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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十六 算法、復(fù)數(shù)、推理與證明（含解析） 抓住4個(gè)高考重點(diǎn) 重點(diǎn)1 程序框圖與基本算法語句 1．程序框圖 （1）概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形． （2）基本的程序框和它們各自表示的功能如下表： （3）程序框圖的三種基本結(jié)構(gòu) (i)順序結(jié)構(gòu) 順序結(jié)構(gòu)是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)， 其結(jié)構(gòu)形式如圖所示. (ii)條件結(jié)構(gòu) 在一個(gè)算法中，經(jīng)常會(huì)遇到一些條件的判斷，算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向，這種先根據(jù)條件作出判斷，再?zèng)Q定執(zhí)行哪一種操作的結(jié)構(gòu)稱為條件結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)形式如圖甲、乙所示： (iii)循環(huán)結(jié)構(gòu) 在一些算法中，要求重復(fù)執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)，即從算法某處開始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟的情況．反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體． 循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)． 其結(jié)構(gòu)形式分別如圖所示： 2．基本算法語句 （1）輸入語句、輸出語句和賦值語句 (i)輸入語句、輸出語句與賦值語句的一般格式 a．輸入語句的一般格式是 INPUT “提示內(nèi)容”；變量 b．輸出語句的一般格式是 PRINT “提示內(nèi)容”；表達(dá)式 IF 條件 THEN 語句體1 ELSE 語句體2 END IF c．賦值語句的一般格式是 變量=表達(dá)式 (ii)輸入語句、輸出語句與賦值語句的功能 a．INPUT語句的功能是對(duì)程序中的變量通過鍵盤賦值． b．PRINT語句的功能是輸出表達(dá)式的值． （2）條件語句 (i)算法中的條件結(jié)構(gòu)由條件語句來表達(dá)，條件語句的一般格式是 當(dāng)計(jì)算機(jī)執(zhí)行IF語句時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合， 就執(zhí)行THEN后的語句體1，否則執(zhí)行ELSE后的語句體2 . IF 條件 THEN 語句體 END IF (ii)條件語句還有一種比較簡(jiǎn)單的格式： 當(dāng)計(jì)算機(jī)執(zhí)行上述語句時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合， 就執(zhí)行THEN后的語句體，否則執(zhí)行END IF后的語句． （3）循環(huán)語句 算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)的，對(duì)應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)， 一般程序設(shè)計(jì)語言中也有當(dāng)型( WHILE)和直到型(UNTIL)兩種語句，即WHILE語句和UNTIL語句. WHILE 條件 循環(huán)體 WEND (i) WHILE語句的一般格式是 當(dāng)計(jì)算機(jī)執(zhí)行WHILE語句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè)過程反復(fù)執(zhí)行，直到某一次條件不符合為止，這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句．因此當(dāng)型循環(huán)有時(shí)也稱為“前測(cè)試型”循環(huán)． DO 循環(huán)體 LOOP UNTIL 條件 (ii) UNTIL語句的一般格式是 當(dāng)計(jì)算機(jī)執(zhí)行UNTIL語句時(shí)，先執(zhí)行DO后面的循環(huán)體，接著執(zhí)行LOOP UNTIL語句，對(duì)該語句中的條件進(jìn)行判斷，如果不滿足條件，就再去執(zhí)行循環(huán)體，直到條件滿足時(shí)， 退出循環(huán)去執(zhí)行LOOP UNTIL后面的語句． [高考?？冀嵌萞 角度1 閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的i的值為（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 解析：本題主要考查考生對(duì)程序框圖的識(shí)圖能力． 因?yàn)樵摮绦蚩驁D執(zhí)行4次后結(jié)束，所以輸出的i的值等于4．故選B 在求解輸出結(jié)果的循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖試題時(shí)，要把變量的變化規(guī)律弄清楚，按照其變化規(guī)律 逐步進(jìn)行計(jì)算，直到根據(jù)判斷條件結(jié)束循環(huán). 角度2 某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內(nèi)為（ ） A． B． C． D． 解析：本題考查程序框圖，第一次執(zhí)行后，k=2，S=2 +2 =4； 第二次執(zhí)行后，k=3，S=8 +3 =11；第三次執(zhí)行后，k=4，S=22 +4=26； 第四次執(zhí)行后，k=5，S=52 +5=57，此時(shí)結(jié)束循環(huán)，故判斷框內(nèi)填“k>4?”．故選A 角度3 運(yùn)行如圖所示的程序，輸出的結(jié)果是_______. 解析：本題主要考查基本算法語句．a(chǎn)=l，b=2， 把1與2的和賦給a，即a=3，輸出的結(jié)果是3． 賦值語句是最重要的一種基本語句，也是一個(gè)程序必不可少的重要 組成部分，使用賦值語句時(shí)，一定要注意其格式要求， 如：賦值號(hào)左邊只能是變量而不能是表達(dá)式；賦值號(hào)左右兩邊不能對(duì)換；不能利用賦值語句進(jìn)行代數(shù)式計(jì)算等． 重點(diǎn)2 復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算 1．解答復(fù)數(shù)的概念問題的方法 （1）復(fù)數(shù)相等：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等． 如果，那么，特別地， （2）共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等、虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)． 設(shè)復(fù)數(shù)，則它的共軛復(fù)數(shù)為 （3）復(fù)數(shù)的模：的模，也就是復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即向量的模， 其計(jì)算公式為顯然， （4）復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)的集合是等價(jià)的． 2．復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算技巧 （1）其中，由此可以看出i的運(yùn)算具有周期性，其周期為4 （2），對(duì)于含有或這樣式子的高次乘方運(yùn)算，可通過上述恒等式，轉(zhuǎn)化成右邊的形式，再進(jìn)行運(yùn)算． 復(fù)數(shù)的除法一般是將分母實(shí)數(shù)化，即分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再進(jìn)一步化簡(jiǎn)． [高考?？冀嵌萞 角度1 設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)為（ ） A. 2 B. C. D. 解析：方法一，設(shè)，則，所以.故選A. 方法二，為純虛數(shù)，所以 角度2 為正實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，，則（ ） A．2 B． C． D．1 解析：，故選B. 重點(diǎn)3 歸納推理與類比推理 1．歸納推理的一般步驟 （1）通過觀察個(gè)別事物發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)； （2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題． 一般情況下，歸納的個(gè)別事物越多，越具有代表性，推廣的一般性結(jié)論也就越可靠． 2．類比推理的一般步驟 （1）找出兩類事物之間的相似性或一致性； （2）用一類事物的性質(zhì)推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的結(jié)論． [高考常考角度] 角度1 設(shè)函數(shù)，觀察： ，，，，…… 根據(jù)上述事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)，且時(shí)， 。 解析：方法一，，， ，以此類推可得。 答案： 方法二：本題考查歸納推理，考查由特殊示例歸納為一般結(jié)論的能力． 根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項(xiàng)依次是2，4，8，16，…，x的系數(shù)依次是l，3，7，15，…， 則的分母中常數(shù)項(xiàng)為的系數(shù)為，故 點(diǎn)評(píng)：歸納推理的關(guān)鍵是合乎情理，在推理的過程中要充分利用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)推理的過程和結(jié)論進(jìn)行適時(shí)的調(diào)整，使推理得到的結(jié)論具有可靠性，當(dāng)然，歸納推理所得到的結(jié)論有待進(jìn)一步檢驗(yàn)或論證． 角度2 在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為，則它們的面積比為，類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為，則它們的體積比為________. 解析：本題考查類比推理，在平面幾何中，面積比為相似比的平方； 在立體幾何中，體積比為相似比的立方．由類比推理得， 若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1：2，則它們的體積比為1：8． 下面通過計(jì)算來驗(yàn)證． 假設(shè)兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)分別為1和2，如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1， 取BC的中點(diǎn)為，連結(jié)，作于，則 又在Rt△AOD中， 則 同理可得棱長(zhǎng)為2的正四面體的體積為, 類比推理是合情推理中的一類重要推理，強(qiáng)調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；也可以，由解題方法上的類似引起，當(dāng)然首先要在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比，本題即屬于此類．一般來說，高考中的類比問題多發(fā)生在橫向與縱向類比上，如圓錐曲線中橢圓與雙曲線等的橫向類比以及平面與空間中三角形與三棱錐的縱向類比等. 重點(diǎn)4 數(shù)學(xué)歸納法 1．利用數(shù)學(xué)歸納法解決問題的步驟是：試值猜想證明， 基本形式為：設(shè)是—個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果 ①當(dāng)時(shí)，成立； ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，由此推得當(dāng)時(shí)，也成立， 那么，根據(jù)①②知對(duì)一切正整數(shù)時(shí)，成立． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)需要注意的問題 （1）上述兩個(gè)步驟缺一不可，第一步是驗(yàn)證命題遞推關(guān)系的基礎(chǔ)，沒有第一步，第二步就毫無意義； （2）第二步中在證明“當(dāng)時(shí)命題成立”時(shí)，必須利用“當(dāng)時(shí)命題成立”這一條件； （3）在第二步的證明中，“當(dāng)時(shí)命題成立”相當(dāng)于已知條件，而“當(dāng)時(shí)命題成立”則是要求證的結(jié)果. 因此在證明時(shí)，一般要先湊出歸納假設(shè)里給出的形式，然后再利用題給關(guān)系，湊出當(dāng)時(shí)的結(jié)論. [高考常考角度] 角度1已知的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)。 （1）求證：是有理數(shù)； （2）求證：對(duì)任意正整數(shù)是有理數(shù). 解析：本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力. 證明：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知 是有理數(shù). （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明和都是有理數(shù). ①當(dāng)時(shí)，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù). ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，和都是有理數(shù). 當(dāng)時(shí)，由， ， 由①和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù). 即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立. 綜合①、②可知，對(duì)任意正整數(shù)是有理數(shù). 角度2已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，， 證明：存在常數(shù),使得對(duì)于任意的，都有. 解析：（I）由知，，而，且， 則為的一個(gè)零點(diǎn)，且在內(nèi)有零點(diǎn)，因此至少有兩個(gè)零點(diǎn) 解法1：，記，則。 當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。 又因?yàn)?，則在內(nèi)有零點(diǎn)，所以在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。記此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)； 從而在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。 解法2：，記，則. 當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。因此在內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn)， 綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。 （II）記的正零點(diǎn)為，即。 （1）當(dāng)時(shí)，由，即.而，因此，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時(shí)，顯然成立； ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由 知，，因此，當(dāng)時(shí)，成立。 故對(duì)任意的，成立。 （2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時(shí)，顯然成立； ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立， 則當(dāng)時(shí)，由 知，，因此，當(dāng)時(shí)，成立。 故對(duì)任意的，成立。 綜上所述，存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有. 突破2個(gè)高考難點(diǎn) 難點(diǎn)1 算法與其他知識(shí)的交匯 解決算法與方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)交匯的綜合問題，其關(guān)鍵之處就是要熟悉所給算法的功能，并由此轉(zhuǎn)化為方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)等相關(guān)的問題，這樣就可以解決問題了. 典例1 如圖所示，給出了一個(gè)程序框圖，其作用是 輸入的值，輸出相應(yīng)的值．若要使輸入的的值與輸出的值相等， 則這樣的的值有（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：這是一個(gè)用條件分支結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的算法，該程序框圖所表示的算法的作用 是求分段函數(shù) 的函數(shù)值． （1）當(dāng)時(shí)，令； （2）當(dāng)時(shí)，令； （3）當(dāng)時(shí)，令（舍去），故有3個(gè)值符合題意，故選C． 本題是一個(gè)分段函數(shù)與條件分支結(jié)構(gòu)相結(jié)合的問題，綜合了函數(shù)、方程等知識(shí)，解決此類問題的難點(diǎn)在于確定由條件分支結(jié)構(gòu)給出的分段函數(shù)模型．突破該難點(diǎn)的關(guān)鍵在于根據(jù)判斷框確定分段的依據(jù)，根據(jù)流程線的方向確定其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．另外在求解方程時(shí)，應(yīng)該注意解析式成立的前提，即自變量取值范圍的限制. 典例2 隨機(jī)抽取某產(chǎn)品件，測(cè)得其長(zhǎng)度分別為 則如圖所示的程序框圖輸出的__________________， 表示的樣本的數(shù)字特征是___________. 解析：由程序框圖得 輸出的 所以表示的是樣本的平均數(shù) 典例3 如圖所示的程序框圖，最后輸出的的值是______. 解析：由題意得，當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，不成立； 當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)成立. 所以的值是5 本題是一道算法與不等式交匯的綜合問題，求解的難點(diǎn)在于如何根據(jù)程序框圖 確定符合條件的的值．解決這一難點(diǎn)的方法是：逐個(gè)取的值，判斷是否成立， 第一個(gè)使成立的的值就是符合條件的的值． 難點(diǎn)2 反證法的應(yīng)用技巧 反證法是一種反設(shè)結(jié)論導(dǎo)出矛盾的證明方法，其難點(diǎn)就是如何反設(shè)結(jié)論和導(dǎo)出矛盾，破解的方法是：反設(shè)的結(jié)論就是新的已知條件，和題目中的其他已知條件一起進(jìn)行推理，通過對(duì)題目具體情況的分析找到導(dǎo)出矛盾的方向. 典例1 已知求證： （1） （2）中至少有一個(gè)不小于． 解析：（1）因?yàn)樗? （2）假設(shè)都小于，即 則 由同向不等式性質(zhì)，得這與矛盾， 故原命題結(jié)論成立，即中至少有一個(gè)不小于 典例2 已知若在上的最大值為最小值為. 求證： 且 解析：（1）當(dāng)時(shí)，由，得，顯然． 由題意得在上是單調(diào)函數(shù)，所以的最大值為，最小值為． 由已知條件得與相矛盾，所以 （2）當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，知在上是單調(diào)函數(shù)， 故其最值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得．所以 或 又，則此時(shí)無解，所以 由（1）（2）得 且 證明本題的難點(diǎn)：一是正確寫出結(jié)論的否定形式；二是當(dāng)結(jié)論的反面不是一種情況時(shí)，該如何證明，破解第一個(gè)難點(diǎn)，必須熟知命題“且”的否定是命題“或"．對(duì)本題而言，結(jié)論“ 且 ”的否定形式是” 或 ” 破解第二個(gè)難點(diǎn)，分 及進(jìn)行討論，并逐一推出矛盾. 規(guī)避4個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 條件結(jié)構(gòu)中對(duì)條件的判斷不準(zhǔn) 典例 運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值的范圍是， 則輸入的的范圍是__________ 易失分提示：本題容易出錯(cuò)的地方有兩個(gè)： 一是不清楚判斷條件和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如把時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式 寫成或； 二是對(duì)變量的分類錯(cuò)誤，本題中對(duì)的分類為，分類時(shí)可能漏掉其端點(diǎn)值，也可能把寫成等. 解析：本題是計(jì)算分段函數(shù) 值的程序框圖，若，由 若，由；若，由，故輸入的的范圍是 易失分點(diǎn)2 對(duì)循環(huán)結(jié)束的條件判斷不準(zhǔn) 典例 如圖所示是一算法的程序框圖，若此程序運(yùn)行的結(jié)果為， 則在判斷框中應(yīng)填人關(guān)于的判斷條件是（ ） A． B． C． D． 易失分提示： 本題容易出錯(cuò)的地方就是不清楚這個(gè)判斷條件是什么， 本題是當(dāng)不滿足判斷框中的條件時(shí)結(jié)束循環(huán)，當(dāng)判斷框中的條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)， 故應(yīng)該從開始按照遞減的方式逐步進(jìn)行，直到的輸出結(jié)果為． 解析：第一次運(yùn)行結(jié)果為第二次運(yùn)行結(jié)果為 第三次運(yùn)行結(jié)果為故判斷條件是．故選C 易失分點(diǎn)3 忽視類比的對(duì)應(yīng)關(guān)系 典例 若三角形內(nèi)切圓的半徑為，三邊長(zhǎng)為，則三角形的面積等于，根據(jù)類比推理的方法，若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，四個(gè)面的面積分別是，則四面體的體積_________． 易失分提示：沒有把握住面與體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，只是照章學(xué)樣，從而導(dǎo)致系數(shù)錯(cuò)誤，或?qū)吪c面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系搞不清而導(dǎo)致錯(cuò)誤． 解析：找出它們的相似可比性和對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可得出結(jié)果 易失分點(diǎn)4 對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的證明思想理解錯(cuò)誤 典例 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式成立． 易失分提示： 1．證明“時(shí)命題也成立”的過程中，未能利用歸納假設(shè)． 2．利用歸納假設(shè)，對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)不能適當(dāng)?shù)胤趴s來實(shí)現(xiàn)． 解析：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊. （2）假設(shè)時(shí)不等式成立，即 那么當(dāng)時(shí)， 時(shí)不等式也成立． 由（1）（2）知，對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式都成立.