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南京市2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué) 2010.3.24 一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分） 1、已知集合，，則= 2、已經(jīng)復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模是 3、若，且，則的最大值是 4、已知函數(shù)其中，則函數(shù)有零點的概率是 5、下圖是根據(jù)某小學(xué)一年級10名學(xué)生的身高（單位：cm）畫出的莖葉圖，其中左邊的數(shù)字從左到右分別表示學(xué)生身高的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示學(xué)生身高的個位數(shù)字，則選10名學(xué)生平均身高是 cm 6、根據(jù)如圖所示的算法語句，可得輸出的結(jié)果是 7、等比數(shù)列的公比﹥0，已知，則的前四項和是 8、過點（1，2）的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標(biāo)原點，當(dāng)D的面積最小時，直線的方程是 9、若平面向量a,b滿足｛a+b｝=1,a+b平行于y軸，a=(2,-1),則b= 10、定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x∈（0，+∞）時，f(x)=,則不等式f(x)<-1的解集是 。 11、.以橢圓 （a>b>0）的右焦點為圓心的圓經(jīng)過原點O，且與該橢圓的右準(zhǔn)線交與A，B兩點，已知△OAB是正三角形，則該橢圓的離心率是 。 12、定義在R上的滿足=則 13、講一個半徑為5cm的水晶球放在如圖所示的工藝架上，支架是由三根金屬桿PA、PB、PC組成，它們兩兩成600角。則水晶球的球心到支架P的距離是 cm. 14、已知定義域為D的函數(shù)f(x),如果對任意x∈D,存在正數(shù)K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么稱函數(shù)f(x)是D上的“倍約束函數(shù)”，已知下列函數(shù)：①f(x)=2x②=；③=；④=，其中是“倍約束函數(shù)的是 二、解答題（本大題共6小題，共90分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 15.（本題滿分14題，第1小題6分，第2小題8分） 在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且 （1）求角C的大小；（2）如果a+b=6，,求的值。Wwm 16.（本題滿分14分，第1小題8分，第2小題6分） 在三棱柱中, ,, (1) 求證：平面; (2) 如果D為AB中點，求證： 17. （本題滿分14分，第1小題8分，第2小題6分） 如圖，現(xiàn)在要在一塊半徑為1m。圓心角為60的扇形紙板AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ，使點P在AB弧上，點Q在OA上，點M,N在OB上，設(shè)的面積為S。 （1） 求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； （2） 求S的最大值及相應(yīng)的值 18. （本題滿分16分，第1小題7分，第2小題9分） 已知圓O：和點M（1，a）， （1） 若過點M有且只有一條直線與圓O相切，求實數(shù)a的值，并求出切線方程； （2） 若，過點M的圓的兩條弦AC.BD互相垂直，求AC+BD的最大值。 19. （本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分） 已知函數(shù) （1） 當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間 （2） 求函數(shù)f(x)區(qū)間【1，e】上的最小值； （3） 設(shè)，若存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍。 20. （本題滿分16分，第1小題4分，第2小題10分， ） 設(shè)數(shù)列的前n項積為；數(shù)列的前n項和為 （1） 設(shè)。證明數(shù)列成等差數(shù)列；求證數(shù)列的通項公式； （2） 若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍 附加題 解答題（本大題滿分40分，1-4題為選做題，每小題10分，考生只需選做其中2題，多選做的按前兩題計分，5-6題為必做題，每題10分） 1.（幾何證明選講選做題） 如圖，在△ABC中，∠C=900,BE是角平分線，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圓。 （1）求證：AC是⊙O的切線。 （2）如果，AD=6,AE=6,求BC的長。 2.（矩陣與變換選做題） 在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點坐標(biāo)為A（0，0），B（2，0），C（2，1），求△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積，這里矩陣： 3.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線L的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），橢圓C的方程為 試在橢圓C上求一點P,使得P到直線L的距離最小。 4.（不等式選做題） 已知實數(shù)a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+4c2的最小值，并求出取最小值時a,b,c的值。 5.袋中有8個除顏色不同其他都相同的球，其中1個為黑球，2個為白球，5個為紅球， （1）如果從袋中遺傳摸出2個球，求所摸出的2個球顏色不同的概率； （2）如果從袋中一次摸出3個球，記得到紅球的個數(shù)為X,求隨機變量X的分布概率及數(shù)學(xué)期望E(X) 6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點在原點，焦點F的坐標(biāo)為（1，0）。 （1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)M,N是拋物線C的準(zhǔn)線上的兩個動點，且它們的縱坐標(biāo)之積為-4，直線MO,NO與拋物線的焦點分別為點A、B,求證：動直線AB恒過一個定點。 南京市2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題參考答案 一、填空題： 1. (0, 1] 2. 3. 1 4. 5. 115 6. 55 7. 8. 9. （－2, 0）或（－2, 2） 11. 12. 13. 14. ① ③ ④ 二、解答題：