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2019-2020年高二數(shù)學數(shù)列 極限 數(shù)學歸納法 用數(shù)學歸納法證明不等式教案 人教版 教學目標 1．牢固掌握數(shù)學歸納法的證明步驟，熟練表達數(shù)學歸納法證明的過程． 2．通過事例，學生掌握運用數(shù)學歸納法證明不等式的思想方法． 3．培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，運算能力，和分析問題、解決問題的能力． 教學重點與難點 重點：鞏固對數(shù)學歸納法意義和有效性的理解，并能正確表達解題過程，以及掌握利用數(shù)學歸納法證明不等式的基本思路． 難點：應用數(shù)學歸納法證明的不同方法的選擇及解題技巧． 教學過程設計 （一）復習回顧 師：上次課我們已經(jīng)學習了數(shù)學歸納法以及運用數(shù)學歸納法解題的步驟，請同學們聯(lián)想“多米諾骨牌”游戲，說出數(shù)學歸納法的步驟？ 生：數(shù)學歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關的命題的一種方法．設要證命題為P（n）．（1）證明當n取第一個值n0時，結(jié)論正確，即驗證P（n0）正確；（2）假設n=k（k∈N且k≥n0）時結(jié)論正確，證明當n=k+1時，結(jié)論也正確，即由P（k）正確推出P（k+1）正確，根據(jù)（1），（2），就可以判定命題P（n）對于從n0開始的所有自然數(shù)n都正確． 師：演示小黑板或運用投影儀講評作業(yè)． （講評作業(yè)的目的是從錯誤中進一步強調(diào)恰當?shù)剡\用歸納假設是數(shù)學歸納法的關鍵） 作業(yè)中用數(shù)學歸納法證明： 2+4+6+8+…+2n=n（n+1）． 如采用下面的證法，對嗎？ 證明：（1）當n=1時，左=2，右=2，則等式成立． （2）假設n=k時（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+…+2k=k（k+1）． 當n=k+1時， 2+4+6+…+2k+（k+1） 所以n=k+1時，等式也成立． 根據(jù)（1）（2）可知，對于任意自然數(shù)n，原等式都能成立． 生甲：證明過程正確． 生乙：證明方法不是數(shù)學歸納法，因為第二步證明時，沒有應用歸納假設． 師：從形式上看此種證明方法是數(shù)學歸納法，但實質(zhì)在要證明n=k+1正確時，未用到歸納假設，直接采用等差數(shù)列求和公式，違背了數(shù)學歸納法的本質(zhì)特點遞推性，所以不能稱之為數(shù)學歸納法．因此告誡我們在運用數(shù)學歸納法證明時，不能機械套用兩個步驟，在證明n=k+1命題成立時，一定要利用歸納假設． （課堂上講評作業(yè)，指出學生作業(yè)中不妥之處，有利于鞏固舊知識，為新知識的學習掃清障礙，使學生引以為戒，所謂溫故而知新） （二）講授新課 師：在明確數(shù)學歸納法本質(zhì)的基礎上，我們來共同研究它在不等式證明中的應用． （板書）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求證：（1+x）n＞1+nx． 師：首先驗證n=2時的情況． （板書）證：（1）當n=2時，左邊=（1+x）2=1+2x+x2，右邊=1+2x，因x2＞0，則原不等式成立． （在這里，一定要強調(diào)之所以左邊＞右邊，關鍵在于x2＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊） （2）假設n=k時（k≥2），不等式成立，即（1+x）k＞1+kx． 師：現(xiàn)在要證的目標是（1+x）k+1＞1+（k+1）x，請同學考慮． 生：因為應用數(shù)學歸納法，在證明n=k+1命題成立時，一定要運用歸納假設，所以當n=k+1時．應構(gòu)造出歸納假設適應的條件．所以有：（1+x）k+1=（1+x）k（1+x），因為x＞-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）． 師：現(xiàn)將命題轉(zhuǎn)化成如何證明不等式 （1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x． 顯然，上式中“=”不成立． 故只需證：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 提問：證明不等式的基本方法有哪些？ 生甲：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法． （提問的目的是使學生明確在第二步證明中，合理運用歸納假設的同時，其本質(zhì)是不等式證明，因此證明不等式的所有方法、技巧手段都適用） 生乙：證明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比較法． （1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx2-1-kx-x =kx2＞0（因x≠0，則x2＞0）． 所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 生丙：也可采用綜合法的放縮技巧． （1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx2=1+（k+1）x+kx2． 因為kx2＞0，所以1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立． 生?。骸? （學生可能還有其他多種證明方法，這樣培養(yǎng)了學生思維品質(zhì)的廣闊性，教師應及時引導總結(jié)） 師：這些方法，哪種更簡便，更適合數(shù)學歸納法的書寫格式？學生丙用放縮技巧證明顯然更簡便，利于書寫． （板書）將例1的格式完整規(guī)范． 當n=k+1時，因為x＞-1，所以1+x＞0，于是 左邊=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）＞（1+x）（1+lx）=1+（k+1）x+kx2； 右邊=1+（k+1）x． 因為kx2＞0，所以左邊＞右邊，即（1+x）k+1＞1+（k+1）x．這就是說，原不等式當n=k+1時也成立． 根據(jù)（1）和（2），原不等式對任何不小于2的自然數(shù)n都成立． （通過例1的講解，明確在第二步證明過程中，雖然可以采取證明不等式的有關方法，但為了書寫更流暢，邏輯更嚴謹，通常經(jīng)歸納假設后，要進行合理放縮，以達到轉(zhuǎn)化的目的） 師：下面再舉例子，來說明合理放縮的重要性． （板書）例2證明：2n+2＞n2，n∈N+． 師：（1）當 n=1時，左邊=21+2=4；右邊=1，左邊＞右邊．所以原不等式成立． （2）假設n=k時（k≥1且k∈N）時，不等式成立，即2k+2＞k2． 現(xiàn)在，請同學們考慮n=k+1時，如何論證2k+1+2＞（k+1）2成立． 生：利用歸納假設2k+1+2=2．2k+2=2（2k+2）-2＞2k2-2． 師：將不等式2k2-2＞（k+1）2，右邊展開后得：k2+2k+1，由于轉(zhuǎn)化目的十分明確，所以只需將不等式的左邊向k2+2k+1方向進行轉(zhuǎn)化，即：2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3． 由此不難看出，只需證明k2-2k-3≥0，不等式2k2-2＞k2+2k+1即成立． 生：因為k2-2k-3=（k-3）（k+1），而k∈N，故k+1＞0，但k-3≥0成立的條件是k≥3，所以當k∈N時，k-3≥0未必成立． 師：不成立的條件是什么？ 生：當k=1，2時，不等式k-3≥0不成立． 師：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用歸納法，將其逐一驗證原命題成立，因此在證明第一步中，應補充驗證n=2時原命題成立，那么，n=3時是否也需要論證？ 生：n=3需要驗證，這是因為數(shù)學歸納法中的第一步驗證是第二步歸納假設的基礎，而第二步中對于k是大于或等于3才成立，故在驗證時，應驗證n=3時，命題成立． 師：（補充板書） 當n=2時，左=22+2=6，右=22=4，所以左＞右； 當n=3時，左=23+2=10，右=32=9，所以左＞右． 因此當n=1，2，3時，不等式成立． （以下請學生板書） （2）假設當n=k（k≥3且k∈N）時，不等式成立．即2k+2＞k2．因為2k+1+2=22k+2=2（2k+2）-2＞2k2-2 =k2+2k+1+k2-2k-3 =（k2+2k+1）+（k+1）（k-3）（因k≥3，則k-3≥0，k+1＞0） ≥k2+2k+1=（k+1）2． 所以2k+1+2＞（k+1）2．故當n=k+1時，原不等式也成立． 根據(jù)（1）和（2），原不等式對于任何n∈N都成立． 師：通過例2可知，在證明n=k+1時命題成立過程中，針對目標k2+2k+1，采用縮小的手段，但是由于k的取值范圍（k≥1）太大，不便于縮小，因此，用增加奠基步驟（把驗證n=1．擴大到驗證n=1，2，3）的方法，使假設中k的取值范圍適當縮小到k≥3，促使放縮成功，達到目標． （板書）例3求證：當n≥2時， （由學生自行完成第一步的驗證；第二步中的假設，教師應重點講解n=k到n=k+1命題的轉(zhuǎn)化過程） 師：當n=k+1時，不等式的左邊表達式是怎樣的？ 生：當n=k+1時， k項，應是第2k項，數(shù)列各項分母是連續(xù)的自然數(shù)，最后一項是以3k 在3k后面還有3k+1、3k+2．最后才為3k+3即3（k+1），所以正確 （在這里，學生極易出現(xiàn)錯誤，錯誤的思維定勢認為從n=k到n=k+1時，只增加一項，求和式中最后一項即為第幾項的通項，教師在這里要著重分析，化解難點．） 運算，應針對問題的特點，巧妙合理地利用“放縮技巧”，使問題獲得簡捷的證明： （板書略） 師：設S（n）表示原式左邊，f（n）表示原式右邊，則由上面的證法可知，從n=k到n=k+1命題的轉(zhuǎn)化途徑是： 要注意：這里 S′（k）不一定是一項，應根據(jù)題目情況確定． （三）課堂小結(jié) 1．用數(shù)學歸納法證明，要完成兩個步驟，這兩個步驟是缺一不可的．但從證題的難易來分析，證明第二步是難點和關鍵，要充分利用歸納假設，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結(jié)構(gòu)不變． 2．用數(shù)學歸納法證明不等式是較困難的課題，除運用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對目標，合理放縮，從而達到目標． 3．數(shù)學歸納法也不是萬能的，也有不能解決的問題． 錯誤解法： （2）假設n=k時，不等式成立，即 當n=k+1時， 則n=k+1時，不等式也成立． 根據(jù)（1）（2），原不等式對n∈N+都成立． （四）課后作業(yè) 1．課本P121：5，P122：6． 2．證明不等式： （提示： （1）當n=1時，不等式成立． （2）假設n=k時，不等式成立，即 那么， 這就是說，n=k+1時，不等式也成立． 根據(jù)（1）（2）可知不等式對n∈N+都成立．） 3．對于任意大于1的自然數(shù)n，求證： （提示： （2）假設n=k時，不等式成立，即 這就是說，n=k+1時，原不等式成立． 根據(jù)（1），（2）可知，對任意大于1的自然數(shù)n，原不等式都成立．） 用數(shù)學歸納法證明①式： （1）當n=3時，①式成立． （2）假設 n=k（k≥3，k∈N）時，①式成立，即2k＞2k+1．那么2k+1=2k2＞2（2k+1） =2（k+1）+1+（2k-1） ＞2（k+1）+1（因k≥3，則2k-1≥5＞0）． 這就是說，當n=k+1時，①式也成立． 根據(jù)（1）（2）可知，對一切n∈N，n≥3①式都成立，即f 課堂教學設計說明 1．數(shù)歸法是以皮亞諾的歸納公理作為依據(jù)，把歸納法與演繹法結(jié)合起來的一種完全歸納法．數(shù)學歸納法證明中的兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想．在教學中應使學生明確這兩個步驟的關系：第一步是遞推的基礎；第二步是遞推的依據(jù)，缺一不可，否則就會導致錯誤．為了取得良好的教學效果，不妨利用“多米諾骨牌”游戲來加深這兩步驟之間的關系的理解，在演示時，應分三種情況：（1）推倒第一張，接著依次倒下直至最后一張；（2）推倒第一張，中途某處停止，最后一張不倒；（3）第一張不倒，后面不管能否推倒，都不會全部倒下．通過具體生動的模型，幫助學生理解數(shù)學歸納法的實質(zhì)． 2．用數(shù)學歸納法證明不等式，宜先比較n=k與n=k+1這兩個不等式間的差異，以決定n=k時不等式做何種變形，一般地只能變出n=k+1等式的一邊，然后再利用比較、分析、綜合、放縮及不等式的傳遞性來完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的證明． 3．要注意：在證明的第二步中，必須利用“n=k時命題成立”這一歸納假設，并且由f（k）到 f（k+1），并不總是僅增加一項，如例2， 4．要教會學生思維，離開研究解答問題的思維過程幾乎是不可能的，因此在日常教學中，尤其是解題教學中，必須把教學集中在問題解答者解答問題的整個過程上，培養(yǎng)學生構(gòu)作問題解答過程的框圖，因為用文字、符號或圖表簡明地表達解答過程或結(jié)果的能力，敘述表達自己解題思路的能力，這也是問題解答所必需的．