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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第六章 數(shù)列章末檢測 理 新人教A版
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.(xx茂名月考)已知等差數(shù)列{an}中,a7+a9=16,a4=1,則a12的值是 ( )
A.15 B.30 C.31 D.64
2.各項均不為零的等差數(shù)列{an}中,若a-an-1-an+1=0 (n∈N*,n≥2),則S2 010等( )
A.0 B.2 C.2 009 D.4 020
3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-4n+2,則|a1|+|a2|+…+|a10|等于 ( )
A.66 B.65 C.61 D.56
4.(xx南陽模擬)等比數(shù)列{an}中,Tn表示前n項的積,若T5=1,則 ( )
A.a(chǎn)1=1 B.a(chǎn)3=1 C.a(chǎn)4=1 D.a(chǎn)5=1
5.(xx東北師大附中高三月考)由a1=1,an+1=給出的數(shù)列{an}的第34項( )
A. B.100 C. D.
6.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-9n,第k項滿足5
S7>S5,有下列四個命題:①d<0;②S11>0;③S12<0;④數(shù)列{Sn}中的最大項為S11.
其中正確的命題是________.(將所有正確的命題序號填在橫線上)
三、解答題(本大題共6小題,共70分)
17.(10分)(xx德州模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a4-a2=8,S10=190.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)設(shè)p,q∈N*,試判斷apaq是否仍為數(shù)列{an}中的項并說明理由.
18.(12分)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28,求數(shù)列{an}的通項公式.
19.(12分)(xx武漢月考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且向量a=(n,Sn),b=(4,n+3)共線.
(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列的前n項和Tn.
20.(12分)(xx唐山月考)已知f(x)=logax(a>0且a≠1),設(shè)f(a1),f(a2),…,f(an) (n∈N*)是首項為4,公差為2的等差數(shù)列.
(1)設(shè)a為常數(shù),求證:{an}成等比數(shù)列;
(2)若bn=anf(an),{bn}的前n項和是Sn,當a=時,求Sn.
21.(12分)(xx周口月考)已知數(shù)列{an}的前三項與數(shù)列{bn}的前三項相同,且a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n對任意n∈N*都成立,數(shù)列{bn+1-bn}是等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)是否存在k∈N*,使得(bk-ak)∈(0,1)?請說明理由.
22.(12分)為了治理“沙塵暴”,西部某地區(qū)政府經(jīng)過多年努力,到xx年底,將當?shù)厣衬G化了40%,從xx年開始,每年將出現(xiàn)這種現(xiàn)象:原有沙漠面積的12%被綠化,即改造為綠洲(被綠化的部分叫綠洲),同時原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠,問至少經(jīng)過幾年的綠化,才能使該地區(qū)的綠洲面積超過50%?(可參考數(shù)據(jù)lg 2=0.3,最后結(jié)果精確到整數(shù))
答案 1.A [由{an}是等差數(shù)列知a7+a9=2a8=16,∴a8=8.又a4=1,∴a12=2a8-a4=15.]
2.D [a=an-1+an+1=2an,an≠0,∴an=2.
∴Sn=2n,S2 010=22 010=4 020.]
3.A [當n=1時,a1=S1=-1;
當n≥2時,
an=Sn-Sn-1=n2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1)+2]=2n-5,
∴a2=-1,a3=1,a4=3,…,a10=15,
∴|a1|+|a2|+…+|a10|
=1+1+=2+64=66.]
4.B [因為{an}是等比數(shù)列,所以a1a5=a2a4=a,代入已知式T5=1,得a=1,所以a3=1.]
5.C [由an+1=知,=+3,
∴是以1為首項,公差為3的等差數(shù)列.
∴=1+(n-1)3=3n-2.
∴an=,a34==.]
6.B [∵Sn=n2-9n,
∴n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-10,
a1=S1=-8適合上式,
∴an=2n-10 (n∈N*),
∴5<2k-10<8,得7.50(顯然tan B≠0,若tan B<0,因為tan A>0且tan C>0,tan A+tan C>0,這與tan B<0矛盾),
又tan B=-tan(A+C)=-
=-≠0,所以tan Atan C=3.
又∵tan A+tan C≥2=2,
∴tan B≥,∵B∈(0,π)
∴B的取值范圍是.]
12.D [由題意知Sn=X,S2n=Y(jié),S3n=Z.
又∵{an}是等比數(shù)列,
∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n為等比數(shù)列,
即X,Y-X,Z-Y為等比數(shù)列,
∴(Y-X)2=X(Z-Y),
即Y2-2XY+X2=ZX-XY,
∴Y2-XY=ZX-X2,
即Y(Y-X)=X(Z-X).]
13.624
解析 an==-.
∴(-1)+(-)+…+(-)=24,
∴=25,∴n=624.
14.52
解析 ∵log2(a5+a9)=3,∴a5+a9=23=8.
∴S13====52.
15.34 950
解析 由“第n組有n個數(shù)”的規(guī)則分組中,各組數(shù)的個數(shù)構(gòu)成一個以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,前99組數(shù)的個數(shù)共有=4 950個,故第100組中的第1個數(shù)是34 950.
16.①②
解析 由S6>S7得a7<0,
由S6>S5得a6>0,
由S7>S5得a6+a7>0.
因為d=a7-a6,∴d<0;
S11=a1+a2+…+a11=(a1+a11)+(a2+a10)+…+a6=11a6>0,S12=a1+a2+…+a12=(a1+a12)+(a2+a11)+…+(a6+a7)=6(a6+a7)>0;
∵a6>0,a7<0,∴{Sn}中S6最大.
故正確的命題為①②.
17.解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則
,………………………………………………………………(4分)
解得a1=1,d=4,∴an=4n-3.………………………………………………………(6分)
(2)apaq=(4p-3)(4q-3)=16pq-12(p+q)+9
=4[4pq-3(p+q)+3]-3,
∵4pq-3(p+q)+3∈N*,………………………………………………………………(8分)
∴apaq為數(shù)列{an}中的項.……………………………………………………………(10分)
18.解 ∵a3+a13=2a8,a3+a8+a13=12,
∴a8=4,…………………………………………………………………………………(2分)
則由已知得
解得或…………………………………………………………(7分)
由a3=1,a13=7,
可知d===.
故an=a3+(n-3)=n-;……………………………………………………………(9分)
由a3=7,a13=1,
可知d===-.
故an=a3+(n-3)
=-n+.……………………………………………………………………………(11分)
綜上可得,an=n-,或an=-n+.……………………………………………(12分)
19.(1)證明 ∵a=(n,Sn),b=(4,n+3)共線,
∴n(n+3)-4Sn=0,∴Sn=.……………………………………………………(3分)
∴a1=S1=1,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=,……………………………………………………(5分)
又a1=1滿足此式,∴an=.………………………………………………………(6分)
∴an+1-an=為常數(shù),
∴數(shù)列{an}為首項為1,公差為的等差數(shù)列.………………………………………(7分)
(2)解 ∵==2,…………………………………………………(9分)
∴Tn=++…+.
=2+2+…+2=.……………………………………(12分)
20.(1)證明 f(an)=4+(n-1)2=2n+2,…………………………………………(2分)
即logaan=2n+2,可得an=a2n+2.
∴==
=a2 (n≥2)為定值.………………………………………………………………………(4分)
∴{an}為以a2為公比的等比數(shù)列.……………………………………………………(5分)
(2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2
=(2n+2)a2n+2.…………………………………………………………………………(7分)
當a=時,bn=(2n+2)()2n+2
=(n+1)2n+2.
Sn=223+324+425+…+(n+1)2n+2,①
2Sn=224+325+426+…+n2n+2+(n+1)2n+3,②
①-②,得
-Sn=223+24+25+…+2n+2-(n+1)2n+3 …………………………………………(9分)
=16+-(n+1)2n+3
=16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3.
∴Sn=n2n+3.……………………………………………………………………………(12分)
21.解 (1)已知得a1+2a2+22a3+…+2n-1an
=8n(n∈N*),①
當n≥2時,a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=8(n-1).②
由①-②,得2n-1an=8.∴an=24-n.……………………………………………………(3分)
在①中,令n=1,得a1=8=24-1,
∴an=24-n(n∈N*).
由題意知b1=8,b2=4,b3=2,
∴b2-b1=-4,b3-b2=-2,
∴數(shù)列{bn+1-bn}的公差為-2-(-4)=2.
∴bn+1-bn=-4+(n-1)2=2n-6.…………………………………………………(5分)
∴bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)
=n2-7n+14(n∈N*).…………………………………………………………………(7分)
(2)∵bk-ak=k2-7k+14-24-k,
設(shè)f(k)=k2-7k+14-24-k,
當k≥4時,f(k)=(k-)2+-24-k,單調(diào)遞增,
且f(4)=1.
∴k≥4時,f(k)=k2-7k+4-24-k≥1.…………………………………………………(10分)
又f(1)=f(2)=f(3)=0,…………………………………………………………………(11分)
∴不存在k∈N*,使得(bk-ak)∈(0,1).………………………………………………(12分)
22.解 設(shè)該地區(qū)總面積為1,xx年底綠化面積為a1=,經(jīng)過n年后綠洲面積為an+1,設(shè)xx年底沙漠面積為b1,經(jīng)過n年后沙漠面積為bn+1,則a1+b1=1,an+bn=1.…(3分)
依題意an+1由兩部分組成:一部分是原有綠洲an減去被侵蝕的部分8%an的剩余面積92%an,另一部分是新綠化的12%bn,
∴an+1=92%an+12%(1-an)
=an+,………………………………………………………………………………(6分)
即an+1-=(an-).
∴{an-}是以-為首項,為公比的等比數(shù)列,
則an+1=-()n.………………………………………………………………………(9分)
∵an+1>50%,∴-()n>.
∴()n<,n>=≈3.……………………………………………………(11分)
則當n≥4時,不等式()n<恒成立.
∴至少需要4年才能使綠化面積超過50%.…………………………………………(12分)
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