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2019-2020年高考數(shù)學專題復習導練測 第九章 解析幾何階段測試（十三）理 新人教A版 一、選擇題 1．若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 答案　C 解析　設P(x0，y0)，則＋＝1， 即y＝3－，又∵F(－1,0)． ∴＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3 ＝(x0＋2)2＋2，又x0∈[－2,2]， ∴∈[2,6]，∴()max＝6. 2．設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　不妨設雙曲線方程為－＝1 (a>0，b>0)，焦點F(c,0)，虛軸端點B(0，b)，則漸近線方程為y＝x，直線BF的斜率k＝＝－，∴(－)＝－1，即b2＝ac，∴c2－a2＝ac， 兩邊同時除以a2，可得e2－e－1＝0，解得e＝(負值舍去)． 3．已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)．若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|等于(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 答案　B 解析　設拋物線方程為y2＝2px，則點M(2，2)． ∵焦點，點M到該拋物線焦點的距離為3， ∴2＋4p＝9，解得p＝2(負值舍去)， 故M(2，2)． ∴|OM|＝＝2. 4．已知橢圓C：＋y2＝1的焦點為F1、F2，若點P在橢圓上，且滿足|PO|2＝|PF1||PF2|(其中O為坐標原點)，則稱點P為“★”點．下列結論正確的是(　　) A．橢圓C上的所有點都是“★”點 B．橢圓C上僅有有限個點是“★”點 C．橢圓C上的所有點都不是“★”點 D．橢圓C上有無窮多個點(但不是所有的點)是“★”點 答案　B 解析　設橢圓C：＋y2＝1上點P的坐標為(2cos α，sin α)，由|PO|2＝|PF1||PF2|，可得4cos2α＋sin2α＝，整理可得cos2α＝，即可得cos α＝，sin α＝.由此可得點P的坐標為，即橢圓C上有4個點是“★”點． 5．已知拋物線y2＝2px (p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 答案　B 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為A、B兩點在拋物線上，得y＝2px1.① y＝2px2，② ①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)． 又線段AB的中點的縱坐標為2，即y1＋y2＝4， 直線AB的斜率為1，故2p＝4，p＝2， 因此拋物線的準線方程為x＝－＝－1. 二、填空題 6．已知拋物線y2＝2px (p>0)的準線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，則p的值為________． 答案　2 解析　由y2＝2px，得準線方程x＝－，圓x2＋y2－6x－7＝0可化為(x－3)2＋y2＝16，由圓心到準線的距離等于半徑得：3＋＝4，∴p＝2. 7．已知F1、F2是橢圓C：＋＝1 (a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________. 答案　3 解析　依題意，有 可得4c2＋36＝4a2， 即a2－c2＝9，故有b＝3. 8．設雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的右頂點為A，P為雙曲線上的一個動點(不是頂點)，若從點A引雙曲線的兩條漸近線的平行線，與直線OP分別交于Q、R兩點，其中O為坐標原點，則|OP|2與|OQ||OR|的大小關系為|OP|2________|OQ||OR|.(填“>”，“<”或“＝”) 答案?。? 解析　設P(x0，y0)，雙曲線的漸近線方程是y＝x，直線AQ的方程是y＝(x－a)，直線AR的方程是y＝－(x－a)，直線OP的方程是y＝x，可得Q，R. 又－＝1，可得|OP|2＝|OQ||OR|. 三、解答題 9．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且橢圓經(jīng)過圓C：x2＋y2－4x＋2y＝0的圓心． (1)求橢圓的方程； (2)設直線l過橢圓的焦點且與圓C相切，求直線l的方程． 解　(1)圓C方程化為(x－2)2＋(y＋)2＝6， 圓心C(2，－)，半徑r＝. 設橢圓的方程為＋＝1 (a>b>0)， 則? 所以所求的橢圓方程是＋＝1. (2)由(1)得到橢圓的左，右焦點分別是F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，|F2C|＝＝<. ∴F2在C內(nèi)，故過F2沒有圓C的切線，設l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 點C(2，－)到直線l的距離為d＝， 由d＝得＝. 解得：k＝或k＝－， 故l的方程為x－5y＋2＝0或x＋y＋2＝0. 10．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，直線l過點M(4,0)． (1)若點F到直線l的距離為，求直線l的斜率； (2)設A，B為拋物線上兩點，且AB不垂直于x軸，若線段AB的垂直平分線恰過點M，求證：線段AB中點的橫坐標為定值． (1)解　由已知，得x＝4不合題意， 設直線l的方程為y＝k(x－4)， 由已知，得拋物線C的焦點坐標為(1,0)， 因為點F到直線l的距離為，所以＝， 解得k＝，所以直線l的斜率為. (2)證明　設線段AB中點的坐標為N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因為AB不垂直于x軸，則直線MN的斜率為， 直線AB的斜率為， 直線AB的方程為y－y0＝(x－x0)， 聯(lián)立方程 消去x得(1－)y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0， 所以y1＋y2＝， 因為N為AB中點，所以＝y(tǒng)0， 即＝y(tǒng)0， 所以x0＝2，即線段AB中點的橫坐標為定值2.