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第三講 1.偏微分方程求解－－有限元法的原理（加權(quán)余量法和變分法）,解析法 應(yīng)用范圍有限，適用于理論求解，但有強(qiáng)烈的物理含義（常系數(shù)微分方程） 某些復(fù)雜問題，很考慮根本找不到解析解 2. 數(shù)值法 工程實際中應(yīng)用廣泛，復(fù)雜場域問題，但物理含義不很清楚。任何問題總可以找到數(shù)值解（數(shù)學(xué)方法）,2.數(shù)值求解方法,2/4,1. 基本思想：,以偏微分方程的近似解來代替其真解，只要近似解與真解足夠接近，就可以近似解作為問題的解，并滿足足夠的精度。,2. 基本方法：,假設(shè)一個近似解，該解為一組（形式上）簡單函數(shù) 的線性組合來表示，線性組合的系數(shù)就是一組待定系數(shù) 然后建立一種考慮了微分方程和邊界條件的關(guān)于真解 和近似解間誤差的目標(biāo)函數(shù) F 用適當(dāng)?shù)乃惴ㄊ沟迷撃繕?biāo)函數(shù)最小化――最小化的過程就確定了待定系數(shù)，從而也就得到了問題的近似解。,嘗試函數(shù)，基函數(shù)，形函數(shù),2.數(shù)值求解方法,2/4,目標(biāo)函數(shù)最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 另一方面，求得構(gòu)成近似解的待定系數(shù)。 數(shù)學(xué)上，構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的方法很多，不同的構(gòu)成方法就形成了不同的數(shù)值解法，電磁場中就常見的是：加權(quán)余量法和變分法。,3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法－加權(quán)余量法,電磁場問題總可以用位函數(shù)的偏微分方程和相應(yīng)的邊界條件表述,兩個偏微分方程形式相同，故以電位方程的求解過程為例。磁位矢量的方程可以分解到各個分量上變?yōu)闃?biāo)量方程。,在求解場域內(nèi)，偏微分方程的真解為 ，近似解為 它由一組簡單函數(shù) 的線性組合表達(dá)，表達(dá)中有待定系數(shù) 即：,3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法－加權(quán)余量法,加權(quán)余量法,簡單函數(shù)，一般選用簡單形式的函數(shù)，一旦選定就是已知的了,待定系數(shù)是真正的求解目標(biāo),問題的自由度,近似解,3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法－加權(quán)余量法,加權(quán)余量法就是一種定義近似解與真解之間誤差（即余數(shù)），并設(shè)法使其最小的方法。,加權(quán)余量法誤差（即余數(shù)）的定義：,注意：一般余數(shù)并不表示近似解與真解間的代數(shù)差（場域內(nèi)），加權(quán)余量法的采用拉普拉斯算子作用后的差別（即余數(shù)），來代表近似解整體接近偏微分方程真解的程度。,問題的自由度,3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法－加權(quán)余量法,當(dāng)余數(shù)小于要求的精度時，就可以認(rèn)為近似解就是偏微分方程的解。 要減少余數(shù)，我們可以通過尋求適當(dāng)?shù)拇ㄏ禂?shù)來實現(xiàn)。 為有效表達(dá)減小余數(shù)的效果，還選取適當(dāng)?shù)募訖?quán)函數(shù)，以使余數(shù)和該加權(quán)函數(shù)的積分為0。－－“加權(quán)余量法”的來由。,3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法－加權(quán)余量法,加權(quán)余數(shù)的定義：,加權(quán)函數(shù)的選取方法很多：如點重合、子域重合、最小二乘法、迦遼金法。 效果較好的、運用較多的是迦遼金法：,即：迦遼金法選取嘗試函數(shù)本身為加權(quán)函數(shù),3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法－加權(quán)余量法,由此構(gòu)建加權(quán)量法的目標(biāo)函數(shù)：,上述過程中，已經(jīng)將偏微分方程轉(zhuǎn)化為j個代數(shù)方程組，便于計算機(jī)求解。,關(guān)于函數(shù)的函數(shù)，稱為：泛函數(shù)，或泛函,3. 加權(quán)余量法－－例1,例1.兩極電容板內(nèi)部電場分布問題： 根據(jù)問題特點將3維問題簡化為2維， 進(jìn)一步簡化為1維。 該問題是靜態(tài)電場問題， 偏微分方程和邊界條件：,,加權(quán)余量法求解： 1.選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：,2.結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式：,3. 加權(quán)余量法－－例1,理論上任意選取，操作中越簡單越好,,2.結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式：,3. 加權(quán)余量法－－例1,,,,3. 加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：,3. 加權(quán)余量法－－例1,3. 加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：,3. 加權(quán)余量法－－例1,4. 求解上述兩個代數(shù)方程組，得到待定系數(shù)，從而確定近似解,3. 加權(quán)余量法－－例1,加權(quán)余量法求解流程： 1.選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解 2.結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式 3. 寫出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式 4. 令各加權(quán)余數(shù)表達(dá)式為0，得到代數(shù)方程組，解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解,該靜態(tài)電場問題的真解（解析解：）,3. 加權(quán)余量法－－例1,真解與近似解相同是由于嘗試函數(shù)選擇的剛好，通常是有差別的，如選用三角函數(shù)，但求解過程會復(fù)雜，可見嘗試函數(shù)的選取是有技巧的。,,,4. 加權(quán)余量法求解一般化偏微分方程的歸納,,一般化偏微分方程： 線性微分算子,則其余數(shù)為：,令加權(quán)余數(shù)為0，構(gòu)建代數(shù)方程：,4. 加權(quán)余量法求解一般化偏微分方程的歸納,,由于是線性微分算子，故微分、求和、積分次序可調(diào)換,代數(shù)方程變形：,有j個代數(shù)方程，通常等于待定系數(shù)個數(shù),,,,,4. 加權(quán)余量法求解一般化偏微分方程的歸納,,代數(shù)方程寫成矩陣形式：,,,,系數(shù),激勵,邊界條件,系數(shù)矩陣nn,待定系數(shù)矩陣、源矩陣、邊界矩陣n1,矩陣元素值：,,雖然元素值還需要積分、微分的求得，還難以借助計算機(jī)求解，但至少化為了代數(shù)方程組。,通過選擇合適的加權(quán)函數(shù)和嘗試函數(shù)可以大大簡化矩陣元素的矩陣方程。 有限元方法就是如此,5. 加權(quán)余量法的進(jìn)一步優(yōu)化（邊界條件的處理）,,適當(dāng)?shù)倪x取加權(quán)函數(shù)，并對加權(quán)余數(shù)積分進(jìn)行處理，可使某些邊界條件從加權(quán)余數(shù)的表達(dá)式中消失，從而簡化矩陣方程及其系數(shù)的求解。,以有源靜電場問題為例（帕松方程）,,由近似解表述的加權(quán)余數(shù)為：,5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化,注意余數(shù)的實質(zhì),,,通過嘗試函數(shù)，簡化加權(quán)余數(shù)后：,5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化,上式第一項，由格林第一定律得：,,降了微分階數(shù)，等于降了近似解（嘗試函數(shù)）的連續(xù)性要求，從而擴(kuò)展了其選擇范圍,,代入后：,5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化,由于近似解在1類邊界上常數(shù)，所以此項為0,,選取特殊加權(quán)函數(shù)后，兩項和為0,第二類邊界條件也消失了，說明已經(jīng)自動滿足了,,,令加權(quán)余數(shù)為0即可得到求解原微分方程的一組代數(shù)方程：,5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化,這里加權(quán)函數(shù)只有一個了，進(jìn)一步，用迦遼金法，選加權(quán)函數(shù)為嘗試函數(shù)本身,5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化,由于是線性微分算子，故微分、求和、積分次序可調(diào)換,代數(shù)方程變形：,對比簡化前的代數(shù)方程：已經(jīng)大大簡化，關(guān)鍵是邊界條件項全部消失，微積分計算也降階、簡化,5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化,代數(shù)方程寫成矩陣形式：,對稱矩陣，簡化計算,還有積分（求和），梯度（差分），有限元將作處理,小結(jié)：簡化后1、2類邊界條件自動滿足； （嘗試函數(shù)、加權(quán)函數(shù)選?。?微分降階，簡化計算 對稱矩陣，簡化計算 根據(jù)情況源矩陣、邊界矩陣可能為0,對拉普拉斯方程和帕松方程問題適合,6. 簡化后加權(quán)余量法 例2,,例1中的靜電場問題，變?yōu)閮呻姌O板接地，中間充滿電荷。,帕松方程,加權(quán)余量法求解： 1.初選嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：,利用問題，對近似解進(jìn)行簡化，對嘗試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,6. 簡化后加權(quán)余量法 例2,通過嘗試函數(shù)的選取，近似解滿足1類邊界條件，使得1類邊界條件在方程中消失,由此，嘗試函數(shù)和近似解優(yōu)化為：,2. 修正嘗試函數(shù)，以滿足1類邊界條件：,6. 簡化后加權(quán)余量法 例2,3.代公式計算矩陣元素 （邊界矩陣b為0）,6. 簡化后加權(quán)余量法 例2,4. 封裝矩陣：,6. 簡化后加權(quán)余量法 例2,5. 求解矩陣，得近似解：,該有源靜態(tài)電場問題的真解（解析解：）,6. 簡化后加權(quán)余量法 例2,真解與近似解相同是由于嘗試函數(shù)選擇的剛好，通常有差別。如例3,7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,,偏微分方程描述的問題如下：,加權(quán)余量法求解： 1.初選嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：,利用問題及其邊界條件，對嘗試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化（使近似解滿足邊界條件）,通過嘗試函數(shù)的選取，近似解滿足1類邊界條件，使得1類邊界條件在方程中消失,兩個方程，兩個獨立未知數(shù)，消a1、a2，重定嘗試函數(shù)，邊界條件自動滿足，簡化求解過程,7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,2. 修正嘗試函數(shù)，以滿足1、2類邊界條件：,7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,余數(shù)為：,7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,結(jié)合問題，余數(shù)的具體表達(dá)式為：,問題的加權(quán)余數(shù)（目標(biāo)泛函）為：,4. j=2,3時得代數(shù)方程：,5. 求解矩陣，得近似解：,7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,5. 求解矩陣，得待定系數(shù)和近似解：,7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,真解（解析解：）,7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,8. 歸納加權(quán)余量求解偏微分方程步驟,加權(quán)余量法求解流程： 1.初步選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解 2.結(jié)合問題的邊界條件對嘗試函數(shù)進(jìn)行修正，以簡化求解 3.寫出余數(shù)表達(dá)式 3. 寫出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式（迦遼金方法選取加權(quán)函數(shù)） 4. 令權(quán)余數(shù)表達(dá)式在各嘗試函數(shù)下為0，得到代數(shù)方程組，解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解,8. 歸納加權(quán)余量求解偏微分方程步驟,加權(quán)余數(shù)法求解一般性偏微分方程的方法： 方程的近似解被表示為一系列獨立的嘗試函數(shù)的線性組合，其中包括未知的待定系數(shù)。 通常用迦遼金原理選取加權(quán)函數(shù)，（即令加權(quán)函數(shù)等于嘗試函數(shù)本身），從而完成對加權(quán)余數(shù)的定義，(嘗試函數(shù)的選取滿足邊界條件) 通過對加權(quán)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)和在邊界上的積分使其平均值為零，也就是說，使近似解與精確解之間的差別在某種指標(biāo)下達(dá)到最小化。 如此可以形成一個矩陣形式的代數(shù)方程組，求解該矩陣方程可以確定待定系數(shù)．從而得到偏微分方程的唯一近似解。,9. 變分法簡介,另外一種求解偏微分方程的一般方法，即變分法。 變分法與加權(quán)余數(shù)法類似，近似解也用一系列線性獨立的嘗試函數(shù)表示．包括未知的待定系數(shù)。 與加權(quán)余數(shù)法不同的是，變分法用另外的方法來形成求解待定系數(shù)的矩陣方程。在變分法中，首先要構(gòu)成一個近似解的函數(shù)，稱為泛函。從廣義來說，加權(quán)余數(shù)積分(即平均值)也是一種泛函。 然后使該泛函最小化，從而減小近似解的誤差。一般說來，要找到一個適合于偏微分方程及邊界條件的泛函是一項難度很大的工作。由于前人已做了許多研究工作，已找到了適合于許多常見形式的偏微分方程的泛函。 對于電磁場方程來說，偏微分方程常具有拉普拉斯、帕松和赫姆霍茲等形式。,變分法的思想：另外一種構(gòu)造目標(biāo)泛函的方法，由于求解中要求目標(biāo)泛函最小，變分法將目標(biāo)泛函的構(gòu)造與電磁場儲能表達(dá)式聯(lián)系起來，（因為電磁場儲能物理上講有趨于最小化的趨勢）。通過物理原理來構(gòu)造的目標(biāo)泛函是其特點。,9. 變分法簡介－－拉普拉斯方程,拉普拉斯類方程描述的無源靜電場或靜磁場問題，用變分法求解：,9. 變分法簡介－－拉普拉斯方程,嘗試函數(shù)選擇時，仍然要使近似解滿足1類邊界條件，使得1類邊界條件在方程中消失,拉普拉斯類方程描述的無源靜電場或靜磁場問題，用變分法求解：,9. 變分法簡介—帕松方程,帕松方程描述的有源靜電場或靜磁場問題， 用變分法求解：,9. 變分法簡介—帕松方程,帕松方程描述的有源靜電場或靜磁場問題，用變分法求解：,嘗試函數(shù)選擇時，仍然要使近似解滿足1類邊界條件，使得1類邊界條件在方程中消失,9. 變分法簡介—赫姆霍茲和一般化偏微分方程（省略）,9. 變分法簡介—赫姆霍茲和一般化偏微分方程（省略）,泛函適應(yīng)于二階線性偏微分方程及狄利克萊和諾伊曼邊界條件，亦即適應(yīng)于一般形式的電磁場問題。由此可以很容易地獲得常見微分方程的泛函，例如 拉普拉斯方程、帕松方程、赫姆霍茲方程等等。 泛函數(shù)中：k,a,q,h,g都是位置的一般函數(shù)，對于簡單的問題也可以是常數(shù)。這里再次強(qiáng)調(diào)，在選取嘗試函數(shù)相構(gòu)成近似解時，應(yīng)該使近似解滿足問題的邊界條件。,