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2019-2020年高中數(shù)學 空間幾何體 板塊二 截面與距離問題完整講義（學生版） 典例分析 棱錐、棱臺的中截面與軸截面 【例1】 正四棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的倍，求的取值范圍． 【例2】 正四棱錐的斜高為，側(cè)棱長為，求棱錐的高與中截面（即過高線的中點且平行于底面的截面）的面積？ 【例3】 正四棱臺的高為，兩底面的邊長分別是和，求這個棱臺的側(cè)棱長和斜高． 【例4】 已知正六棱臺的上，下底面的邊長和側(cè)棱長分別為，，，則它的高和斜高分別為 【例5】 已知正三棱錐的高，斜高，求經(jīng)過的中點且平行于底面的截面的面積． 【例6】 如圖所示的正四棱錐，它的高，側(cè)棱長為， ⑴ 求側(cè)面上的斜高與底面面積． ⑵ 是高的中點，求過點且與底面平行的截面（即中截面）的面積． 【例7】 如圖，已知棱錐的底面積是，平行于底面的截面面積是，棱錐頂點在截面和底面上的射影分別是、，過的三等分點作平行于底面的截面，求各截面的面積． 圓錐、圓臺的中截面與軸截面 【例8】 把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比是，母線長，求圓錐的母線長． 【例9】 一圓錐軸截面頂角為，母線長為，求軸截面的面積． 【例10】 圓臺的母線長為，母線和軸的夾角為，一個底面半徑是另一個底面半徑的倍，求圓臺的高與上下兩底面面積之和． 【例11】 圓臺兩底半徑分別是和，母線長是，求它的軸截面的面積； 【例12】 圓臺側(cè)面的母線長為，母線與軸的夾角為，一個底面半徑是另一個底面半徑的倍，則兩底面半徑為 ． 【例13】 圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的倍，軸截面的面積等于，母線與底面的夾角是，求這個圓臺的母線長． 【例14】 用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上下底面半徑的比是，截去的圓錐的母線長是，求圓臺的母線長． 【例15】 圓臺母線長為，母線與軸的夾角為，一個底面的半徑是另一個底面半徑的倍，求兩底面半徑以及兩底面面積之和． 【例16】 圓錐軸截面頂角為，母線長為．⑴求軸截面的面積；⑵過頂點的圓錐的截面中，最大截面的面積． 球的截面 【例17】 在球心同側(cè)有相距的兩個平行截面，它們的面積分別為和．求球的半徑． 【例18】 已知半徑為的球的兩個平行截面的周長分別為和，求這兩個截面間的距離． 【例19】 （xx四川卷８） 設是球心的半徑上的兩點，且，分別過作垂直于的平面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為（　　） A．　　 B．　 　C．　　　 D． 【例20】 球面上有三點、、組成這個球的一個截面的內(nèi)接三角形三個頂點，其中，、，球心到這個截面的距離為球半徑的一半，求球的半徑． 【例21】 （xx全國Ⅱ）已知球的半徑為，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓．若兩圓的公共弦長為，則兩圓的圓心距等于（ ） A． B． C． D． 組合體的截面分析 【例22】 一個軸截面是正三角形的圓錐內(nèi)有一個軸截面是正方形的內(nèi)接圓柱，求它們的高的比值和母線長的比值． 【例23】 （xx湖南理8）棱長為的正方體的個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（ ） A． B． C． D． 【例24】 （xx年江西卷10）連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦、的長度分別等于、，、分別為、的中點，每條弦的兩端都在球面上運動，有下列四個命題： ①弦、可能相交于點 ②弦、可能相交于點 ③的最大值為5 ④的最小值為1 其中真命題的個數(shù)為（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 多面體與簡單旋轉(zhuǎn)體的表面最短距離問題 【例25】 如圖正方體，其棱長為，分別為線段，上的兩點，且．求在正方體側(cè)面上從到的最短距離． 【例26】 已知如圖，正三棱柱的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點自點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點的最短路線的長為． 【例27】 如圖所示，正三棱錐的側(cè)棱長為，，和分別為棱和上的點，求的周長的最小值． 【例28】 如圖，長方體中，，，，并且．求沿著長方體的表面自到的最短線路的長． 【例29】 如圖所示，設正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，．過作與側(cè)棱相交的截面，求截面周長的最小值． 【例30】 如圖，圓臺上底半徑為，下底半徑為，母線，從中點拉一繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到點（在下底面）． ⑴求繩子的最短長度； ⑵求繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離． 【例31】 已知以為頂點的正四面體，其棱長為，分別為上的兩點，且．求在正四面體側(cè)面上從到的最短距離． 【例32】 （xx江西，理15）如圖，在直三棱柱中，，，，、分別為、的中點，沿棱柱的表面從到兩點的最短路徑的長度為 ． 【例33】 如圖所示，正三棱錐的側(cè)棱長為，，和分別為棱和上的點，求的周長的最小值． 球面距離 【例34】 （xx遼寧）在體積為的球的表面上有三點，，，，兩點的球面距離為，則球心到平面的距離為 ． 【例35】 （06四川卷理10） 已知球的半徑是1，、、三點都在球面上，、兩點和、兩點的球面距離都是，、兩點的球面距離是，則二面角的大小是（　　?。? A． B． C． D． 【例36】 、是半徑為的球的球面上兩點，它們的球面距離為，求過、的平面中，與球心的最大距離是多少？ 【例37】 已知三點在球心為，半徑為的球面上，且，那么兩點的球面距離為_________，球心到平面的距離為_________． 【例38】 、是半徑為的球的球面上兩點，它們的球面距離為，求過、的平面中，與球心的最大距離是多少？ 【例39】 （xx陜西）如圖球的半徑為，圓是一小圓，，、是圓上兩點，若兩點間的球面距離為，則= ． 【例40】 （xx四川卷）如圖，在半徑為3的球面上有、、三點，，，球心到平面的距離是，則、兩點的球面距離是（ ） A． B． C． D． 【例41】 球面上有個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過個點的小圓的周長為，求這個球的半徑． 【例42】 （06浙江）如圖，是半徑為的球心，點在球面上，兩兩垂直，分別是大圓弧與的中點，則點在該球面上的球面距離是（　　） A． B． C． D． 【例43】 （xx安徽） 已知在同一個球面上，平面，，若，，，則兩點間的球面距離是 ． 【例44】 ⑴（xx遼寧卷文） 如果把地球看成一個球體，則地球上的北緯緯線長和赤道長的比值為（ ） A． B． C． D． ⑵ 在半徑為的球面上有，兩點，球心為，半徑，的夾角是，則，兩點的球面距離為________． 【例45】 在北緯緯線上有，兩地，它們分別在東經(jīng)與西經(jīng)的經(jīng)線上，設地球半徑為，求，兩地的球面距離． 【例46】 已知地球的半徑為，球面上兩點都在北緯圈上，它們的球面距離為，點在東經(jīng)上，求點的位置及，兩點所在的緯線圈上對應的劣弧的長度． 【例47】 從北京（靠近北緯、東經(jīng)，以下經(jīng)緯度均取近似值）飛往南非首都約翰內(nèi)斯堡（南緯、東經(jīng)），有兩條航空線可供選擇： 甲航空線：從北京沿緯線向西飛到土耳其首都安卡拉（北緯、東經(jīng)），然后向南飛到目的地． 乙航空線：從北京沿經(jīng)線向南飛到澳大利亞的珀斯（南緯、東經(jīng)），然后向沿緯線向西飛到目的地． 請問：哪一條航空線較短？如果這條航線的兩段都分別選擇最短路線，那么這條航線的總長為多少？（地球視為半徑的球） 【例48】 （xx陜西）長方體的各頂點都在球的球面上，其中．兩點的球面距離記為，兩點的球面距離記為，則的值為 ． 【例49】 （08湖南）長方體的8個頂點在同一個球面上，且，則頂點間的球面距離是（ ） A． B． C． D．2 【例50】 在半徑為的球內(nèi)，有一個內(nèi)接正三棱錐，它的底面上的三個頂點恰好在同一個大圓上，一個動點從三棱錐的一個頂點出發(fā)沿球面運動，經(jīng)過其余三頂點后返回，則經(jīng)過的最短路程是_______．