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2019-2020年九年級數(shù)學下冊一輪復習 第31課時 直線與圓的位置關系 一、基礎知識梳理 （一）直線與圓的位置關系 和 圓心到直線的距離d與半徑r的數(shù)量關系 無公共點直線與圓相離 有一個公共點直線與圓相切 有兩個公共點直線與圓相交 （二）圓的切線定理 1、性質(zhì)定理：圓的切線 過切點的半徑。 圓中遇切線時常用輔助線作法：見切點，連圓心，得垂直。 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過 ； 推論2：過切點垂直于切線的直線必過 。 即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知二推一。 2、判定定理： 的直線是切線。（兩個條件缺一不可） 切線的判定方法及輔助線作法： ①當知道直線和圓的公共點時，“連半徑，證垂直”-----用判定定理證明。 ②當不確定直線與圓有無公共點時，“作垂直，證半徑”-----用圓心到直線的距離d=r來判定相切。 （三）切線長定理 1、切線長定義：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的長叫做這點到圓的切線長。 2、切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長 ，這點和圓心的連線 兩條切線的夾角。 （四）三角形的內(nèi)切圓 1、 定義：和三角形各邊都 的圓。內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的 ，這個三角形叫做圓的 。 2、三角形的內(nèi)心是三角形 的交點，它到______的距離相等. 三角形的內(nèi)心都在三角形的 部. 二、基礎診斷題 1、如圖，在Rt△ABC中，∠C = 90，∠B = 30，BC = 4 cm，以點C為圓心，以2 cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關系是（ ）． A．相離 B．相切 C．相交 D．相切或相交 2、如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠ACB＝900，且AB＝13，AC＝12，則圖中陰影部分的面積是（　?。? O. A C B 2題圖 A、 B、 C、 D、 O 1 A C B 1 x B C A 1題 3題 5題 3、（xx?天津）如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切線，A為切點，BC經(jīng)過圓心．若∠B=25，則∠C的大小等于（） A.20 B． 25C．40D．50 4、正三角形的內(nèi)切圓半徑為1，那么這個正三角形的邊長為（ ） A．2 B．3 C． D． 5、如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（ ) A.點（0，3）　 B. 點（2，3） 　 C.點（5，1） D. 點（6，1） 6、（xx?威海）如圖，在△ABC中，∠C=90，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓． （1）求證：AC是⊙O的切線．（2）過點E作EH⊥AB于點H，求證：CD=HF． 三、典型例題 例1、（xx?北京）如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧AB的中點，⊙O的切線BD交AC的延長線于點D，E是OB的中點，CE的延長線交切線DB于點F，AF交⊙O于點H，連結BH． （1）求證：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的長． 例2、（xx?聊城）如圖，AB，AC分別是半⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D，過點A作半⊙O的切線AP，AP與OD的延長線交于點P．連接PC并延長與AB的延長線交于點F． （1）求證：PC是半⊙O的切線；（2）若∠CAB=30，AB=10，求線段BF的長． 四、達標檢測題 （一）基礎鞏固題 1、（xx?青島）如圖，AB是⊙O的直徑，BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，且∠BDC=110．連接AC，則∠A的度數(shù)是_________． 1題 2題 2、(xx?淄博)如圖，直線AB與⊙O相切于點A，弦CD∥AB，E，F(xiàn)為圓上的兩點，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的半徑為，CD=4，則弦EF的長為（） A．4B．2 C．D．6 3、（xx?棗莊）如圖，A為⊙O外一點，AB切⊙O于點B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于點D，連接OD．若AB=12，AC=8． （1）求OD的長；（2）求CD的長． 4、（xx?萊蕪）如圖1，在⊙O中，E是弧AB的中點，C為⊙O上的一動點（C與E在AB異側），連接EC交AB于點F，EB=（r是⊙O的半徑）． （1）D為AB延長線上一點，若DC=DF，證明：直線DC與⊙O相切； （2）求EF?EC的值； （3）如圖2，當F是AB的四等分點時，求EC的值． 5、（xx?臨沂）如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E． （1）證明：DE為⊙O的切線； （2）連接OE，若BC=4，求△OEC的面積． 6、(xx?菏澤)如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接BC，AC，作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延長交AB的延長線于點E． （1）求證：DE是⊙O的切線； （2）若，求cos∠ABC的值． （二）能力提升題 1、（xx年山東泰安）如圖，P為⊙O的直徑BA延長線上的一點，PC與⊙O相切，切點為C，點D是⊙上一點，連接PD．已知PC=PD=BC．下列結論： （1）PD與⊙O相切； （2）四邊形PCBD是菱形； （3）PO=AB；（4）∠PDB=120． 其中正確的個數(shù)為（ ） A. 4個 B．3個 C．2個 D．1個 1題 2題 2、（xx?日照）如圖，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，點C在OA上，AC=1，⊙P的圓心P在線段BC上，且⊙P與邊AB，AO都相切．若反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象經(jīng)過圓心P，則k= ． 3、（xx?德州）如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE． （1）求AC、AD的長； （2）試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由． 4、 (xx?東營)如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點E，且交⊙O于點D，F(xiàn)是BA延長線上一點，若∠CDB=BFD． （1）求證：FD是⊙O的一條切線； （2）若AB=10，AC=8，求DF的長． 5、（xx?濰坊）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，以AB為直徑作⊙O，恰與另一腰CD相切于點E，連接OD、OC、BE． （1）求證：OD∥BE； （2）若梯形ABCD的面積是48，設OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的長． 6、（xx?日照）閱讀資料：小明是一個愛動腦筋的學生，他在學習了有關圓的切線性質(zhì)后，意猶未盡，又查閱到了與圓的切線相關的一個問題：如圖1，已知PC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，延長BA交切線PC與P，連接AC、BC、OC． 因為PC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，所以∠OCP=∠ACB=90，所以∠B=∠2．在△PAC與△PCB中，又因為：∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以，即PC=PA?PB． 問題拓展： （Ⅰ）如果PB不經(jīng)過⊙O的圓心O（如圖2）等式PC=PA?PB，還成立嗎？請證明你的結論； 綜合應用： （Ⅱ）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，PC是⊙O的切線，C是切點，BA的延長線交PC于點P； （1）當AB=PA，且PC=12時，求PA的值； （2）D是BC的中點，PD交AC于點E．求證：． 五、課后反饋 1、已知⊙和⊙的半徑是一元二次方程的兩根，若圓心距=5，則⊙和⊙的位置關系是（） A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切 2、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，AB=6，BC=8，以其三邊為直徑向三角形外作三個半圓，矩形EFGH的各邊分別與半圓相切且平行于AB或BC，則矩形EFGH的周長是． 3、如圖，△ABC為等邊三角形，AB=6，動點O在△ABC的邊上從點A出發(fā)沿著A→C→B→A的路線勻速運動一周，速度為1個單位長度每秒，以O為圓心、為半徑的圓在運動過程中與△ABC的邊第二次相切時是出發(fā)后第_______秒. 4、如圖，AB與⊙O相切于點C，∠A=∠B，⊙O的半徑為6，AB=16，求OA的長． 5、已知：如圖②，AB是⊙O的直徑．CA與⊙O相切于點A．連接CO交⊙O于點D，CO的延長線交⊙O于點E．連接BE、BD，∠ABD=30，求∠EBO和∠C的度數(shù)． 6、如圖，已知⊙O的半徑為1，DE是⊙O的直徑，過點D作⊙O的切線AD，C是AD的中點，AE交⊙O于B點，四邊形BCOE是平行四邊形． （1）求AD的長； （2）BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由． 7、如圖所示，菱形ABCD的頂點A、B在x軸上，點A在點B的左側，點D在y軸的正半軸上，∠BAD=60，點A的坐標為(－2，0)． ⑴求線段AD所在直線的函數(shù)表達式． ⑵動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，按照A→D→C→B→A的順序在菱形的邊上勻速運動一周，設運動時間為t秒．求t為何值時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切？