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2014年秋季南僑中學(xué)、永春三中、永春僑中、荷山中學(xué)、南安三中高中畢業(yè)班摸底統(tǒng)一考試 第I卷（選擇題 共50分） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出分四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1. 已知集合則為（ ） A． B． 　 C． 　 D． 2．如果復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)的值為（ ） A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2 3. 在中，若,則的面積( ) A 、 B、 C、 D、 4．下列命題中，真命題是（ ） A． B． C． D． 5. 函數(shù)的大致圖像是（ ） A　　　　　　 B　　　　　　 C　　　　 ?。? 1.99 3 4 5.1 6.12 1.5 4.04 7.5 12 18.01 6．在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了右邊一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是 （ ） A. B. 　 C. D. 7．若、、是互不相同的空間直線，、是不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ） A． B． C． D． 8. 如圖過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為(　　) A． 　B C． 　D． 9. 設(shè)為實(shí)系數(shù)三次多項(xiàng)式函數(shù)﹒已知五個(gè)方程式的相異實(shí)根個(gè)數(shù)如下表所述﹕ 方程式 相異實(shí)根的個(gè)數(shù) 1 3 3 1 1 關(guān)于的極小值﹐試問(wèn)下列哪一個(gè)選項(xiàng)是正確的（ ） A. B. C. D.﹒ 10. 將一圓的六個(gè)等分點(diǎn)分成兩組相間的三點(diǎn)﹐它們所構(gòu)成的兩個(gè)正三角形扣除內(nèi)部六條線段后可以形成一正六角星﹐如圖所示的正六角星是以原點(diǎn)為中心﹐其中﹐分別為原點(diǎn)到兩個(gè)頂點(diǎn)的向量﹒若將原點(diǎn)到正六角星12個(gè)頂點(diǎn)的向量﹐都寫(xiě)成為的形式﹐則的最大值為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非選擇題共100分） 2、 填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。 11． 某三棱錐的三視圖如圖所示， 該三棱錐的 體積是 . 12. 已知兩個(gè)單位向量，的夾角為30，，.若，則正實(shí)數(shù)=____________ 13. 若變量x，y滿足約束條件且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b， 則a－b的值是____________ 14、函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線mx+ny+2=0上，其中，則的最小值為 15、2008年高考福建省理科數(shù)學(xué)第11題是：“雙曲線（）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍為：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正確選項(xiàng)是B。若將其中的條件“”更換為“，且”，試經(jīng)過(guò)合情推理，得出雙曲線離心率的取值范圍是 三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答題寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、推演步驟。） 16.（本小題滿分13分）已知向量， ，設(shè)函數(shù)． （1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； （2）已知銳角的三個(gè)內(nèi)角分別為若，，邊，求邊． 17.（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，其前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列, ，且． (Ⅰ)求與；（Ⅱ）證明. 18. （本小題滿分13分） C 1 B 1 A 1 C B A 如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為的正方形，平面平面，. （1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）證明：在線段上存在點(diǎn)，使得， 并求的值。 19.（本小題滿分13分）設(shè)橢圓E: （a,b>0），短軸長(zhǎng)為4，離心率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)， （I）求橢圓E的方程； （II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，求出該圓的方程，若不存在說(shuō)明理由。 20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)． (Ⅰ)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)； (Ⅱ)若函數(shù)在處取得極值，且對(duì),恒成立， 求實(shí)數(shù)的取值范圍； (Ⅲ)當(dāng)且時(shí)，試比較的大小． 21. 本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題做答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分，做答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。 （1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換 二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換T將點(diǎn)(2，－2)與(－4,2)分別變換成點(diǎn)(－2，－2)與(0，－4)． ①求矩陣M； ②設(shè)直線l在變換T作用下得到了直線m：x－y＝6，求l的方程． （2） （本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的非負(fù)半軸重合．若曲線的方程為，曲線的參數(shù)方程為 （Ⅰ） 將的方程化為直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值． （3） （本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝| x+3|－|x－2|. ①求不等式f(x)≥3的解集； ②若f(x) ≥ |a－4|有解，求a的取值范圍． 2014年秋季南僑中學(xué)、永春三中、永春僑中、荷山中學(xué)、南安三中高中畢業(yè)班摸底統(tǒng)一考試 答題卡 一、選擇題（本大題共10小題，共50分。） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空題（本大題共5小題，共20分。） 11、 12、 13、 14、 15、 三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答題寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、推演步驟。） 16. 17. C 1 B 1 A 1 C B A 18. 19. 20. 21. 2014年秋季南僑中學(xué)、永春三中、永春僑中、荷山中學(xué)、南安三中高中畢業(yè)班摸底統(tǒng)一考試答案 第I卷（選擇題 共50分） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出分四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1. 已知集合則為（ ） A． B． 　 C． 　 D． 解析：∵∴=,選C. 2．如果復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)的值為（ ） A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2 解析： 即 ，故選擇答案A 3. 在中，若,則的面積( ) A 、 B、 C、 D、 解析：改編自2014福建理科高考12題，考查三角形的解法和面積公式，答案C 4．下列命題中，真命題是（ ） A． B． C． D． 解析：答案為D 5. 函數(shù)的大致圖像是（ ） A　　　　　　 B　　　　　　 C　　　　 　Ｄ 解析：該函數(shù)為偶函數(shù)，答案為B 1.99 3 4 5.1 6.12 1.5 4.04 7.5 12 18.01 6．在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了右邊一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是 （ ） B. B. 　 C. C. D. 解析：由該表提供的信息知，該模擬函數(shù)在應(yīng)為增函數(shù)，故排除D,將、4…代入選項(xiàng)A、B、C易得B最接近，故答案應(yīng)選B. 7．若、、是互不相同的空間直線，、是不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ） A． B． C． D． 解析：對(duì)于A，或 異面，所以錯(cuò)誤；對(duì)于B， 與 可能相交可能平行，所以錯(cuò)誤；對(duì)于C， 與 還可能異面或相交，所以錯(cuò)誤.故答案應(yīng)選D 8. 如圖過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為(　　) A． 　B C． 　D． 【答案】B 解析:如圖分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D， 設(shè)|BF|=a，則由已知得：|BC|=2a，由定義得：|BD|=a，故∠BCD=30， 在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC| ∴3+3a=6，從而得a=1，∵BD∥FG，∴,求得p=，因此拋物線方程為y2=3x． 9. 設(shè)為實(shí)系數(shù)三次多項(xiàng)式函數(shù)﹒已知五個(gè)方程式的相異實(shí)根個(gè)數(shù)如下表所述﹕ 方程式 相異實(shí)根的個(gè)數(shù) 1 3 3 1 1 關(guān)于的極小值﹐試問(wèn)下列哪一個(gè)選項(xiàng)是正確的（ ） A. B. C. D.﹒ 解析﹕ 「方程式的相異實(shí)根數(shù)」等于「函數(shù)與水平線兩圖形的交點(diǎn)數(shù)﹒」 依題意可得兩圖形的略圖有以下兩種情形﹕ (1) 當(dāng)?shù)淖罡叽雾?xiàng)系數(shù)為正時(shí)﹕ (2) 當(dāng)?shù)淖罡叽雾?xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)﹕ 因極小值點(diǎn)位于水平線與之間﹐所以其坐標(biāo)（即極小值）的范圍為 ﹒ 故選(B)﹒ 10. 將一圓的六個(gè)等分點(diǎn)分成兩組相間的三點(diǎn)﹐它們所構(gòu)成的兩個(gè)正三角形扣除內(nèi)部六條線段后可以形成一正六角星﹐如圖所示的正六角星是以原點(diǎn)為中心﹐其中﹐分別為原點(diǎn)到兩個(gè)頂點(diǎn)的向量﹒若將原點(diǎn)到正六角星12個(gè)頂點(diǎn)的向量﹐都寫(xiě)成為的形式﹐則的最大值為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析﹕因?yàn)橄肭蟮淖畲笾旦o所以考慮圖中的6個(gè)頂點(diǎn)之向量即可﹒討論如下﹕ (1) 因?yàn)椹o所以﹒ (2) 因?yàn)椹o所以﹒ (3) 因?yàn)椹o所以﹒ (4) 因?yàn)椹o 所以﹒ (5)因?yàn)椹o所以﹒ (6)因?yàn)椹o所以﹒ 因此﹐的最大值為﹒故選D﹒ 第Ⅱ卷（非選擇題共100分） 3、 填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。 11．某三棱錐的三視圖如圖所示， 該三棱錐的體積是 . 解析：由俯視圖與側(cè)視圖可知三棱錐的底面積為，由側(cè)視圖可知棱錐的高為2，所以棱錐的體積為， 13. 已知兩個(gè)單位向量，的夾角為30，，.若，則正實(shí)數(shù)=____________ 解析：t=1 13. 若變量x，y滿足約束條件且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b， a－b的值是____________ 解析：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，意在考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．約束條件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)為頂點(diǎn)的四邊形區(qū)域，檢驗(yàn)四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可知，當(dāng)x＝4，y＝4時(shí)，a＝zmax＝54－4＝16；當(dāng)x＝8，y＝0時(shí)，b＝zmin＝50－8＝－8，∴a－b＝24. 14、函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線mx+ny+2=0上，其中，則的最小值為 2007山東卷改編答案：4 15、2008年高考福建省理科數(shù)學(xué)第11題是：“雙曲線（）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍為：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正確選項(xiàng)是B。若將其中的條件“”更換為“，且”，試經(jīng)過(guò)合情推理，得出雙曲線離心率的取值范圍是 答案： 三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答題寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、推演步驟。） 16.（本小題滿分13分）已知向量， ，設(shè)函數(shù)． （1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； （2）已知銳角的三個(gè)內(nèi)角分別為若，，邊，求邊． 解：（1） ． …………………………4分 ∵R，由 得 ……… 6分 ∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為． ……………………7分 （2）∵，即，∵角為銳角，得， ……… 9分 又，∴，∴ ∵，由正弦定理得 ……… 13分 本題由練習(xí)改編，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，三角恒等變換，及正弦定理的應(yīng)用。 17.（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，其前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列, ，且． (Ⅰ)求與； （Ⅱ）證明. 解：（1）設(shè)的公差為，且的公比為 …………………7分 （2） ，………9分 ∴ …………………13分 19. （本小題滿分13分） 如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為的正方形，平面平面，. C 1 B 1 A 1 C B A （1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）證明：在線段上存在點(diǎn)，使得，并求的值。 解：（I）因?yàn)锳A1C1C為正方形，所以AA1 ⊥AC. 因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC, 所以AA1⊥平面ABC.……… 3分 (II)由（I）知AA1 ⊥AC，AA1 ⊥AB. 由題知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC. 如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－,則B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)， 設(shè)平面A1BC1的法向量為，則,即， 令，則，，所以.……… 6分 同理可得，平面BB1C1的法向量為,所以. 由題知二面角A1－BC1－B1為銳角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值為.……… 8分 (III)設(shè)D是直線BC1上一點(diǎn)，且. 所以.解得，，. 所以. 由，即.解得.……… 11分 因?yàn)?，所以在線段BC1上存在點(diǎn)D， 使得AD⊥A1B. 此時(shí)，.……… 13分 19.（本小題滿分13分）設(shè)橢圓E: （a,b>0），短軸長(zhǎng)為4，離心率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)， （I）求橢圓E的方程； （II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，求出該圓的方程，若不存在說(shuō)明理由。 解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）,b=2, e= 所以解得所以橢圓E的方程為……… 5分 （2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, ……… 7分 則△=,即 ② ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,……… 11分 此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.……… 13分 20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)． (Ⅰ)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)； (Ⅱ)若函數(shù)在處取得極值，且對(duì),恒成立， 求實(shí)數(shù)的取值范圍； (Ⅲ)當(dāng)且時(shí)，試比較的大?。? 解：(Ⅰ)， 當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減， ∴在上沒(méi)有極值點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，得，得， ∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值． ∴當(dāng)時(shí)在上沒(méi)有極值點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn)．……… 4分 (Ⅱ)∵函數(shù)在處取得極值， ∴， ∴， 令，可得在上遞減，在上遞增， ∴，即．……… 9分 (Ⅲ)解：令， 由(Ⅱ)可知在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減 ∴當(dāng)時(shí)，>，即． 當(dāng)時(shí)， ∴， 當(dāng)時(shí)， ∴……… 14分 21. 本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題做答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分，做答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。 （1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換 二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換T將點(diǎn)(2，－2)與(－4,2)分別變換成點(diǎn)(－2，－2)與(0，－4)． ①求矩陣M； ②設(shè)直線l在變換T作用下得到了直線m：x－y＝6，求l的方程． 解　(1)設(shè)M＝，所以，且， 解得，所以M＝.……… 4分 (2)因?yàn)椋剑? 且m：x′－y′＝6，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝6， 即x＋y＋3＝0，∴直線l的方程是x＋y＋3＝0……… 7分 （3） （本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的非負(fù)半軸重合．若曲線的方程為，曲線的參數(shù)方程為 （Ⅰ） 將的方程化為直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值． 解：（Ⅰ）由已知得，即………3分 （Ⅱ）由得，所以圓心為，半徑為1． 又圓心到直線的距離為,…………………5分 所以的最大值為．…………………………7分 （4） （本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝| x+3|－|x－2|. ①求不等式f(x)≥3的解集； ②若f(x) ≥ |a－4|有解，求a的取值范圍． 解：(1) [1, + ) ……… 3分 (2) |a－4|≤5 ∴-1≤a≤9……… 7分