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2019-2020年高考數(shù)學專題復習導練測 第八章 第6講 空間向量及其運算 理 新人教A版 一、選擇題 1．以下四個命題中正確的是 (　　)． A．空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示 B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構成空間向 量的另一組基底 C．△ABC為直角三角形的充要條件是＝0 D．任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一組基底 解析　若a＋b、b＋c、c＋a為共面向量，則a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同時為1，設μ≠1，則a＝b＋c，則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量基底矛盾． 答案　B 2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)(2b)＝－2，則x＝ (　　)． A．－4 B．－2 C．4 D．2 解析　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， ∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)． ∴(c－a)(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2. 答案　D 3．若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項中，能構成基底的一組向量是(　　)． A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 解析　若c、a＋b、a－b共面，則c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量的一組基底矛盾，故c，a＋b，a－b可構成空間向量的一組基底． 答案　C 4.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為 (　　)． A．0 　　　　 B. C. 　　　　 D. 解析　設＝a，＝b，＝c， 由已知條件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|， ＝a(c－b)＝ac－ab＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0. 答案　A 5．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是 (　　)． A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 解析　＝＋＝＋(－) ＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 答案　A 6．如圖，在大小為45的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是(　　) A. B. C．1 D. 解析 ＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝1＋1＋1－＝3－，故||＝. 答案　D 二、填空題 7. 設R，向量，且，則 解析 . 答案 8. 在空間四邊形ABCD中，＋＋＝________. 解析　如圖，設＝a，＝b，＝c， ＋＋＝a(c－b)＋b(a－c)＋c(b－a)＝0. 答案　0 9．已知ABCD－A1B1C1D1為正方體，①(＋＋)2＝32；②(－)＝0；③向量與向量的夾角是60；④正方體ABCD－A1B1C1D1的體積為||.其中正確命題的序號是________． 解析 由⊥，⊥，⊥⊥，得(＋＋)2＝3()2，故①正確；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正確；③中A1B與AD1兩異面直線所成角為60，但與的夾角為120，故③不正確；④中||＝0.故④也不正確． 答案 ①② 10．如圖，空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45，∠OAB＝60，則OA與BC所成角的余弦值等于________． 解析　設＝a，＝b，＝c. OA與BC所成的角為θ， ＝a(c－b)＝ac－ab＝a(a＋)－a(a＋)＝a2＋a－a2－a＝24－16. ∴cos θ＝＝＝. 答案　 三、解答題 11．已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足＝(＋＋)． (1)判斷、、三個向量是否共面； (2)判斷點M是否在平面ABC內． 解　(1)由已知＋＋＝3 ， ∴－＝(－)＋(－)， 即＝＋＝－－， ∴，，共面． (2)由(1)知，，，共面且基線過同一點M， ∴四點M，A，B，C共面，從而點M在平面ABC內． 12．把邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起成直二面角，點E、F分別是AD、BC的中點，點O是原正方形的中心，求： (1)EF的長； (2)折起后∠EOF的大?。? 解 如圖，以O點為原點建立空間直角坐標系O－xyz，則A（0，－a,0）， B（a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，－a，a）， F（a，a,0）. (1)||2＝2＋2＋2＝a2，∴|EF|＝a. (2)＝，＝， ＝0a＋＋a0＝－， ||＝，||＝，cos〈，〉＝＝－， ∴∠EOF＝120. 13．如圖，已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.求證：B、G、N三點共線． 證明　設＝a，＝b，＝c，則 ＝＋＝＋ ＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋(＋) ＝－a＋b＋c＝. ∴∥，即B、G、N三點共線． 14．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB、AD、CD的中點，計算： (1)；(2)；(3)EG的長； (4)異面直線AG與CE所成角的余弦值． 解　設＝a，＝b，＝c. 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60， (1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c， ＝(－a)＝a2－ac＝， (2)＝(c－a)(b－c) ＝(bc－ab－c2＋ac)＝－； (3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－ab＋bc－ca＝，則||＝. (4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a， cos〈，〉＝＝－， 由于異面直線所成角的范圍是(0，90]， 所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.