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2019-2020年高考數(shù)學 常見題型解法歸納反饋訓練 第77講 軌跡方程的求法 【知識要點】 一、“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義 在直角坐標系中，如果曲線上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下關系：（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解（純粹性）；（2）以這個方程的解為坐標的點都在曲線上（完備性）.那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線. 二、求簡單的曲線方程的一般步驟：建設限代化 （1） 建立直角坐標系：利用垂直性和對稱性建立適當?shù)淖鴺讼担? （2） 設點：用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點的坐標（不要把其它的點的坐標設成）； （3） 列出動點滿足的限制條件：用坐標表示條件,列出方程； （4） 代點坐標到方程； （5） 化簡：化方程為最簡形式； （6） 檢驗：檢驗某些特殊點是否滿足題意，把不滿足的點排除，把滿足的點補充上來.（可以省略） 三、求軌跡方程的四種主要方法 ：軌跡四法 待代直參 （1）待定系數(shù)法：通過對已知條件的分析，發(fā)現(xiàn)動點滿足某個曲線（圓、圓錐曲線）的定義，然后設出曲線的方程，求出其中的待定系數(shù)，從而得到動點的軌跡方程. （2）代入法：如果點的運動是由于點的運動引起的，可以先用點的坐標表示點的坐標，然后代入點滿足的方程，即得動點的軌跡方程. （3）直接法：直接把已知的方程和條件化簡即得動點的軌跡方程. （4）參數(shù)法：動點的運動主要是由于某個參數(shù)的變化引起的，可以選參、設參，然后用這個參數(shù)表示動點的坐標，即，再消參. 四、軌跡和軌跡方程 軌跡和軌跡方程是兩個不同的概念，軌跡表示的曲線的簡單特征的描述，而求軌跡方程只求那個方程即可，不需描述曲線的特征. 【方法講評】 方法一 直接法 使用情景 已知中或圖形中有動點滿足的方程. 解題步驟 直接把動點的坐標代入已知的方程化簡即可. 【例1】線段與互相垂直平分于點，，，動點滿足，求動點的軌跡方程． 【解析】 【點評】（1）這種題目由于已知中沒有直角坐標系，所以首先要根據(jù)垂直性和對稱性建立直角坐標系，由于建立坐標系的方法有多種，所以求出的軌跡方程有多種，但是都是對的；（2）這道題是直接用坐標化簡已知中的得到的軌跡方程，運用的是直接法. 【例2】 已知圓： ，由動點向圓引兩條切線、，切點分別為、，并且，求點的軌跡. 【點評】（1）這道題運用的是直接法，但是它是把已知條件轉(zhuǎn)化得到的一個等式，不是現(xiàn)存的等式.（2）軌跡和軌跡方程是兩個不同的概念，軌跡包含軌跡方程和對軌跡方程表示的曲線的簡單特征的描述，而求軌跡方程只求那個方程即可，不需描述曲線的特征.所以本題要描述軌跡的基本特征. 【反饋檢測1】在平面直角坐標系中，兩點的坐標分別為、，動點滿足:直線與直線的斜率之積為． （1）求動點的軌跡方程； （2）設為動點的軌跡的左右頂點，為直線上的一動點（點不在x軸上），連[交的軌跡于點，連并延長交的軌跡于點，試問直線是否過定點？若成立，請求出該定點坐標，若不成立，請說明理由． 【反饋檢測2】一條雙曲線的左、右頂點分別為，點，是雙曲線上不同的兩個動點. （1）求直線與交點的軌跡的方程式； （2）若過點（）的兩條直線和與軌跡都只有一個交點，且 ,求的值. 方法二 待定系數(shù)法 使用情景 通過已知條件的分析可以得到動點滿足某種曲線（圓、圓錐曲線）的定義. 解題步驟 （1）分析出動點滿足的方程；（2）證明動點滿足某曲線（圓、圓錐曲線）的定義；（3）設出該曲線的待定系數(shù)方程；（4）求出待定系數(shù)，即得所求的軌跡方程. 【例3】 已知動圓P與兩定圓和都外切，求動圓圓心的軌跡方程． 【點評】（1）此道題通過對已知的分析得到，即動點到兩個定點的距離的差是一個常數(shù)，與雙曲線的定義相符，所以其軌跡是雙曲線的一支，利用的是待定系數(shù)法；（2）利用待定系數(shù)法求軌跡方程時，一定要比較全面地分析條件和曲線的定義，看是曲線的全部，還是曲線的部分，此題也不是雙曲線的全部，是雙曲線的一支. 【例4】已知點到點的距離比到點到直線的距離小4； （Ⅰ）求點的軌跡的方程； （Ⅱ）若曲線上存在兩點關于直線l:對稱，求直線的方程. 【解析】（1）結(jié)合圖形知，點不可能在軸的左側(cè)，即到點的距離等于到直線的距離的軌跡是拋物線，為焦點，為準線的軌跡方程是： （2）設則 相減得 又的斜率為－4則 中點的坐標為， 即 經(jīng)檢驗，此時，與拋物線有兩個不同的交點，滿足題意． 【點評】（1）本題的第一問利用的就是待定系數(shù)法，通過對動點的分析，發(fā)現(xiàn)它滿足拋物線的定義,所以動點的軌跡是拋物線.(2)第二小問利用了點差法，可以提高解題效率. 【反饋檢測3】已知垂直平分線與交于點. （1）求點的軌跡方程； （2）已知點， 過點且斜率為（）的直線與點的軌跡相交于兩點，直線，分別交直線于點,，線段的中點為，記直線的斜率為.求證:為定值. 方法三 代入法 使用情景 某被動點之所以在運動，是因為主動點在某曲線上運動引起的. 解題步驟 （1）先利用被動點的坐標表示主動點的坐標；（2）把動點的坐標代入它滿足的方程化簡. 【例5】已知拋物線和點，為拋物線上一點，點在線段上且，當點在該拋物線上移動時，求點的軌跡方程． 【點評】點之所以在動，就是因為點在動，所以點是被動點，點是主動點，這種情景，應該利用代入法求軌跡方程. 【反饋檢測4】 已知的頂點，頂點在拋物線上運動，求的重心的軌跡方程． 方法四 消參法 使用情景 如果動點的運動主要是由于某個參數(shù)的變化引起的. 解題步驟 （1）選參設參；（2）用這個參數(shù)表示動點的坐標，即；（3）消去參數(shù)，化簡. 【例6】已知曲線 （1）證明:當時，曲線是一個圓； （2）求證圓心在一條定直線上. 【點評】（1）此題求圓心在一定直線上，就是求動點的軌跡是一條直線；（2）圓心的運動主要是因為參數(shù)引起的，所以選用消參法解答. 【反饋檢測5】 已知線段，直線垂直平分于，在上取兩點，使有向線段滿足，求直線與的交點的軌跡方程． 高中數(shù)學常見題型解法歸納及反饋檢測第77講: 軌跡方程的求法參考答案 【反饋檢測1答案】（1）；（2）直線恒過定點． 【反饋檢測2答案】（1）；（2）. 【反饋檢測2詳細解析】由雙曲線的左、右頂點分別為得. 所以 兩式相乘得 而點在雙曲線上，所以即 故，即. （2）設，則由知，. 將代入得 ，即， 由與E只有一個交點知，，即. 同理，由與E只有一個交點知，，消去得，即，從而，即. 【反饋檢測3答案】（1）;（2）. （2）設過點（1,0），且斜率為（）的直線方程為，設點，點, 將直線方程代入橢圓： ， 整理得：， 因為點在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，恒成立， 且. 直線的方程為，直線的方程為， 令，得點，點， 所以點的坐 直線的斜率為 . 將代入上式得， . 所以為定值. 【反饋檢測4答案】 【反饋檢測5答案】 【反饋檢測5詳細解析】如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標系． 設點，則由題意，得． 由點斜式得直線的方程分別為． 兩式相乘，消去，得． 這就是所求點的軌跡方程．