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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第11講 函數(shù)（三角函數(shù)、數(shù)列函數(shù)）模型及其應(yīng)用 【知識(shí)要點(diǎn)】 一、在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題，往往隱含著量與量之間的關(guān)系，可通過建立變量之間的函數(shù)關(guān)系和對(duì)所得函數(shù)的研究，使問題得到解決． 數(shù)學(xué)模型方法是把實(shí)際問題加以抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用這些模型來研究實(shí)際問題的一般數(shù)學(xué)方法；數(shù)學(xué)模型則是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，再從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實(shí)際問題時(shí)所得出的關(guān)于實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述． 數(shù)學(xué)模型來源于實(shí)際，它是對(duì)實(shí)際問題抽象概括加以數(shù)學(xué)描述后的產(chǎn)物，它又要回到實(shí)際中去檢驗(yàn)，因此對(duì)實(shí)際問題有深刻的理解是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法的前提． 二、函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化現(xiàn)象需要用不同的函數(shù)模型來描述，數(shù)學(xué)應(yīng)用題的建模過程就是信息的獲取、存儲(chǔ)、處理、綜合、輸出的過程，熟悉一些基本的數(shù)學(xué)模型，有助于提高我們解決實(shí)際問題的能力． 三、三角函數(shù)的應(yīng)用一般是先根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再根據(jù)題意結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析解答.一般根據(jù)函數(shù)的最值確定和，根據(jù)函數(shù)的最小正周期確定，根據(jù)函數(shù)的最值點(diǎn)確定. 四、數(shù)列的應(yīng)用主要是從實(shí)際生活中抽象出一個(gè)等差、等比的數(shù)列問題解答，如果不是等差等比數(shù)列的，要轉(zhuǎn)化成等差等比數(shù)列的問題來解決.注意數(shù)列的項(xiàng)數(shù). 五、解決實(shí)際問題的解題過程 （1）對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象概括：研究實(shí)際問題中量與量之間的關(guān)系，確定變量之間的主、被動(dòng)關(guān)系，并用、分別表示問題中的變量； （2）建立函數(shù)模型：將變量表示為的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式； （3）求解函數(shù)模型：根據(jù)實(shí)際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù)知識(shí)求得函數(shù)模型的解，并還原為實(shí)際問題的解. 這些步驟用框圖表示： 六、解應(yīng)用題的一般程序 （1）讀：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ)； （2）建：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進(jìn)行建“?！笔顷P(guān)鍵的一關(guān)； （3）解：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論.一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實(shí)際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程； （4）答：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實(shí)際問題的結(jié)果． 【方法講評(píng)】 函數(shù)的模型一 三角函數(shù)模型 解題步驟 先建立對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)模型，再解答. 【例1】已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度（單位：米）與時(shí)間 （單位：時(shí)）的函數(shù)關(guān)系記作，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)： (時(shí)) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 (米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 經(jīng)長期觀測(cè)，的曲線可近似地看成是函數(shù). （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)的最小正周期，振幅及函數(shù)表達(dá)式； （2）依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放，請(qǐng)依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8∶00時(shí)至晚上20∶00時(shí)之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？ （2）由題知，當(dāng)時(shí)才可對(duì)沖浪者開放，∴， 【點(diǎn)評(píng)】（1）首先要利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出三角函數(shù)的表達(dá)式，是函數(shù)的振幅，是相位，是初相.一般通過函數(shù)的最值求,通過周期求，通過最值點(diǎn)求.（2）解簡(jiǎn)單的三角函數(shù)不等式主要是利用三角函數(shù)的圖像和數(shù)形結(jié)合的思想解答.三角不等式的解集中一般含有“”，最后給賦值和實(shí)際范圍求交集. 【反饋檢測(cè)1】海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天 從0時(shí)至24時(shí)的時(shí)間（單位：時(shí)）與水深（單位：米）的關(guān)系表： （1）請(qǐng)選用一個(gè)函數(shù)來近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系； （2）一條貨輪的吃水深度（船體最低點(diǎn)與水面的距離）為12米，安全條例規(guī)定船體最低點(diǎn)與洋底間隙至少要有1.5米，請(qǐng)問該船何時(shí)能進(jìn)出港口？在港口最多能停留多長時(shí)間？ 【例2】 某地有三家工廠，分別位于矩形的頂點(diǎn)，及的中點(diǎn)處，已知，，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形的區(qū)域上（含邊界），且，與等距離的一點(diǎn)處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道，，，設(shè)排污管道的總長為． （Ⅰ）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式： ①設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式； ②設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式． （Ⅱ）請(qǐng)你選用（Ⅰ）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短． （Ⅱ）選擇函數(shù)模型①， 則. 令得，因?yàn)?，所以? 當(dāng)時(shí)，，是的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是的增函數(shù)，所以當(dāng)=時(shí)，．這時(shí)點(diǎn)位于線段的中垂線上，且距離邊處． 【點(diǎn)評(píng)】（1）本題主要考查根據(jù)實(shí)際意義建立函數(shù)模型、三角函數(shù)性質(zhì)和解決最值問題的基本知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和分析問題、轉(zhuǎn)化求解的能力．（2）對(duì)于較復(fù)雜的三角函數(shù)的最值，一般利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性從而得到函數(shù)的最值.（3）一般以平面幾何為背景的應(yīng)用題，多以角為自變量建立三角函數(shù)模型，比以邊為自變量建立函數(shù)模型簡(jiǎn)單. 【反饋檢測(cè)2】如圖所示，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為的半圓形空地，外的地方種草，的內(nèi)接正方形為一水池，其余地方種花. 若，，設(shè)的面積為，正方形的面積為. （1）（2） 函數(shù)的模型八 數(shù)列模型 解題步驟 先建立數(shù)列模型，再解答. 【例3 】 某城市xx年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛? （1）顯然，若，則，即， 此時(shí) 要使對(duì)于任意正整數(shù)，均有恒成立， 即 對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，解這個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式 ， 得， 上式恒成立的條件為：，由于關(guān)于的函數(shù)單調(diào)遞 減，所以，. 【點(diǎn)評(píng)】（1）建立數(shù)列模型的關(guān)鍵是從已知中找到數(shù)列的遞推關(guān)系，，，再根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)，再研究.（2）解答的關(guān)鍵是化歸為含參數(shù)的不等式恒成立問題，其分離變量后又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. 【例4】 廣州市某通訊設(shè)備廠為適應(yīng)市場(chǎng)需求，提高效益，特投入98萬元引進(jìn)世界先進(jìn)設(shè)備奔騰6號(hào)，并馬上投入生產(chǎn)，第一年需要的各種費(fèi)用是12萬元，從第二年開始，所需費(fèi)用會(huì)比上一年增加4萬元，而每年因引進(jìn)該設(shè)備可獲得的年利潤為50萬元. （1）引進(jìn)該設(shè)備多少年后，開始盈利？ （2）引進(jìn)該設(shè)備若干年后，有兩種處理方案： 第一種：年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以26萬元的價(jià)格賣出； 第二種：盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬元的價(jià)格賣出.問哪種方案較為合算？并說明理由. 【解析】（1） 所以3年后開始盈利. 【點(diǎn)評(píng)】（1）建立數(shù)列模型的關(guān)鍵是理解數(shù)列函數(shù)的意義，再根據(jù)其意義求出表達(dá)式.（2）注意理解“年平均盈利”和“年盈利”的含義，年平均盈利= 年盈利= 【反饋檢測(cè)3】某企業(yè)xx年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從xx年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第年（今年為第一年）的利潤為萬元（為正整數(shù)）.（Ⅰ）設(shè)從今年起的前年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤為萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求、的表達(dá)式；（Ⅱ）依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤？ 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測(cè)第11講： 函數(shù)（三角函數(shù)、數(shù)列函數(shù)）模型及其應(yīng)用參考答案 【反饋訓(xùn)練1答案】（1）；（2）貨船在1點(diǎn)至5點(diǎn)可以進(jìn)出港；或13點(diǎn)至17點(diǎn)可以進(jìn)出港．每次可以在港口最多能停留4小時(shí). 【反饋檢測(cè)2答案】（1）；（2） 【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】（1）， （2） 【反饋檢測(cè)3答案】（1）=，=500－－10；（2）至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤. 答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤.