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2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題講解+課后訓(xùn)練：正方形 課后練習(xí)及詳解 題一： 下列判斷中正確的是(　　) A．四邊相等的四邊形是正方形 B．四角相等的四邊形是正方形 C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形 D．對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形 題二： 正方形四邊中點(diǎn)的連線圍成的四邊形(最準(zhǔn)確的說法)一定是(　　) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形 題三： 如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、H分別是AB、BC、CD的中點(diǎn)，CE、DF交于G，連接AG、HG．下列結(jié)論：①CE⊥DF；②AG=AD；③∠CHG=∠DAG；④HG=AD．其中正確的有(　　) A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 題四： 如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于O點(diǎn)，BE平分∠ABO交AO于E點(diǎn)，CF⊥BE于F點(diǎn)，交BO于G點(diǎn)，連接EG、OF．下列四個(gè)結(jié)論：①CE=CB；②AE=OE；③OF=CG．其中正確的結(jié)論只有(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 題五： 如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，且正方形ABCD與正方形ECGF的邊長(zhǎng)分別為2和3，在BG上截取GP=2，連接AP、PF． 題六： (1)觀察猜想AP與PF之間的大小關(guān)系，并說明理由； 題七： (2)圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)、平移、反射等變換能夠互相重合的兩個(gè)三角形？若存在，請(qǐng)說明變換過程；若不存在，請(qǐng)說明理由； 題八： (3)若把這個(gè)圖形沿著PA、PF剪成三塊，請(qǐng)你把它們拼成一個(gè)大正方形，在原圖上畫出示意圖，并請(qǐng)求出這個(gè)大正方形的面積． 題九： 如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，OA1交AB于點(diǎn)E，OC1交BC于點(diǎn)F． 題十： (1)求證：△AOE≌△BOF； 題十一： (2)如果兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為a，那么正方形A1B1C1O繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于多少？為什么？ 題十二： 如圖，已知點(diǎn)E為正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)D作DG⊥AE，垂足為G，延長(zhǎng)DG交AB于點(diǎn)F．求證：BF=CE． 題十三： 如圖，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)G與B、C不重合)，AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．求證：AE=FC+EF． 題十四： 如圖1，四邊形ABHC，ADEF都是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立． 題十五： (1)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(0＜θ＜90)時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由． 題十六： (2)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G，設(shè)BG交AC于點(diǎn)M，求證：BD⊥CF． 題十七： 題十八： 兩個(gè)邊長(zhǎng)不定的正方形ABCD與正方形AEFG如圖1擺放，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度． 題十九： (1)若點(diǎn)E落在BC邊上(如圖2)，試探究線段CF與AC的位置關(guān)系并證明； 題二十： (2)若點(diǎn)E落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖3)，(1)中結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)說明理由；若成立，加以證明． 題二十一： 如圖所示，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，另一直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F． 題二十二： (1)如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)： 題二十三： ①通過測(cè)量DE，EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是_________； 題二十四： ②連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是_________； 題二十五： ③請(qǐng)證明你的上述兩個(gè)猜想； 題二十六： (2)如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N，使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系． 題二十七： 在圖1至圖3中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)．四邊形BCGF和四邊形CDHN都是正方形．AE的中點(diǎn)是M． 題二十八： (1)如圖1，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：FM=MH，F(xiàn)M⊥MH； 題二十九： (2)將圖1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖2，求證：△FMH是等腰直角三角形； 題三十： (3)將圖2中的CE縮短到圖3的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？(不必說明理由) 正方形 課后練習(xí)參考答案 題一： D． 詳解：A錯(cuò)誤，四邊相等的四邊形是菱形； B錯(cuò)誤，四角相等的四邊形是矩形； C錯(cuò)誤，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形； D正確，對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形； 故選D． 題二： C． 詳解：如圖，連接AC、BD，交于O，∵正方形ABCD，∴AC=BD，AC⊥BD， ∵E是AD的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，G是BC的中點(diǎn)， ∴EH∥AC，F(xiàn)G∥AC，EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，EH=AC， ∴EF=EH，EF⊥EH，四邊形EFGH是平行四邊形， ∴平行四邊形EFGH是正方形．故選C． 題三： D． 詳解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90， ∵點(diǎn)E、F、H分別是AB、BC、CD的中點(diǎn)，∴△BCE≌△CDF，∴∠ECB=∠CDF， ∵∠BCE+∠ECD=90，∴∠ECD+∠CDF=90，∴∠CGD=90，∴CE⊥DF，故①正確； 在Rt△CGD中，H是CD邊的中點(diǎn)，∴HG=CD=AD，故④正確； 連接AH，同理可得：AH⊥DF，∵HG=HD=CD，∴DK=GK， ∴AH垂直平分DG，∴AG=AD，故②正確； ∴∠DAG=2∠DAH，同理：△ADH≌△DCF，∴∠DAH=∠CDF， ∵GH=DH，∴∠HDG=∠HGD，∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF， ∴∠CHG=∠DAG，故③正確；故正確的結(jié)論有①②③④．故選D． 題四： D． 詳解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABO=∠ACO=∠CBO= 45，AB=BC，OA=OB=OC， BD⊥AC， ∵BE平分∠ABO，∴∠OBE=∠ABO=22.5，∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5， 在△BCE中，∠CEB=180-∠BCO-∠CBE=180- 45-67.5=67.5， ∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB；故①正確； ∵OA=OB，AE=BG，∴OE=OG， ∵∠AOB=90，∴△OEG是等腰直角三角形，∴EG=OE， ∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，∴△ECG≌△BCG， ∴BG=EG，∴AE=EG=OE；故②正確； ∵∠AOB=90，EF=BF，∵BE=CG，∴OF=BE=CG．故③正確； 故正確的結(jié)論有①②③．故選D． 題五： 見詳解． 詳解：(1)猜想PA=PF； 理由：∵正方形ABCD、正方形ECGF， ∴AB=BC=2，CG=FG=3，∠B=∠G=90， ∵PG=2，∴BP=2+3-2=3=FG，AB=PG， ∴△ABP≌△PGF，∴PA=PF． (2)存在，是△ABP和△PGF， 變換過程：把△ABP先向右平移5個(gè)單位，使AB在GF邊上，B與G重合， 再繞G點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，就可與△PGF重合． (3)如圖，S大正方形=S正方形ABCD+S正方形ECGF = 4+9=13． 題六： 見詳解． 詳解：(1)證明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90，∠OAB=∠OBC= 45， ∵∠AOE+∠EOB=90，∠BOF+∠EOB=90，∴∠AOE=∠BOF． 在△AOE和△BOF中，∠OAE=∠OBF，OA=OB，∠AOE=∠BOF， ∴△AOE≌△BOF； (2)兩個(gè)正方形重疊部分面積等于a2，因?yàn)椤鰽OE≌△BOF， 所以S四邊形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=a2． 題七： 見詳解． 詳解：在正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90，DA=AB=BC， ∵DG⊥AE，∴∠FDA+∠DAG=90． 又∵∠EAB+∠DAG=90，∴∠FDA=∠EAB． 在Rt△DAF與Rt△ABE中，DA=AB，∠FDA=∠EAB， ∴Rt△DAF≌Rt△ABE．∴AF=BE． ∵AB=BC，∴BF=CE． 題八： 見詳解． 詳解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90， 又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90， ∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90，∴∠EAD=∠FDC， ∴△AED≌△DFC(AAS)，∴AE=DF，ED=FC， ∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF． 題九： 見詳解． 詳解：(1)BD=CF成立， 理由是：∵四邊形ABHC和四邊形ADEF是正方形， ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB和△FAC中，AB=AC，∠DAB=∠FAC，AD=AF， ∴△DAB≌△FAC(SAS)， ∴BD=CF． (2)∵△DAB≌△FAC，∴∠FCA=∠DBA， ∵∠CMG=∠BMA，∠CAB=90， ∴∠CMG+∠FCA=∠DBA+∠BMA=180-∠CAB=90， ∴在△CGM中，∠CGM=180-90=90， ∴BD⊥CF． 題十： 見詳解． 詳解：(1)如圖2，過E作EM⊥CB于E交AC與M，而AE⊥EF， ∴∠AEF=90，∴∠AEM+∠MEF=∠CEF+∠MEF， ∴∠AEM=∠CEF， 又∵AC是正方形的對(duì)角線，∴∠ACE=45，∴CE=ME， ∵AE=EF，∴△AEM≌△FEC，∴∠CFE=∠CAE，而∠ANE=∠CNF， ∴∠ACF=∠AEF=90，即CF⊥AC； (2)若點(diǎn)E落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖③)，(1)中結(jié)論是否仍然成立． 過F作FH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，∵四邊形ABCD、四邊形AEFG是正方形， ∴∠AEF=∠B=∠EHF=90，AE=EF，∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠FEH=90， ∴∠BAE=∠FEH，∴△FEH≌△EAB，∴EH=AB，F(xiàn)H=BE， 即EH=AB=BC，F(xiàn)H=BE=BC+CE， ∴FH=EH+CE=CH，即∠FCH= 45，而∠ACB= 45， ∴AC⊥CF． 題十一： 見詳解． 詳解：(1)①DE=EF；②NE=BF； ③∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90， ∵N，E分別為AD，AB中點(diǎn)，∴AN=DN=AD，AE=EB=AB， ∴DN=BE，AN=AE， ∵∠DEF=90，∴∠AED+∠FEB=90， 又∵∠ADE+∠AED=90，∴∠FEB=∠ADE， 又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN， 又∵∠A=90，∴∠ANE= 45，∴∠DNE=180-∠ANE=135， 又∵∠CBM=90，BF平分∠CBM，∴∠CBF= 45，∠EBF=135， ∴△DNE≌△EBF(ASA)，∴DE=EF，NE=BF． (2)在DA上截取DN=EB(或截取AN=AE)， 連接NE，則點(diǎn)N可使得NE=BF．此時(shí)DE=EF． 證明方法同(1)，證△DNE≌△EBF． 題十二： 見詳解． 詳解：(1)證明：∵四邊形BCGF為正方形，∴BF=BM=MN，∠FBM=90， ∵四邊形CDHN為正方形，∴DM=DH=MN，∠HDM=90， ∵BF=BM=MN，DM=DH=MN，∴BF=BM=DM=DH， ∵BF=DH，∠FBM=∠HDM，BM=DM，∴△FBM≌△HDM，∴FM=MH， ∵∠FMB=∠DMH= 45，∴∠FMH=90，∴FM⊥HM． (2)證明：連接MB、MD，如圖2，設(shè)FM與AC交于點(diǎn)P． ∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點(diǎn)， ∴MD∥BC，且MD=AC=BC=BF；MB∥CD，且MB=CE=CD=DH， ∴四邊形BCDM是平行四邊形，∴∠CBM=∠CDM， 又∵∠FBP=∠HDC，∴∠FBM=∠MDH，∴△FBM≌△MDH， ∴FM=MH，且∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠HMD．∴∠FMB+∠HMD=180-∠FBM， ∵BM∥CE，∴∠AMB=∠E， 同理：∠DME=∠A．∴∠ AMB+∠DME=∠A+∠AMB=∠CBM． 由已知可得：BM=CE=AB=BF，∴∠A=∠BMA，∠BMF=∠BFM， ∴∠FMH=180- (∠FMB+∠HMD)-(∠AMB+∠DME) =180-(180-∠FBM)-∠CBM=∠FBM-∠CBM=∠FBC=90． ∴△FMH是等腰直角三角形． (3)解：△FMH還是等腰直角三角形．