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2019-2020年高三上學期期末考試 理科數(shù)學 含答案(II) 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的.） 1．設復數(shù)且，則復數(shù)z的虛部為 A. B. C. D. 2．集合，則下列關系正確的是 A. B. C. D. =R 3．已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的值不可能是 A. B. C. D. 4．已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則 輸入x If x≤50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*(x-50) End If 輸出y A． B． C． D． 5．根據(jù)下列算法語句, 當輸入x為60時, 輸出y的值為 A．61 B．31 C．30 D．25 6．某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)（如下表），由最小二乘法求得回歸直線方程，表中有一個數(shù)據(jù)模糊不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為 A．75 B．62 C．68 D．81 7．能夠把圓:的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為圓的“和 諧函數(shù)”,下列函數(shù)不是圓的“和諧函數(shù)”的是 A． B． C． D． 8．已知一個棱長為2的正方體，被一個平面截后所得幾何體 的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 A．8 B． C． D． 9．設，則二項式展開式 中的項的系數(shù)為 A. 20 B. C. 160 D. 10．如圖，點從點出發(fā)，分別按逆時針方向沿周長均為12的正三角形、正方形運動一周，兩點連線的距離與點P走過的路程的函數(shù)關系分別記為，定義函數(shù) 對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的個數(shù)是 O PO PO O ① . ②函數(shù)的圖象關于直線對稱. ③函數(shù)值域為. ④函數(shù)增區(qū)間為. A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分） 12．已知實數(shù)x, y滿足 ， 則的最大值為▲▲▲. 13．已知P為橢圓上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點，B為 橢圓右頂點，若平分線與的平分線交于點， 則 ▲▲▲. 14．已知函數(shù)，給出下列四個命題： ①函數(shù)是周期函數(shù). ②函數(shù)既有最大值又有最小值. ③函數(shù)的圖像有對稱軸. ④對于任意，函數(shù)的導函數(shù)． 其中真命題的序號是▲▲▲ .（請寫出所有真命題的序號） 三、選做題（請考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按所做的第一題評閱計分.本題共5分） 15．（1）（極坐標與參數(shù)方程選做題）已知曲線的極坐標方程為： ，曲線C上的任意一個點P的直角坐標為， 則的取值范圍為▲▲▲. （2）（不等式選做題）若存在實數(shù)使得成立，則實數(shù)的取值范圍 為▲▲▲. 四、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 16．(本小題滿分12分) 已知各項都不相等的等差數(shù)列的前6項和為60，且為和的等比中項. (1) 求數(shù)列的通項公式； (2) 若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項和. 17. （本小題滿分12分） 已知角A、B、C是的三個內(nèi)角，若向量 ，，且. （1）求的值； （2）求的最大值. 18. （本小題滿分12分） 某市四所中學報名參加某高校今年自主招生的學生人數(shù)如下表所示： 中學 人數(shù) 為了了解參加考試的學生的學習狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報名參加考試的四 所中學的學生當中隨機抽取50名參加問卷調(diào)查. （1）問四所中學各抽取多少名學生？ （2）從參加問卷調(diào)查的名學生中隨機抽取兩名學生，求這兩名學生來自同一所中學 的概率； （3）在參加問卷調(diào)查的名學生中，從來自兩所中學的學生當中隨機抽取兩名學 生，用表示抽得中學的學生人數(shù)，求的分布列和期望.] 19．（本小題滿分12分） 已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點. （1）證明：面面； （2）求面與面夾角的余弦值. 20．（本小題滿分13分） 已知中心在原點的橢圓C：的一個焦點為F1(0,3)，M(x,4)(x＞0)為橢圓C上一點，△MOF1的面積為. (1)求橢圓C的方程； (2)是否存在平行于OM的直線l，使得直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且以線段 AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 21．（本小題滿分14分） 已知函數(shù). （1）若，求證：當時，； （2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，試求的取值范圍； （3）求證：. 新余市xx上學期期末質(zhì)量檢測 高三數(shù)學 參考答案 (理科) 一、選擇題(每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中只有一個符合要求。) 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C B C A B D C 二、填空題（本大題共5個小題，每小題5分，共25分） 11. 12. 13. 14.②③ 三、選做題：請考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按所做的第一題評閱計分。 本題共5分。 15．（1） （2） 四、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 16．(本小題滿分12分) 解：（1）設等差數(shù)列的公差為()， 則 ………………2分 解得 …………………4分 ∴． ………………5分 （2）由， ∴， ………………6分 ． ∴． …………………8分 ∴ ………………10分 ．………………12分 17. （本小題滿分12分） . 解：（1）……3分 ………………6分 （2）………………9分 （A,B均是銳角，即其正切均為正） 所求最大值為?！?2分 18. （本小題滿分12分） 解：（1）由題意知，四所中學報名參加該高校今年自主招生的學生總?cè)藬?shù)為100名， 抽取的樣本容量與總體個數(shù)的比值為. ∴應從四所中學抽取的學生人數(shù)分別為. …………… 4分 (3)由（1）知，在參加問卷調(diào)查的名學生中，來自兩所中學的學生人數(shù)分別 為. 依題意得，的可能取值為， …………… 8分 ， ，. …………… 11分 ∴的分布列為： 1 …………… 12分 19．（本小題滿分12分） 解:以為坐標原點長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為 . （Ⅰ）證明：因 由題設知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面. 又在面上，故面⊥面.…………… 5分 （Ⅱ）解：在上取一點，則存在使 要使 為所求二面角的平面角. 面與面夾角的余弦值.…………… 12分 20．（本小題滿分13分） 解：(1)因為橢圓C的一個焦點為F1(0,3)， 所以b2＝a2＋9. 則橢圓C的方程為＋＝1. 因為x＞0，所以＝3x＝，解得x＝1. 故點M的坐標為(1,4)． 因為M(1,4)在橢圓上， 所以＋＝1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合題意，舍去)， 則b2＝9＋9＝18，所以橢圓C的方程為＋＝1. ………………6分 (2)假設存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點， 其方程為y＝4x＋m(因為直線OM的斜率k＝4)． 由消去y化簡得18x2＋8mx＋m2－18＝0. 進而得到x1＋x2＝－，x1x2＝. 因為直線l與橢圓C相交于A，B兩點， 所以Δ＝(8m)2－418(m2－18)＞0， 化簡得m2＜162，解得－9＜m＜9. 因為以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點，所以＝0， 所以x1x2＋y1y2＝0. 又y1y2＝(4x1＋m)(4x2＋m)＝16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2， x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝0. 解得m＝. 由于∈(－9，9)， 所以符合題意的直線l存在，且所求的直線l的方程為y＝4x＋或y＝4x－.…………13分 21．（本小題滿分14分） 解：(1)f(x)＝ex－x2，則h(x)＝f′(x)＝ex－x，∴h′(x)＝ex－1＞0(x＞0)， ∴h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上遞增，∴f′(x)＞f′(0)＝1＞0， ∴f(x)＝ex－x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)＞f(0)＝1.( …………4分) (2)f′(x)＝ex－2kx，下面求使 (x＞0)恒成立的k的取值范圍． 若k≤0，顯然f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 記φ(x)＝ex－2kx，則φ′(x)＝ex－2k， 當0＜k＜時，∵ex＞e0＝1，2k＜1，∴φ′(x)＞0，則φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 于是f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當k≥時，φ(x)＝ex－2kx在(0，ln 2k)上單調(diào)遞減，在(ln 2k，＋∞)上單調(diào)遞增， 于是f′(x)＝φ(x)≥φ(ln 2k)＝eln 2k－2kln 2k， 由eln 2k－2kln 2k≥0得2k－2kln 2k≥0，則≤k≤， 綜上，k的取值范圍為(－∞，]． …………9分 另解：(2) ，下面求使(x＞0)恒成立的k的取值范圍． )恒成立。記 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。 綜上，k的取值范圍為(－∞，]．(…………9分) (3)由(1)知，對于x∈(0，＋∞)，有f(x)＝ex＞x2＋1，∴e2x＞2x2＋1， 則ln(2x2＋1)＜2x，從而有l(wèi)n(＋1)＜(n∈N*)， 于是ln(＋1)＋ln(＋1)＋ln(＋1)＋…＋ln(＋1)＜＋＋…＋＜＋＋…＋＝2＋2(1－＋…＋－)＝4－＜4，故(＋1)(＋1)(＋1)…(＋1)＜e4.( …………14分) 另解：(3)由(1)知，對于x∈(0，＋∞)，有f(x)＝ex＞x2＋1，∴e2x＞2x2＋1， 則ln(2x2＋1)＜2x，從而有l(wèi)n(＋1)＜(n∈N*)， 又 于是ln(＋1)＋ln(＋1)＋ln(＋1)＋…＋ln(＋1)＜ 故(＋1)(＋1)(＋1)…(＋1)＜e4. ( …………14分)