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2019-2020年高考數學專題復習導練測 第四章 第5講 兩角和與差的正弦、余弦和正切 理 新人教A版
一、選擇題
1. 已知銳角α滿足cos 2α＝cos ，則sin 2α等于( )
A. B．－
C. D．－
解析 由cos 2α＝cos
得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α＋sin α)
由α為銳角知cos α＋sin α≠0.
∴cos α－sin α＝，平方得1－sin 2α＝.
∴sin 2α＝.
答案 A
2．若＝，則tan 2α等于 ( )．
A. B．－ C. D．－
解析?。剑剑?，
∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝＝－，故選D.
答案 D
3．已知α，β都是銳角，若sin α＝，sin β＝，則α＋β＝ ( )．
A. B.
C.和 D．－和－
解析 由α，β都為銳角，所以cos α＝＝，cos β＝＝.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，所以α＋β＝.
答案 A
4．已知sin θ＋cos θ＝，則sin θ－cos θ的值為 ( )．
A. B．－ C. D．－
解析 ∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝，∴sin 2θ＝，又0<θ<，∴sin θ
2)的兩根為tan A，tan B，且A，B∈，則A＋B＝________.
解析 由題意知tan A＋tan B＝－3a<－6，tan Atan B＝3a＋1>7，∴tan A<0，tan B<0，
tan(A＋B)＝＝＝1.
∵A，B∈，∴A，B∈，
∴A＋B∈(－π，0)，∴A＋B＝－.
答案?。?
三、解答題
11．已知函數f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.
(1)求函數f(x)的最小正周期；
(2)求函數f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值．
解 (1)f(x)＝sin 2xcos＋cos 2xsin＋sin 2xcos－cos 2xsin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因為f(x)在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上是減函數．又f＝－1，f＝，f＝1，故函數f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－1.
12．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解 (1)由題意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.
又2α∈，∴cos 2α＝＝，
∴tan 2α＝＝.
(2)∵β∈，β－∈，sin＝，
∴cos＝，
于是sin 2＝2sincos＝.
又sin 2＝－cos 2β，∴cos 2β＝－，
又2β∈，∴sin 2β＝，
又cos2α＝＝，α∈，
∴cos α＝，sin α＝.
∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝－＝－.
13．函數f(x)＝6cos2＋ sin ωx－3(ω＞0)在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
(1)求ω的值及函數f(x)的值域；
(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．
解 (1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx＋ sin ωx
＝2sin，
又正三角形ABC的高為2，從而BC＝4，
所以函數f(x)的周期T＝42＝8，即＝8，ω＝.
函數f(x)的值域為[－2，2]．
(2)因為f(x0)＝，
由(1)有f(x0)＝2sin＝，
即sin＝.
由x0∈，知＋∈，
所以cos＝ ＝.
故f(x0＋1)＝2sin
＝2sin
＝2
＝2＝.
14．(1)①證明兩角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
②由C(α＋β)推導兩角和的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
(2)已知cos α＝－，α∈，tan β＝－，β∈，
求cos(α＋β)．
解 (1)證明?、偃鐖D，在直角坐標系xOy內作單位圓O，并作出角α，β與－β，使角α的始邊為Ox軸非負半軸，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于點P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于點P3，角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點P4.
則P1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．
由P1P3＝P2P4及兩點間的距離公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展開并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
②由①易得，cos＝sin α，
sin＝cos α.
sin(α＋β)＝cos
＝cos
＝coscos(－β)－sinsin(－β)
＝sin αcos β＋cos αsin β.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
(2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝－.
∵β∈，tan β＝－，
∴cos β＝－，sin β＝.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝－＝.
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