管4臺(tái)機(jī)床，如果在1小時(shí)內(nèi)這些機(jī)床不需要人去照顧的概率第1臺(tái)是0.79，第2臺(tái)是0.79，第3臺(tái)是0.80，第4臺(tái)是0.81，且各臺(tái)機(jī)床是否需要照顧相互之間沒有影響，計(jì)算在這個(gè)小時(shí)內(nèi)這4臺(tái)機(jī)床都不需要人去照顧的概率. 8．制造一種零件，甲機(jī)床的廢品率是0.04，乙機(jī)床的廢品率是0.05．從它們制造的產(chǎn)品中各任抽1件，其中恰有1件廢品的概率是多少？ 9．甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球；乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，從每袋中任取一個(gè)球，問取得的球是同色的概率是多少？ 答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1) (2) 6.(1) , (2) , 7. P=8. P=9. 提示： 五、小結(jié) ：兩個(gè)事件相互獨(dú)立，是指它們其中一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響一般地，兩個(gè)事件不可能即互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录遣豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生的，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提的相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,這一點(diǎn)與互斥事件的概率和也是不同的