2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)二試題
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碩博考研 www.edufzu.com12009 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:1~8 小題,每小題 4 分,共 32 分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).(1 )函數(shù) 的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù),則( D)??3sinxf??1. 2. 3. 無窮多個(gè).AB??C??(2 )當(dāng) 時(shí), 與 是等價(jià)無窮小,則( )0x???sifxax?2ln1gbx??. . . .??1,6ab?1,6b??,6a??D1,6ab??(3 )設(shè)函數(shù) 的全微分為 ,則點(diǎn) ( )??zfxydzxy?0不是 的連續(xù)點(diǎn). 不是 的極值點(diǎn). ??A,??B?,f是 的極大值點(diǎn). 是 的極小值點(diǎn).CfxyDxy(4 )設(shè)函數(shù) 連續(xù),則 ( )??, ????22411, ,yxdfdfxd?????. . A241,xdfy??B241,xf?. .??C????D??y?(5 ) 若 不變號,且曲線 在點(diǎn) 上的曲率圓為 ,則 在區(qū)fx? yfx?,2xy????fx間 內(nèi)( )??1,2有極值點(diǎn),無零點(diǎn). 無極值點(diǎn),有零點(diǎn). A??B有極值點(diǎn),有零點(diǎn). 無極值點(diǎn),無零點(diǎn).??CD(6 )設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上的圖形為:??yfx???1,3?碩博考研 www.edufzu.com2則函數(shù) 的圖形為( )??0xFftd????D. . ??A()f0 2 3 x1-2 -11 ??B()fx0 2 3 x1-2 -11. .??C()fx0 2 3 x1-1 1 ??D()fx0 2 3 x1-2 -11(7 ) 設(shè) 、 均為 2 階矩陣, 分別為 、 的伴隨矩陣。若 ,則分塊AB*AB, A=B,矩陣 的伴隨矩陣為( )0??????. . ??A*320??B*03A??????1()fx-2 0 2 3 x-1O碩博考研 www.edufzu.com3. .??C*03A2B????????D*02A3B??????(8 )設(shè) 均為 3 階矩陣, 為 的轉(zhuǎn)置矩陣,且 ,若P, TPT10P=2??????,則 為( )=Q=+??123123( , , ) , ( , , ) QAT. . ??A0????????B0??????. .??C201????????D102??????二、填空題:9-14 小題,每小題 4 分,共 24 分,請將答案寫在答題紙指定位置上.(9 )曲線 在 處的切線方程為 2-x=0ln()utedytt???????( , 0)(10 )已知 ,則 +1kxe????(11 ) nlimsi0xd??(12 )設(shè) 是由方程 確定的隱函數(shù),則 ()y?y1ex??2x=0dy(13 )函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值為 2x??0,(14)設(shè) 為 3 維列向量, 為 的轉(zhuǎn)置,若矩陣 相似于 ,則 ??, T?T??20??????T=??碩博考研 www.edufzu.com420??????三、解答題:15-23 小題,共 94 分. 請將解答寫在答題紙指定的位置上. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15 ) (本題滿分 9 分)求極限 ????401cosln(1ta)limixxx???(16 ) (本題滿分 10 分)計(jì)算不定積分 l()dx?(0)?(17 ) (本題滿分 10 分)設(shè) ,其中 具有 2 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求 與??,zfxy???f dz2zxy?(18 ) (本題滿分 10 分)設(shè)非負(fù)函數(shù) 滿足微分方程 ,當(dāng)曲線 過原點(diǎn)時(shí),其??x??0?20xy??????yx??與直線 及 圍成平面區(qū)域 的面積為 2,求 繞 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。1yD(19 ) (本題滿分 10 分)求二重積分 ,??xyd?其中 ??????22,1,Dxyy?????(20 ) (本題滿分 12 分)設(shè) 是區(qū)間 內(nèi)過 的光滑曲線,當(dāng) 時(shí),曲線上任一點(diǎn)處()-?( , ) -2?( , ) -0x??的法線都過原點(diǎn),當(dāng) 時(shí),函數(shù) 滿足 。求 的表達(dá)式0x??()yxy???()y(21 ) (本題滿分 11 分)(Ⅰ)證明拉格朗日中值定理:若函數(shù) 在 上連續(xù),在 可導(dǎo),則存在??f??,ab??,ab,使得??,ab????fa?????(Ⅱ)證明:若函數(shù) 在 處連續(xù),在 內(nèi)可導(dǎo),且 ,則x0??0,????0limxfA????碩博考研 www.edufzu.com5存在,且 。??0f????0fA???(22 ) (本題滿分 11 分)設(shè) ,142???????1?????????(Ⅰ)求滿足 的所有向量22131,A???3,(Ⅱ)對(Ⅰ)中的任一向量 ,證明: 線性無關(guān)。2,12?(23 ) (本題滿分 11 分)設(shè)二次型 ????223 3123,fxaxxx????(Ⅰ)求二次型 的矩陣的所有特征值;f(Ⅱ)若二次型 的規(guī)范形為 ,求 的值。21y?碩博考研 www.edufzu.com62008 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:1~8 小題,每小題 4 分,共 32 分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).(1 )設(shè) ,則 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )2()1)(fxx??'()fx0 1. 2 3??A??B??C?D(2 )曲線方程為 函數(shù)在區(qū)間 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則定積分 ( )()yfx[0,]a0()atfxd?曲邊梯形 ABOD 面積.??梯形 ABOD 面積.B曲邊三角形 面積.??CAD三角形 面積.(3 )在下列微分方程中,以 ( 為任意常數(shù))為通解123cosin2xyCeCx??123,C的是( )??A'''40y????B'''40yy??C'''y?D'''?(5 )設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)單調(diào)有界, 為數(shù)列,下列命題正確的是( )()fx,)????nx若 收斂,則 收斂. 若 單調(diào),則 收斂.??A??n?(nf??B??()nfx碩博考研 www.edufzu.com7若 收斂,則 收斂. 若 單調(diào),則 收斂.??C??()nfx?nx??D??()nfx?nx(6 )設(shè)函數(shù) 連續(xù),若 ,其中區(qū)域 為圖中陰影部分,則f 2()(,)uvDfxyFd???uvDFu????A2()vf??B2()vfuC(7 )設(shè) 為 階非零矩陣, 為 階單位矩陣. 若 ,則( )AnEn30A?不可逆, 不可逆. 不可逆, 可逆.??E????B?E?可逆, 可逆. 可逆, 不可逆. CD(8 )設(shè) ,則在實(shí)數(shù)域上與 合同的矩陣為( )12A???????A. .??12???B21???????. . C??????D21二、填空題:9-14 小題,每小題 4 分,共 24 分,請將答案寫在答題紙指定位置上.(9 ) 已知函數(shù) 連續(xù),且 ,則 .()fx20cos[()]lim1(xfe???(0)_f(10 )微分方程 的通解是 .2xyedy??y(11 )曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 .??sinl???0,1??碩博考研 www.edufzu.com8(12 )曲線 的拐點(diǎn)坐標(biāo)為______.23(5)yx??(13 )設(shè) ,則 .z??????(1,2)_z??(14 )設(shè) 3 階矩陣 的特征值為 .若行列式 ,則 .A,3?248A??_?三、解答題:15-23 小題,共 94 分. 請將解答寫在答題紙指定的位置上. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分 9 分)求極限 .??40sinsinlmxx?????(16)(本題滿分 10 分)設(shè)函數(shù) 由參數(shù)方程 確定,其中 是初值問題()yx?20()ln1tyud???????()xt的解.求 .02xtde??????2x?(17)(本題滿分 9 分)求積分 .120arcsinxd??(18)(本題滿分 11 分)求二重積分 其中max(,),Dy?{(,)02,}Dxyy??(19)(本題滿分 11 分)設(shè) 是區(qū)間 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù),且 .對任意的()f??0,??(0)1f?,直線 ,曲線 以及 軸所圍成的曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周生成??0,t??xt?()yfx?x一旋轉(zhuǎn)體.若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的 2 倍,求函數(shù) 的表達(dá)式.()f(20)(本題滿分 11 分)(1) 證明積分中值定理:若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),則至少存在一點(diǎn) ,()fx[,]ab[,]ab??使得 ()()bafxdfba????碩博考研 www.edufzu.com9(2)若函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù),且滿足 ,證明至少存在一點(diǎn)()x?32(2)1,()()xd????(1,3)0?????使 得(21 ) (本題滿分 11 分)求函數(shù) 在約束條件 和 下的最大值與最小值.22uxyz??2zxy??4z?(22 ) (本題滿分 12 分) 設(shè)矩陣 ,現(xiàn)矩陣 滿足方程 ,其中 ,221naAa?????????? ? AXB???1,Tnx?,??1,0B?(1 )求證 ;1nA??(2 ) 為何值,方程組有唯一解,并求 ;a1x(3 ) 為何值,方程組有無窮多解,并求通解 .( 23) (本題滿分 10 分)設(shè) 為 3 階矩陣, 為 的分別屬于特征值 特征向量,向量 滿足A12,?A,1?3?,32???(1 )證明 線性無關(guān);13,(2 )令 ,求 .??2P?1PA?碩博考研 www.edufzu.com102007 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:1~10 小題,每小題 4 分,共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).(1 )當(dāng) 時(shí),與 等價(jià)的無窮小量是0x??x(A) (B) (C ) (D ) [ ]e?1ln?1x??1cosx(2 )函數(shù) 在 上的第一類間斷點(diǎn)是 [ ]1()ta)exf??????????,??(A)0 (B)1 (C ) (D )2??2?(3 )如圖,連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的圖形分別是直徑為 1 的上、下半圓()yfx???3,,周,在區(qū)間 的圖形分別是直徑為 2 的下、上半圓周,設(shè) ,則??2,0? 0()()dxFft??下列結(jié)論正確的是:碩博考研 www.edufzu.com11(A) (B) 3()(2)4F??5(3)(2)4F?(C ) (D) [ ]?(4 )設(shè)函數(shù) 在 處連續(xù),下列命題錯(cuò)誤的是:()fx0(A)若 存在,則 (B)若 存在,則 .0limx?()f?0()limxfx??(0)f?(C )若 存在,則 (D)若 存在,則 .()f0? ??[ ](5 )曲線 的漸近線的條數(shù)為??1lnexy??(A)0. (B )1. (C)2. (D)3. [ ](6 )設(shè)函數(shù) 在 上具有二階導(dǎo)數(shù),且 ,令 ,則下列結(jié)論正確()f0,)?()0fx??()nuf?的是: (A) 若 ,則 必收斂. (B) 若 ,則 必發(fā)散 12u???nu12u??n(C) 若 ,則 必收斂. (D) 若 ,則 必發(fā)散. [ ]??u(7 )二元函數(shù) 在點(diǎn) 處可微的一個(gè)充要條件是 [ ](,)fxy??0,(A) .????(,)0,limxyf???(B) .0 0(,)(,)(,0)li ,limx yf ff???且(C ) .??2(,)0,()(,)lixyffx????碩博考研 www.edufzu.com12(D) .0 0lim(,)(0,),lim(,)(0,)xx yyffff???????? ??????????且(8 )設(shè)函數(shù) 連續(xù),則二次積分 等于y1sin2ddx??(A) (B)10arcsind(,)dyfx??? 0arcsin(,)dyfx???(C ) (D)2? 12?(9 )設(shè)向量組 線性無關(guān),則下列向量組線性相關(guān)的是13,?線性相關(guān),則(A) (B) 1231,,??1231,,????(C) . (D) . [ ]22(10 )設(shè)矩陣 ,則 與 01,12AB???????????????AB(A) 合同且相似 (B )合同,但不相似.(C) 不合同,但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ]二、填空題:11~16 小題,每小題 4 分,共 24 分. 把答案填在題中橫線上 .(11 ) __________.30arctnsilimxx???(12 )曲線 上對應(yīng)于 的點(diǎn)處的法線斜率為_________.2o1sitty????4t?(13 )設(shè)函數(shù) ,則 ________.3x?()0ny?(14 ) 二階常系數(shù)非齊次微分方程 的通解為 ________.23exy???y?(15 ) 設(shè) 是二元可微函數(shù), ,則 __________.(,)fuv,zf??????z??(16 )設(shè)矩陣 ,則 的秩為 . 01A???????3A三、解答題:17~24 小題,共 86 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.碩博考研 www.edufzu.com13(17 ) (本題滿分 10 分)設(shè) 是區(qū)間 上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù),且滿足 ,)fx0,4??????? ()100cosinddfxxttt??????其中 是 的反函數(shù),求 .1f?()fx(18 ) (本題滿分 11 分)設(shè) 是位于曲線 下方、 軸上方的無界區(qū)域.D2(1,0)xay???????x(Ⅰ)求區(qū)域 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積 ;(Va(Ⅱ)當(dāng) 為何值時(shí), 最???并求此最小值.a()V(19 ) (本題滿分 10 分)求微分方程 滿足初始條件 的特解.2()yxy????(1)y??(20 ) (本題滿分 11 分)已知函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù),且 ,函數(shù) 由方程 所確定,()fu(0)f?()yx1eyx??設(shè) ,求 .??lnsizfyx??200d,xxz??(21 ) (本題滿分 11 分)設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù),在 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值,,(fg??,ab(,)ab,證明:存在 ,使得 .())fa???()fg????(22 ) (本題滿分 11 分)設(shè)二元函數(shù) ,計(jì)算二重積分 ,其22,||11(, 2xyfxyxy???????? D(,)dfxy??中 .????,||D???(23 ) (本題滿分 11 分) 設(shè)線性方程組 與方程 有公共解,求 的值及所有12312304xax??????1231xa???a公共解.碩博考研 www.edufzu.com14(24 ) (本題滿分 11 分)設(shè)三階對稱矩陣 的特征向量值 , 是 的屬于 的A123,,???T1(,)??A1?一個(gè)特征向量,記 ,其中 為 3 階單位矩陣 . 534BE???(I)驗(yàn)證 是矩陣 的特征向量,并求 的全部特征值與特征向量;1?B(II)求矩陣 .- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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