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2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 專題突破訓練 導數(shù)及其應用 理 1、（xx北京高考）已知函數(shù)． （Ⅰ）求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）求證：當時，； （Ⅲ）設(shè)實數(shù)使得對恒成立，求的最大值． 2、（xx北京高考）已知函數(shù)， （1） 求證：； （2） 若在上恒成立，求的最大值與的最小值. 3、（xx北京高考）設(shè)L為曲線C：在點(1,0)處的切線． (1)求L的方程； (2)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線L的下方． 4、（朝陽區(qū)xx高三一模）已知函數(shù) （1）當a = ?1時，求函數(shù) f (x)的最小值； （2）當a≤1時，討論函數(shù) f (x)的零點個數(shù)。 5、（東城區(qū)xx高三二模）已知函數(shù)． （Ⅰ）當時，求在區(qū)間上的最小值； （Ⅱ）求證：存在實數(shù)，有. 6、（房山區(qū)xx高三一模）已知，其中． (Ⅰ)若函數(shù)在點處切線斜率為，求的值； (Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間； (Ⅲ)若在上的最大值是，求的取值范圍． 7、（豐臺區(qū)xx高三一模）設(shè)函數(shù)，． （Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證： ； （Ⅲ）當時，求函數(shù)在上的最大值． 8、（海淀區(qū)xx高三二模）已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的零點及單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）求證：曲線存在斜率為6的切線，且切點的縱坐標. 9、（石景山區(qū)xx高三一模）已知函數(shù)． (Ⅰ)若，求函數(shù)的極值； (Ⅱ)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅲ)若存在，使得成立，求的取值范圍． 10、（西城區(qū)xx高三一模）設(shè)n∈N*，函數(shù)，函數(shù)，x∈(0，+∞)， （1）當n =1時，寫出函數(shù) y = f (x) ?1零點個數(shù)，并說明理由； （2）若曲線 y = f (x)與曲線 y = g(x)分別位于直線l : y =1的兩側(cè)，求n的所有可能取值。 11、（北京四中xx高三上學期期中）已知函數(shù) （Ⅰ）若為的極值點，求實數(shù)a的值； （Ⅱ）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍. 12、（朝陽區(qū)xx高三上學期期中）已知函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; （Ⅱ）若在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍. 13、（東城區(qū)示范校xx高三上學期綜合能力測試）已知定義在上的函數(shù)，。 （I）求證：存在唯一的零點，且零點屬于（3，4）； （II）若且對任意的恒成立，求的最大值。 14、（昌平區(qū)xx高三上學期期末）已知函數(shù)f (x) ＝ln x－a2x2＋ax (a∈)． ( I ) 當a＝1時，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間； ( II ) 若函數(shù)f (x)在區(qū)間 (1，＋∞)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 15、（朝陽區(qū)xx高三上學期期末）設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）設(shè)為的導函數(shù)，當時，函數(shù)的圖象總在的圖象的上方，求的取值范圍． 16、（大興區(qū)xx高三上學期期末）已知. （Ⅰ）若，求在處的切線方程； （Ⅱ）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出函數(shù)是否存在最大值或最小值． 參考答案 1、解析:（Ⅰ） 因為，所以 ， ． 又因為，所以曲線在點處的切線方程為． （Ⅱ）令， 則． 因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以,, 即當時，． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，對恒成立． 當時，令，則 ． 所以當時，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減． 當時，，即． 所以當時，令并非對恒成立． 綜上可知，的最大值為． 2、⑴證明：， 時，，從而在上單調(diào)遞減， 所以在上的最大值為， 所以. ⑵法一： 當時，“”等價于“”；“”等價于“”， 令，則. 當時，對任意恒成立. 當時，因為對任意，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.從而對任意恒成立. 當時，存在唯一的，使得， 且當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減。所以。 進一步，“對任意恒成立”當且僅當，即. 綜上所述，當且僅當時，對任意恒成立； 當且僅當時，對任意恒成立. 所以，若對任意恒成立，則的最大值為，的最小值為. 法二： 令， 則，由⑴知，， 故在上單調(diào)遞減，從而的最小值為， 故，的最大值為. 的最小值為，下面進行證明： ，，則， 當時，，在上單調(diào)遞減，從而， 所以，當且僅當時取等號. 從而當時，.故的最小值小于等于。 若，則在上有唯一解，且時，， 故在上單調(diào)遞增，此時, 與恒成立矛盾，故， 綜上知：的最小值為. 3、解：(1)設(shè)，則. 所以f′(1)＝1. 所以L的方程為y＝x－1. (2)令g(x)＝x－1－f(x)，則除切點之外，曲線C在直線L的下方等價于g(x)＞0(x＞0，x≠1)． g(x)滿足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝. 當0＜x＜1時，x2－1＜0，ln x＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)單調(diào)遞減； 當x＞1時，x2－1＞0，ln x＞0，所以g′(x)＞0，故g(x)單調(diào)遞增． 所以，g(x)＞g(1)＝0(x＞0，x≠1)． 所以除切點之外，曲線C在直線L的下方． 4、 5、解：（Ⅰ）當時，，. 因為， 由，. 則，， 關(guān)系如下： ↘ 極小值 ↗ 所以當時，有最小值為. ………5分 （Ⅱ）“存在實數(shù)，有”等價于的最大值大于. 因為， 所以當時，，，在上單調(diào)遞增， 所以的最大值為. 所以當時命題成立. 當時，由得. 則時，，， 關(guān)系如下： （1）當時 ， ，在上單調(diào)遞減， 所以的最大值. 所以當時命題成立. （2）當時， ， 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 所以的最大值為或. 且與必有一成立， 所以當時命題成立. （3） 當時 ，， 所以在上單調(diào)遞增， 所以的最大值為. 所以當時命題成立. 綜上：對任意實數(shù)都存在使成立. ……13分 6、解：(Ⅰ)由題意得f ′(x)＝，x∈(－1，＋∞)， 由f ′(3)＝0?a＝． ………………3分 (Ⅱ)令f ′(x)＝0?x1＝0，x2＝－1， ①當01時，－11，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,0)． f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－1，－1)，(0，＋∞)． 當a＝1時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，＋∞)． ………………9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 當0f(0)＝0，所以0 0時，在區(qū)間[3，+∞)上恒成立． 令，其對稱軸為 ∵a > 0，∴，從而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可， 由，解得： ∵a > 0，∴． 13分 綜上所述，a的取值范圍為[0，] 14分 12、(Ⅰ) 的定義域為. . （1）當時，，則，時，為增函數(shù)； （2）當時，由得，或，由于此時， 所以時,為增函數(shù)，時，為增函數(shù)； 由得，，考慮定義域，當，為減函數(shù)， 時，為減函數(shù)； （3）當時，由得，或，由于此時，所以 當時，為增函數(shù)，時，為增函數(shù). 由得，，考慮定義域，當,為減函數(shù)， 時，為減函數(shù). 綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,. 當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，, 單調(diào)減區(qū)間為，. 當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， 單調(diào)減區(qū)間為，. ……………………….7分 （Ⅱ）解： （1） 當時，由(Ⅰ) 可得，在單調(diào)增，且時. （2） 當時，即時，由(Ⅰ) 可得，在單調(diào)增，即在單調(diào)增，且時. (3)當時，即時，由(Ⅰ) 可得，在上不具有單調(diào)性，不合題意. (4)當，即時，由(Ⅰ) 可得，在為減函數(shù)，同時需注意，滿足這樣的條件時在單調(diào)減，所以此時或. 綜上所述，或或. ……………………….14分 13、解：（I），，則， 故在上單調(diào)遞增，（3分） 而， 所以存在唯一的零點。（6分） （II）由（I）存在唯一的零點顯然滿足：， 且當時，；當時，， 當時，等價于， 設(shè)。 則，故與同號，因此當時，； 當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（10分） 故， 由題意有，又，而，故的最大值是3。（13分） 14、解：（Ⅰ）當時，，定義域是. ， 由，解得；由，解得； 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. …………………5分 （Ⅱ）（法一） 因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在上恒成立， 則，即在上恒成立. …………………7分 ① 當時，，所以不成立. …………………9分 ② 當時，，，對稱軸. ，即，解得 所以實數(shù)a的取值范圍是. …………………13分 （法二），定義域是. ①當時，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以不成立. …………………8分 ②時， 令，即，則， …………………9分 （i）當時，由，解得， 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是. 因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，+所以，解得. …………………11分 （ii）當時，由，解得， 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是. 因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，解得. 綜上實數(shù)a的取值范圍是. …………………13分 15、（Ⅰ）解：當時，． 由得，解得或； 由得，解得． 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,，單調(diào)減區(qū)間為． ……………..5分 （Ⅱ）因為， 又因為函數(shù)的圖象總在的圖象的上方， 所以，即在恒成立． 又因為，所以，所以． 又，所以． 設(shè)，則 即可． 又．由，注意到，解得； 由，注意到，解得． 所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減． 所以的最小值為或． 因為，，作差可知， 所以． 所以的取值范圍是． ……………..13分 16、（Ⅰ）當時，， …………2分 ， …………3分 所以直線方程為， 即 …………4分 （Ⅱ）= 其中， …………2分 令，得 1） 當，即時， 小于0 等于0 大于0 小于0 遞減 極小值 遞增 遞減 的增區(qū)間是 ，減區(qū)間是和，當時，取得極小值。又時，，所以有最小值； …………6分 2） 當時，的減區(qū)間是和，無最大值和最小值。 …………7分 3）當時，的增區(qū)間是 ，減區(qū)間是和，當時，取得極大值。又時，，所以有最大值。 …………9分