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2019-2020年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 第1講 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)教案 自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引 真題感悟 1．(xx浙江)把函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是 解析　利用三角函數(shù)的圖象與變換求解． 結(jié)合選項可知應(yīng)選A. 答案　A 2．(xx湖北)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sinωx,2cos ωx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝ab＋λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝π對稱，其中ω、λ為常數(shù)，且ω∈. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍． 解析　(1)因為f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx cos ωx＋λ ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ. 由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對稱軸， 可得sin＝1. 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即 ω＝＋(k∈Z)． 又 ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y＝f(x)的圖象過點，得f＝0， 即λ＝－2sin＝－2sin＝－. 即λ＝－，故f(x)＝2sin－. 由0≤x≤，有－≤x－≤， 所以－≤sin≤1， 得－1－≤2sin－≤2－， 故函數(shù)f(x)在[0，]上的取值范圍為[－1－，2－]． 考題分析 本節(jié)內(nèi)容高考的重點就是利用三角函數(shù)性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性、有界性及“五點作圖法”等，去求解三角函數(shù)的值、求參數(shù)、求最值、求值域、求單調(diào)區(qū)間等問題，三角函數(shù)的圖象主要考查其變換，題型既有選擇題也有填空題，也有解答題，難度中等偏下． 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 高頻考點突破 考點一：三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系式的應(yīng)用 【例1】(xx北京東城模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點A(1，)繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90到點B，那么點B的坐標(biāo)為________；若直線OB的傾斜角為α，則sin 2α的值為________． [審題導(dǎo)引]　根據(jù)三角函數(shù)的定義求出點B的坐標(biāo)，進而求出角α，可求sin 2α. [規(guī)范解答]　如圖所示， ∵點A的坐標(biāo)為(，1)， ∴∠AOx＝60，又∠AOB＝90，∴∠BOx＝30， 過B作BC⊥x軸于C， ∵OB＝2， ∴OC＝，BC＝1， ∴點B的坐標(biāo)為(，－1)， 則直線OB的傾斜角為，即α＝， ∴sin 2α＝sin ＝－sin ＝－. [答案]　(，－1)?。? 【規(guī)律總結(jié)】 三角函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 (1)三角函數(shù)的定義是推導(dǎo)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的理論基礎(chǔ)，應(yīng)用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值有時反而更簡單． (2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式，要注意正確地選擇公式，注意公式的應(yīng)用條件． 【變式訓(xùn)練】 1．(xx惠州模擬)在(0,2π)內(nèi)，使sin x＞cos x成立的x的取值范圍為 A.∪　　 B. C. D.∪ 解析　在單位圓中畫三角函數(shù)線，如圖所示，要使在(0,2π)內(nèi)，sin x＞cos x，則x∈. 答案　C 2．(xx海淀一模)若tan α＝，則cos＝________. 解析　cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α ＝－＝－＝－＝－. 答案　－ 考點二：三角函數(shù)圖象變換及函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【例2】(1)(xx宿州模擬)函數(shù)y＝sin的圖象可由y＝cos 2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到 A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位 (2)(xx泰州模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖所示，則f的值是________． [審題導(dǎo)引]　(1)應(yīng)用誘導(dǎo)公式把兩個函數(shù)化為同名函數(shù)，然后比較二者的差異可得； (2)先由圖象求出f(x)的周期，從而得ω的值，再由關(guān)鍵點求φ，由最小值求A，故得f(x)，可求f. [規(guī)范解答]　(1)y＝sin ＝cos＝cos ＝cos 2， 故函數(shù)y＝sin的圖象可由y＝cos 2x的圖象向右平移個單位得到，故選D. (2)如圖所示，＝π－＝， ∴T＝π.則ω＝2. 又2＋φ＝π，∴φ＝， 又易知A＝， 故f(x)＝sin， ∴f＝sin ＝. [答案]　(1)D　(2) 【規(guī)律總結(jié)】 求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式及其圖象變換的規(guī)律方法 (1)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點求A，由函數(shù)的周期確定ω，由圖象上的關(guān)鍵點確定φ. (2)一般地，函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象，可以看作把曲線y＝sin ωx上所有點向左(當(dāng)φ＞0時)或向右(當(dāng)φ＜0時)平移個單位長度而得到的． 【變式訓(xùn)練】 3．(xx臨沂模擬)若函數(shù)y＝sin x－cos x的圖象向右平移m(m＞0)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是 A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析　y＝sin x－cos x＝2sin，函數(shù)圖象向右平移m(m＞0)個單位長度，得到的函數(shù)解析式為y＝2sin，要使所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則有m＋＝＋kπ，k∈Z，即m＝＋kπ，k∈Z，所以當(dāng)k＝0時，m＝，選C. 答案　C 4．(xx房山一模)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的圖象如圖所示，則ω＝________，φ＝________. 解析?。溅校郥＝， ∴ω＝＝. 又＋φ＝，∴φ＝π. 答案　　π 考點三：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【例3】(xx北京東城11校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝cos2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)的最小正周期是π. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心； (2)若A為銳角△ABC的內(nèi)角，求f(A)的取值范圍． [審題導(dǎo)引]　把f(x)化為y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式后求單調(diào)區(qū)間與對稱中心，再根據(jù)A的范圍求f(A)的取值范圍． [規(guī)范解答]　(1)f(x)＝－sin 2ωx ＝cos＋， T＝＝π，ω＝1. f(x)＝cos＋， －π＋2kπ≤2x＋≤2kπ，k∈Z， －＋kπ≤x≤－＋kπ. 函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z， 令2x＋＝＋kπ，x＝＋， ∴對稱中心為，k∈Z. (2)0＜A＜，＜2A＋＜， －1≤cos＜， －≤cos＋＜1， 所以f(A)的取值范圍為. 【規(guī)律總結(jié)】 三角函數(shù)性質(zhì)的求解方法 (1)三角函數(shù)的性質(zhì)問題，往往都要先化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式再求解． (2)要正確理解三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是記住三角函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的基本思想即可求三角函數(shù)的單調(diào)性，最值與周期． [易錯提示]　(1)在求三角函數(shù)的最值時，要注意自變量x的范圍對最值的影響，往往結(jié)合圖象求解． (2)求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時，只有當(dāng)ω＞0時，才可整體代入并求其解，當(dāng)ω＜0時，需把ω的符號化為正值后求解． 【變式訓(xùn)練】 5．(xx朝陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos. (1)若f(α)＝，求sin 2α的值； (2)設(shè)g(x)＝f(x)f，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解析　(1)因為f(α)＝cos＝， 所以(cos α＋sin α)＝， 所以cos α＋sin α＝. 平方得，sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝， 所以sin 2α＝. (2)因為g(x)＝f(x)f ＝coscos ＝(cos x＋sin x)(cos x－sin x) ＝(cos2x－sin2x)＝cos 2x. 當(dāng)x∈時，2x∈. 所以，當(dāng)x＝0時，g(x)的最大值為； 當(dāng)x＝時，g(x)的最小值為－. 名師押題高考 【押題1】已知＜θ＜π，sin＝－，則tan(π－θ)的值為 A.　 　 　B. C．－　 　 　 D．－ 解析　∵sin＝cos θ＝－，θ∈， ∴sin θ＝，∴tan θ＝－， tan(π－θ)＝－tan θ＝. 答案　B [押題依據(jù)]　本題以選擇題的形式考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，重點突出、考查全面，題目考查內(nèi)容基礎(chǔ)性較強，符合高考的方向，故押此題． 【押題2】(xx北京東城一模)已知函數(shù)f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)2－2sin22x. (1)求f(x)的最小正周期 (2)若函數(shù)y＝g(x)的圖象是由y＝f(x)的圖象向右平移個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的，當(dāng)x∈時，求y＝g(x)的最大值和最小值． 解析　(1)因為f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)2－2sin22x ＝sin 4x＋cos 4x＝sin， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為. (2)依題意，y＝g(x)＝sin＋1 ＝sin＋1. 因為0≤x≤，所以－≤4x－≤. 當(dāng)4x－＝，即x＝時，g(x)取最大值＋1； 當(dāng)4x－＝－，即x＝0時，g(x)取最小值0. [押題依據(jù)]　將三角函數(shù)式化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其周期、單調(diào)區(qū)間、最值等，一直是高考的熱點考向，也是三角函數(shù)的重要內(nèi)容，本題考查內(nèi)容重點突出，難度適中，故押此題．