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5.2 求不定積分的幾種基本方法,一、 第一類換元法（湊微分法）,,,,.,先看下例：,例1 求,解,設(shè),則,,,,,,一般地，如果,是,的一個(gè)原函數(shù)，則,而如果,又是另一個(gè)變量,的函數(shù),且,可微，那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分法，有,由此得,,是具有原函數(shù),于是有如下定理：,定理1 設(shè),可導(dǎo)，則,有換元公式,（5-2）,由此可見，一般地，如果積分,不能直接,利用利用基本積分公式計(jì)算，而其被積表達(dá)式,能表示為,的形式，且,較易計(jì)算，那么可令,代入后有,這樣就得到了,的原函數(shù).這種積分稱為第一類換元法.,由于在積分過程中，先要從被積表達(dá)式中湊出一個(gè)積分,因子,因此第一類換元法也稱為湊微分法.,例2 求,解,,再以,代入，即得,例3 求,解 被積函數(shù),,可看成,,與,,構(gòu)成的復(fù)合,函數(shù)，雖沒有,,這個(gè)因子，但我們可以湊出這個(gè)因子：,,，,如果令,,便有,,,,,,,,,，,,,一般地，對(duì)于積分,,,總可以作變量代換,,，把它化為,,,,,,,，,,,,,,,,,,,,,例4 求,解 令,則,,,,,,,，,,,,,,,,,,,例5 求,,解 令,,,則,,,有,,湊微分與換元的目的是為了便于利用基本積分公式．在,比較熟悉換元法后就可以略去設(shè)中間變量和換元的步驟．,,,,,例7 求,,,,,,,,,,,,,,例6 求,,解,,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解,,,,,例8 求,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例9 求,,解,,類似地可得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例10 求,,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例11 求,,解,,類似地可得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,類似地可得,,例12 求,,解,,例13 求,,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,第一類換元法有如下幾種常見的湊微分形式:,,(1),(2),(3),(4),,,(5),(6),(7),(8),,,,,(9),(10),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、 第二類換元法,第一類換元法是通過變量代換,,，將積分,,化為積分,,．第二類換元法是通,過變量代換,,，將積分,,化為積分,,,在求出后一個(gè)積分后,再以,,反函數(shù),,代回去,這樣換元積分公式可表示為:,,上述公式的成立是需要一定條件的，首先等式右邊,的不定積分要存在，即被積函數(shù),的,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,有原函數(shù)；其次,,,的反函數(shù),,要存在.我們有下面的定理．,定理2 設(shè)函數(shù),,連續(xù),,,單調(diào)、可導(dǎo)，并且,,，則有換元公式,,(5-3),下面舉例說明公式(5-3)的應(yīng)用．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例14 求,,解 遇到根式中是一次多項(xiàng)式時(shí)，可先通過適當(dāng)?shù)膿Q,元將被積函數(shù)有理化，然后再積分．,令,,,則,,，故,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例15 求,,解 令,,，則,,,則有,,,例16 求,解 為使被積函數(shù)有理化．利用三角公式,,令,,,則它是,,的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，,具有反函數(shù),,,且,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,因而,,,,例17 求,,解 令,,則,,于是,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,其中,,例18 求,,解 被積函數(shù)的定義域?yàn)?,,令,,,,,,，這時(shí),,故,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,其中,,,當(dāng),,時(shí),可令,,類似地可得到相同形式的結(jié)果．,以上三例中所作的變換均利用了三角恒等式，稱之為,三角代換，可將將被積函數(shù)中的無理因式化為三角函數(shù),的有理因式．一般地，若被積函數(shù)中含有,,時(shí)，可,作代換,,或,,；含有,,時(shí)，可作,代換,,；含有,,時(shí)，可作代換,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,利用第二類換元法求不定積分時(shí)，還經(jīng)常用到倒代換,即,,等．,例19 求,,解 令,,,則,因此,,當(dāng),時(shí)，,,有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,當(dāng),時(shí)，,有,,綜合起來，得,,在本節(jié)的例題中，有幾個(gè)積分結(jié)果是以后經(jīng)常會(huì)遇到,的．所以它們通常也被當(dāng)作公式使用．這樣,常用的積分,公式，除了基本積分表中的以外，再添加下面幾個(gè)(其中,常數(shù)a＞0).,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(14),(15),(16),(17),(18),,,,,,(19),(20),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(21),,例20 求,解,,利用公式(18)，可得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例21 求,,解,,利用公式(21)，可得,,三 分部積分法,,,.,,一、 分部積分公式的推導(dǎo),思考：,,諸如此類的不定積分，用換元積分法都不能求解．,特點(diǎn)： 被積函數(shù)是兩種不同類型的函數(shù)的乘積.,需要用到求不定積分的另一種基本方法――分部積分法．,設(shè)函數(shù),,及,,具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)．那么，,,移項(xiàng)，得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得,,（5-4）,公式（5-4）稱為分部積分公式.,如果積分,,不易求,而積分,,比較容易時(shí),分部積分公式就可用了.,為簡(jiǎn)便起見,也可把公式（5-4）寫成下面的形式:,,（5-5）,現(xiàn)在通過例子說明如何運(yùn)用這個(gè)重要公式.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例22 求,,解 由于被積函數(shù),,是兩個(gè)函數(shù)的乘積,選其中一,,那么另一個(gè)即為,,如果選擇,,,則,個(gè)為,,得,,如果選擇,,則,,得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,上式右端的積分比原積分更不容易求出．,由此可見，如果,,和,,選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果．,所以應(yīng)用分部積分法時(shí)，恰當(dāng)選取,和,是關(guān)鍵，,,一般以,比,,易求出為原則．,例23 求,,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例24 求,,解,,由上面的三個(gè)例子知道，如果被積函數(shù)是指數(shù)為正整,數(shù)的冪函數(shù)和三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮,用分部積分法，并選擇冪函數(shù)為,,,經(jīng)過一次積分，就,可以使冪函數(shù)的次數(shù)降低一次．,例25 求,,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例26,,求,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例27 求,,解,,總結(jié)上面四個(gè)例子可以知道,如果被積函數(shù)是冪函數(shù),和反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的乘積,就可以考慮用分部積分,,法,并選擇反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)為,,一般地,如果被積函數(shù)是兩類基本初等函數(shù)的乘積,,在多數(shù)情況下,可按下列順序: 反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、,冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，將排在前面的那類函,數(shù)選作,,，后面的那類函數(shù)選作,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,下面兩例中使用的方法也是比較典型的.,例28 求,,解,,,,,等式右端的積分與原積分相同,把它移到左邊與原積分,合并,可得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例29 求,,解,,,,,,所以,,