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2019-2020年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 第2講 橢圓 雙曲線 拋物線教案 自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引 真題感悟 1．(xx江西)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別是A、B，左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 A.　　　　　　　　 B. C. D.－2 解析　利用等比中項(xiàng)性質(zhì)確定a，c的關(guān)系． 由題意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，且三者成等比數(shù)列，則|F1F2|2＝|AF1||F1B|，即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，所以e2＝，所以e＝. 答案　B 2．(xx山東)已知雙曲線C1：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為 A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y 解析　根據(jù)離心率的大小和距離列出方程或方程組求解． ∵雙曲線C1：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2， ∴＝＝2，∴b＝a， ∴雙曲線的漸近線方程為xy＝0， ∴拋物線C2：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為＝2，∴p＝8.∴所求的拋物線方程為x2＝16y. 答案　D 考題分析 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、性質(zhì)、方程一直是每年高考必要內(nèi)容．近幾年命題更加注意知識(shí)的融合創(chuàng)新，涉及導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式、數(shù)列、向量等知識(shí)，同時(shí)注意思想方法的運(yùn)用． 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 高頻考點(diǎn)突破 考點(diǎn)一：圓錐曲線的定義及應(yīng)用 【例1】(xx濰坊二模)已知雙曲線C：－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為C的右支上一點(diǎn)，且|PF2|＝|F1F2|，則等于 A．24　　　　 B．48 C．50　　　　 D．56 [審題導(dǎo)引]　據(jù)已知條件和雙曲線的定義可以求出|PF1|與|PF2|的長(zhǎng)，在△PF1F2中利用余弦定理可求兩向量夾角的余弦值，即得. [規(guī)范解答]　如圖所示，|PF2|＝|F1F2|＝6， 由雙曲線定義可得，|PF1|＝10. 在△PF1F2中，由余弦定理可得， cos ∠F1PF2＝＝＝. ∴＝||||cos ∠F1PF2＝106＝50. [答案]　C 【規(guī)律總結(jié)】 焦點(diǎn)三角形問題的求解技巧 (1)所謂焦點(diǎn)三角形，就是以橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓或雙曲線上的三角形． (2)解決此類問題要注意應(yīng)用三個(gè)方面的知識(shí)： ①橢圓或雙曲線的定義； ②勾股定理或余弦定理； ③基本不等式與三角形的面積公式． 【變式訓(xùn)練】 1．已知雙曲線－＝1，直線l過其左焦點(diǎn)F1，交雙曲線左支于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為20，則m的值為 A．8 B．9 C．16 D．20 解析　由雙曲線的定義可知，|AF2|－|AF1|＝2， |BF2|－|BF1|＝2， 所以(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝4， |AF2|＋|BF2|－|AB|＝4， |AF2|＋|BF2|＝4＋4. 又|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝20， 即4＋4＋4＝20. 所以m＝9. 答案　B 2．(xx四川)橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)A、B，當(dāng)△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FAB的面積是________． 解析　根據(jù)橢圓的定義結(jié)合其幾何性質(zhì)求解． 直線x＝m過右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，△FAB的周長(zhǎng)最大，由橢圓定義知，其周長(zhǎng)為4a＝8，此時(shí)，|AB|＝2＝＝3，∴S△FAB＝23＝3. 答案　3 考點(diǎn)二：圓錐曲線的性質(zhì) 【例2】(xx咸陽二模)已知橢圓C1：＋＝1與雙曲線C2：－＝1共焦點(diǎn)，則橢圓C1的離心率e的取值范圍為 A. B. C．(0,1) D. [審題導(dǎo)引]　根據(jù)橢圓與雙曲線的方程確定其焦點(diǎn)位置，進(jìn)而求出m、n的范圍，可求離心率e的取值范圍． [規(guī)范解答]　由雙曲線的方程知，橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)在x軸， ∴，∴. 設(shè)橢圓C1的離心率為e， ∴e2＝1－＝1－. ∵m＞0，∴e2＞，e＞， 即離心率的范圍是. [答案]　A 【規(guī)律總結(jié)】 離心率的求法 雙曲線與橢圓的離心率就是的值，有些試題中可以直接求出a、c的值再求離心率，在有些試題中不能直接求出a、c的值，由于離心率是個(gè)比值，因此只要能夠找到一個(gè)關(guān)于a、c或a、b的方程，通過這個(gè)方程解出或，利用公式e＝求出，對(duì)雙曲線來說，e＝，對(duì)橢圓來說，e＝. 【變式訓(xùn)練】 3．(xx日照模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的漸近線方程為 A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析　拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)為(4,0)，∴c＝4， e＝＝＝2，∴a＝2， b＝＝＝2， 故漸近線方程為y＝x. 答案　D 4．(xx濟(jì)南三模)已知雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為c(c為雙曲線的半焦距長(zhǎng))，則雙曲線的離心率為 A. B. C. D. 解析　易知雙曲線－＝1的漸近線為y＝x， 即bx－ay＝0. 不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為F(c,0)， 據(jù)題意，得c＝，∴b＝c， ∴a2＋b2＝a2＋c2＝c2， 即a2＝c2，∴e2＝＝，∴e＝. 答案　B 考點(diǎn)三：求圓錐曲線的方程 【例3】(1)(xx湖南)已知雙曲線C：－＝1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為 A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 (2)設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為 A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝8x [審題導(dǎo)引]　(1)利用焦距為10與P(2,1)在雙曲線的漸近線上可列出關(guān)于a，b的方程組，解出a與b，得雙曲線的方程． (2)求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以根據(jù)三角形的面積列出關(guān)于a的方程，解方程即得． [規(guī)范解答]　(1)∵－＝1的焦距為10， ∴c＝5＝.① 又雙曲線漸近線方程為y＝x，且P(2,1)在漸近線上， ∴＝1，即a＝2b.② 由①②解得a＝2，b＝，故應(yīng)選A. (2)拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為， 則直線l的方程為y＝2， 它與y軸的交點(diǎn)為A， 所以△OAF的面積為＝4， 解得a＝8. 所以拋物線方程為y2＝8x.故選B. [答案]　(1)A　(2)B 【規(guī)律總結(jié)】 求圓錐曲線方程的方法 (1)定義法：在所給的條件滿足圓錐曲線的定義時(shí)或已知圓錐曲線的焦點(diǎn)及其上一點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)常用此方法． (2)待定系數(shù)法：①頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線，可設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避開對(duì)焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上的分類討論，此時(shí)a不具有p的幾何意義． ②中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上， 橢圓方程可設(shè)為＋＝1(m＞0，n＞0)， 雙曲線方程可設(shè)為－＝1(mn＞0)． 這樣可以避免繁瑣的計(jì)算． 利用以上設(shè)法，根據(jù)所給圓錐曲線的性質(zhì)求出參數(shù)，即得方程． 【變式訓(xùn)練】 5．若點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y＋4＝0的距離小2，則點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程為 A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y 解析　點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y＋4＝0的距離小2，說明點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)F(0,2)和到直線y＋2＝0的距離相等，所以P點(diǎn)的軌跡為拋物線，設(shè)拋物線方程為x2＝2py，其中p＝4，故所求的軌跡方程為x2＝8y. 答案　C 6．設(shè)橢圓＋＝1(m＞0，n＞0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　依題意得拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)， 則橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)， 由題意得m2－n2＝22且e＝＝，m＝4，n2＝12， 橢圓的方程是＋＝1，選B. 答案　B 名師押題高考 【押題1】設(shè)F1、F2分別是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P滿足|PF2|＝|F1F2|，且cos ∠PF1F2＝，則雙曲線的漸近線方程為 A．3x4y＝0　　　　　 B．3x5y＝0 C．4x3y＝0 D．5x4y＝0 解析　在△PF1F2中，由余弦定理得 cos ∠PF1F2＝ ＝＝＝. 所以|PF1|＝c. 又|PF1|－|PF2|＝2a，即c－2c＝2a，a＝c. 代入c2＝a2＋b2得＝. 因此，雙曲線的漸近線方程為4x3y＝0. 答案　C [押題依據(jù)]　對(duì)于圓錐曲線，定義是非常重要的，高考中常以選擇題或填空題的形式靈活考查圓錐曲線的定義以及由定義所涉及的幾何性質(zhì)．本題是典型的焦點(diǎn)三角形問題，突出了定義，同時(shí)考查了余弦定理，方法較靈活，故押此題． 【押題2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為________． 解析　根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上， 可設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)， ∵e＝，∴＝. 根據(jù)△ABF2的周長(zhǎng)為16得4a＝16， 因此a＝4，b＝2，∴橢圓方程為＋＝1. 答案　＋＝1 [押題依據(jù)]　橢圓的方程、幾何性質(zhì)與定義是解析幾何的重要內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)問題，通常的考查方式是把橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓的定義相互綜合．本題難度較小，屬基礎(chǔ)題目，故押此題．