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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列（綜合提升篇）專(zhuān)題07 選講內(nèi)容（含解析） 幾何證明選講 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1、比例線(xiàn)段有關(guān)定理 （1）平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理：如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段相等，那么在其他直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段也相等。 推理1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線(xiàn)必平分第三邊。 推理2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線(xiàn)平分另一腰。 （2）平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理：三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。 推論：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。 2、相似三角形的判定及性質(zhì) （1）相似三角形的判定： 定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。 判定定理1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。 判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。 判定定理3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。 （2）相似三角形的性質(zhì)： 性質(zhì)1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)平分線(xiàn)的比都等于相似比； 性質(zhì):2：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比； 性質(zhì)3：相似三角形面積的比等于相似比的平方。 注：相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。 3、直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。 4、圓周角定理 圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓周角的一半。 圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。 推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 5、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。 定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。 圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。 推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。 6、圓的切線(xiàn)的性質(zhì)及判定定理 切線(xiàn)的性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。 推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。 推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心。 切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。 7、弦切角的性質(zhì) 弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。 8、與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段（圓冪定理） 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等。 割線(xiàn)定理：從園外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等。 切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。 【講一講提高技能】 1、 相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用 （1） 判定兩個(gè)三角形相似的方法：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；相似三角形的定義． （2） 證明線(xiàn)段成比例，若已知條件中沒(méi)有平行線(xiàn)，但有三角形相似的條件(如角相等，有相等的比例式等)，常考慮相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造比例式或利用中間比求解． (3)相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用可用來(lái)考查與相似三角形相關(guān)的元素，如兩個(gè)三角形的高、周長(zhǎng)、角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、面積、外接圓的直徑、內(nèi)切圓的面積等． 例1如圖3，在平行四邊形中，點(diǎn)在上且，與交于點(diǎn)，則 . 【解析】 2、四點(diǎn)共圓的證明方法 （1）求證四邊形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的內(nèi)角；（2）當(dāng)它們?cè)谝粭l線(xiàn)段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此線(xiàn)段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線(xiàn)段異側(cè)，則證明它們與線(xiàn)段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ)。 例2如圖，在正中，點(diǎn)分別在邊上，且，相交于點(diǎn)．求證： （Ⅰ）四點(diǎn)共圓； （Ⅱ）． 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析． 【解析】 平面幾何中有關(guān)角與比例線(xiàn)段問(wèn)題的求解方法 （1）與切線(xiàn)有關(guān)的角度問(wèn)題，應(yīng)考慮應(yīng)用弦切角的性質(zhì)定理求解； （2）與切線(xiàn)有關(guān)的比例式或線(xiàn)段問(wèn)題，應(yīng)注意利用弦切角，確定三角形相似的條件，若條件不明顯需添加輔助線(xiàn)． （3）與圓有關(guān)的等積線(xiàn)段或成比例的線(xiàn)段，常利用圓周角或弦切角證明三角形相似，在相似三角形中尋找比例線(xiàn)段；也可以利用相交弦定理、切割線(xiàn)定理證明線(xiàn)段成比例，在實(shí)際應(yīng)用中，一般涉及兩條相交弦應(yīng)首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線(xiàn)就要想到割線(xiàn)定理，見(jiàn)到切線(xiàn)和割線(xiàn)時(shí)要注意應(yīng)用切割線(xiàn)定理． 例3過(guò)點(diǎn)作圓的割線(xiàn)與切線(xiàn)為切點(diǎn)，連接，的平分線(xiàn)與，分別交于點(diǎn)． （1）求證：； （2）若求的大?。? 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】 【練一練提升能力】 1. 如圖，為⊙的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，過(guò)的中點(diǎn)作割線(xiàn)交⊙于兩點(diǎn)，若則 . 分析：根據(jù)切割線(xiàn)定理得，變形即得. 【解析】由切割線(xiàn)定理得，所以，所以. 2. 如圖，為⊙外一點(diǎn)，交⊙于，，切⊙于為線(xiàn)段的中點(diǎn)，交⊙于，線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)與⊙交于，連接．求證： （Ⅰ）∽； （Ⅱ）． 【答案】詳見(jiàn)解析． 【解析】 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換： 2.極坐標(biāo)系 （1）極坐標(biāo)系的概念：平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn),叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)引一條射線(xiàn),叫做極軸;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位,一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線(xiàn)為終邊的角叫做點(diǎn)M的極角,記為.有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作. （2）直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.設(shè)是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是,極坐標(biāo)是,則極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表: 點(diǎn) 直角坐標(biāo) 極坐標(biāo) 互化公式 （3） 常見(jiàn)曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程： 曲線(xiàn) 圖形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點(diǎn),半徑為的圓 圓心為,半徑為的圓 圓心為,半徑為的圓 過(guò)極點(diǎn),傾斜角為的直線(xiàn) (1) (2) 過(guò)點(diǎn),與極軸垂直的直線(xiàn) 過(guò)點(diǎn),與極軸平行的直線(xiàn) 3、參數(shù)方程 （1）參數(shù)方程的概念：一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù)①,并且對(duì)于的每一個(gè)允許值,由方程組①所確定的點(diǎn)都在這條曲線(xiàn)上,那么方程①就叫做這條曲線(xiàn)的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù),相對(duì)于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程. （2）參數(shù)方程和普通方程的互化：曲線(xiàn)的參數(shù)方程和普通方程是曲線(xiàn)方程的不同形式,一般地可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致. （3）常見(jiàn)曲線(xiàn)的參數(shù)方程： ①圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）； ②橢圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）； ③雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程 （為參數(shù)）； ④拋物線(xiàn)參數(shù)方程 為參數(shù)）； ⑤過(guò)定點(diǎn)、傾斜角為的直線(xiàn)的參數(shù)方程（為參數(shù)）。 【講一講提高技能】 1、 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法 若極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸正半軸重合，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，則極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程可以互化，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)通常通過(guò)構(gòu)造的形式，其中方程兩邊同乘以或同時(shí)平方是常用的變形方法，要注意變形的等價(jià)性。 例1以為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓和直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)．若是等邊三角形，則的值為_(kāi)__________． 分析：根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，得到圓、直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，由是等邊三角形，得到其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓的方程即得. 【解析】 2、參數(shù)方程與普通方程的互化方法 ①將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ?jiàn)的消參方法有：代入消參法、加減消參法，平方消參法等，對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參如sin2θ＋cos2θ＝1等；②將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解． 例2在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)（為參數(shù)）與曲線(xiàn)相交于點(diǎn)兩點(diǎn)． （1）求曲線(xiàn)的平面直角坐標(biāo)系方程和直線(xiàn)的普通方程； （2）若成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 3、利用參數(shù)方程解決問(wèn)題的方法 ①過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線(xiàn)參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式為 (t為參數(shù))，t的幾何意義是直線(xiàn)上的點(diǎn)P到點(diǎn)P0(x0，y0)的數(shù)量，即t＝|PP0|時(shí)為距離．使用該式時(shí)直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)P1、P2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為(t1＋t2)． ②對(duì)于形如 (t為參數(shù))，當(dāng)a2＋b2≠1時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題． ③解決直線(xiàn)與圓、圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過(guò)互化解決與圓、圓錐曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，如最值、范圍等． 例3在極坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)，為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)． （1）將曲線(xiàn)的方程化成直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它是什么曲線(xiàn)； （2）求、兩點(diǎn)的最短距離． 【答案】（1）曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為：且曲線(xiàn)是以為圓心，為半徑的圓；（2）． 【解析】 【練一練提升能力】 1. 在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為， . （Ⅰ）求C的參數(shù)方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，根據(jù)（Ⅰ）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo). 【答案】（Ⅰ）是參數(shù)，；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M是C上任意一點(diǎn)，則由可得C的普通方程為：， 即， 所以C的參數(shù)方程為是參數(shù)，. （Ⅱ）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為，由（Ⅰ）知C是以G（1，0）為圓心，1為半徑的上半圓， 因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線(xiàn)與垂直，所以直線(xiàn)GD與的斜率相同，，， 故D點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，即. 2. 已知曲線(xiàn)，直線(xiàn)：（為參數(shù)）. （I）寫(xiě)出曲線(xiàn)的參數(shù)方程，直線(xiàn)的普通方程； （II）過(guò)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)作與夾角為的直線(xiàn)，交于點(diǎn)，的最大值與最小值． 【答案】（I）；（II）最大值為，最小值為. 【解析】 不等式選講 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1． 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)——幾何平均不等式： (1)定理3：如果a，b，c∈　，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立． 即三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． (2) 基本不等式的推廣：對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an 時(shí)，等號(hào)成立． 2. 柯西不等式： (1)二維形式：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立． (2)向量形式：設(shè)α、β是兩個(gè)向量，則|αβ|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是向量或存在實(shí)數(shù)k使α＝kβ時(shí)等號(hào)成立． (3)一般形式：設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)＝0 (i＝1,2，…，n)或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得 (i＝1,2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立． (4)二維形式的柯西不等式變式：①≥|ac＋bd|； ②≥|ac|＋|bd|. 3. 排序不等式： (1) 亂序和、反序和與順序和：設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn∈R，且a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，設(shè)c1，c2，c3，…，cn是數(shù)組b1，b2，b3，…，bn的任意一個(gè)排列，則分別將S＝a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋ancn，S1＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1，S2＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn稱(chēng)為數(shù)組(a1，a2，a3，…，an)和數(shù)組(b1，b2，b3，…，bn)的亂序和,反序和，與順序和． (2)排序不等式(又稱(chēng)排序原理)：設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，則a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn時(shí)，反序和等于亂序和等于順序和. 4. 絕對(duì)值不等式： (1)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立． (2)定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立． 【講一講提高技能】 1、 絕對(duì)值不等式的解法 （1） |ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|(zhì)ax＋b|≤c(c>0)－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c(c>0)ax＋b≥c或ax＋b≤－c。 （2） 、|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法：①分段討論法：利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)ac(c>0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|；③圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．注意求解的過(guò)程中應(yīng)同解變形 . 例1設(shè) （Ⅰ）當(dāng)，解不等式； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ． 【解析】 絕對(duì)值不等式的證明 含絕對(duì)值不等式的證明題主要分兩類(lèi)：一類(lèi)是比較簡(jiǎn)單的不等式，往往可通過(guò)公式法、平方法、換元法等去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式證明題，或利用絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)定理： ||a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|，通過(guò)適當(dāng)?shù)奶怼⒉痦?xiàng)證明；另一類(lèi)是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對(duì)值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來(lái)證明． 例2已知函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （2）若的解集包含，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 3、不等式證明的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。 例3已知，證明 分析：直接利用算術(shù)－幾何平均不等式可得，，兩式相乘即得要證不等式． 【解析】∵，∴,, ∴. 【練一練提升能力】 1. 已知，函數(shù)的最小值為4． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 2.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明： (1)＋＋≤； (2). 【答案】（略） 【解析】(1)由， 得. 由題設(shè)得，即. 所以3()1，即. (2)因?yàn)?，，? 故≥2(a＋b＋c)， 即≥a＋b＋c. 所以≥1. 解答題（共10題） 1.如圖，是的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為B，ADE，CFD和CGE都是的割線(xiàn)，． （1）證明：； （2）證明： 【答案】（1）證明略；（2）證明略． 【解析】 （2）由（1）知， 又 ，∴ ，∴ 又四邊形DEGF為圓內(nèi)接四邊形，∴ ， ∴，∴ ． 2.如圖,已知切⊙于點(diǎn)E,割線(xiàn)PBA交⊙于A(yíng)、B兩點(diǎn),∠APE的平分線(xiàn)和AE、BE分別交于點(diǎn)C、D. 求證:(Ⅰ); (Ⅱ). 【解析】 3、如圖,垂直于于,垂直于,連接.證明: (I) (II) 【解析】 4、已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為． （1）分別寫(xiě)出曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的普通方程； （2）若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系消去參數(shù)，得曲線(xiàn)，利用，得曲線(xiàn)； （2）把曲線(xiàn)和曲線(xiàn)聯(lián)立消去得，結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可求得弦的長(zhǎng)． 試題解析： （1）曲線(xiàn)， 曲線(xiàn)． （2）聯(lián)立，得， 設(shè)，則，， 于是． 故線(xiàn)段的長(zhǎng)為． 5、已知?jiǎng)狱c(diǎn)都在曲線(xiàn)為參數(shù)上,對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為與,為的中點(diǎn). (Ⅰ)求的軌跡的參數(shù)方程; (Ⅱ)將到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離表示為的函數(shù),并判斷的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn). 【解析】 6、在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，圓的方程為． （1）寫(xiě)出直線(xiàn)的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程； （2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，圓與直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 試題分析：（1)將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取恰當(dāng)?shù)南麉⒎椒?，常?jiàn)的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法；(2）將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解、漏解，若有范圍限制，要標(biāo)出的取值范圍；（2）直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只需把公式及直接代入并化簡(jiǎn)即可；而極坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程要通過(guò)變形，構(gòu)造形如，，的形式，進(jìn)行整體代換，其中方程的兩邊同乘以（或同除以）及方程的兩邊平方是常用的變形方法． 7、設(shè)不等式的解集為,且,. (1)求的值; (2)求函數(shù)的最小值. 【解析】(Ⅰ)因?yàn)?且,所以,且 解得,又因?yàn)?所以 (Ⅱ)因?yàn)? 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),所以的最小值為 8、已知函數(shù),,． （1）當(dāng)時(shí),解不等式: ； （2）若且,證明：，并求在等號(hào)成立時(shí)的取值范圍． 【解析】（1）因?yàn)? 9、設(shè)函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，解不等式； （2）若的解集為，，求證：． 【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析． 【解析】 試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)原函數(shù)進(jìn)行分情況解不等式，得到原不等式的解集；（2）根據(jù)的解集為，得到，所以，所以， 利用均值不等式得到，結(jié)論得證． 10、已知函數(shù),其中. (I)當(dāng)時(shí),求不等式的解集; (II)已知關(guān)于的不等式的解集為,求的值. 【解析】當(dāng)時(shí)，。，即。 當(dāng)時(shí)，，即，解得； 當(dāng)時(shí)，，即，不成立； 當(dāng)時(shí)，，即，解得。 所以不等式的解集為。…………………………4分 （Ⅱ）解：記，則。