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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第82講 圓錐曲線常用解題技巧 【知識要點】 圓錐曲線解題常用技巧有點差法、設(shè)而不求法、韋達定理法、定義法等. 【方法講評】 方法一 點差法 使用情景 一般已知中涉及直線和圓錐曲線相交產(chǎn)生的弦的中點 解題步驟 一般先“設(shè)點代點”，再作差，最后化簡. 【例1】雙曲線的一條弦的中點是(1,2)，此弦所在的直線方程是__________________. 【點評】（1）如果已知中涉及圓錐曲線的弦的中點，一般利用點差法，可以減少運算，提高解題效率. （2）使用點差法，一般先“設(shè)點代點”，再作差，最后化簡，最后可以得到中點的坐標和直線的斜率的關(guān)系. 【反饋檢測1】橢圓中有如下結(jié)論：橢圓上斜率為1的弦的中點在直線上，類比上述結(jié)論：雙曲線上斜率為1的弦的中點在直線 上. 方法二 設(shè)而不求法 使用情景 一般已知中涉及圓錐曲線上的兩個動點. 解題步驟 一般先設(shè)點，再利用韋達定理. 【例2】已知橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為． （1）求橢圓的標準方程； （2）若直線的斜率為，直線與橢圓交于兩點．點為橢圓上一點，求的面積的最大值． 則由弦長公式得． 又點到直線的距離， ∴， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值．∴面積的最大值為2． 【點評】本題就利用了“設(shè)而不求”的方法，先設(shè)再利用韋達定理，并不要求把這兩個點的坐標解答出來，實際上也是解答不出來的. 【反饋檢測2】在平面直角坐標系中，已知點，點在直線：上運動，過點與垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點． （1）求動點的軌跡的方程； （2）過（1）中軌跡上的點(1,2)作兩條直線分別與軌跡相交于，兩點．試探究：當(dāng)直線的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由． 方法三 韋達定理法 使用情景 一般已知中涉及圓錐曲線上的兩個動點. 解題步驟 一般先設(shè)點，再寫出韋達定理，再代韋達定理. 【例3】已知點在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是． (1)求雙曲線的方程； (2)若過點且斜率為的直線與雙曲線有兩個不同交點，求實數(shù)的取值范圍； (3)設(shè)(2)中直線與雙曲線交于兩個不同點，若以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求實數(shù)的值． ∴ 解得． 【點評】本題涉及“直線與雙曲線交于兩個不同點”，所以一般用到韋達定理,把韋達定理代到里化簡即可. 【反饋檢測3】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的倍，其上一點到右焦點的最短距離為 （1）求橢圓的標準方程； （2）若直線交橢圓于兩點，當(dāng)時求直線的方程. 方法四 定義法 使用情景 一般已知中涉及圓錐曲線的定義中的焦半徑、準線等. 解題步驟 一般要聯(lián)想到圓錐曲線的定義，利用定義解答. 【例4】已知雙曲線的離心率為，左、右焦點為，點在上，若，則 =__________. 【點評】由于已知中涉及了雙曲線的焦半徑，所以要聯(lián)想到雙曲線的定義解答. 【反饋檢測4】如圖所示，直線y=x-2與圓及拋物線依次交于A，B，C，D四點，則=（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第82講： 圓錐曲線常用解題技巧參考答案 【反饋檢測1答案】 不妨設(shè)弦的兩個端點為，，則，中點設(shè)為，則，，將上述兩端點代入雙曲線方程得， 兩式相減得，而， ∴，化簡得， 而，，于是在直線上. 【反饋檢測2答案】（1）；（2）是定值，為-1,過程見解析． 【反饋檢測2詳細解析】（1）依題意，得 ∴動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線， ∴動點的軌跡的方程為． 【反饋檢測3答案】（1），（2） 【反饋檢測3詳細解析】（1）由題可知： 所以橢圓方程為 （2）由 設(shè)，則 所以直線的方程為： 【反饋檢測4答案】 ，故選.