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2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 圓錐曲線八種解題方法 總論：常用的八種方法 1、定義法 2、韋達(dá)定理法 3、設(shè)而不求點差法 4、弦長公式法 5、數(shù)形結(jié)合法 6、參數(shù)法（點參數(shù)、K參數(shù)、角參數(shù)） 7、代入法中的順序 8、充分利用曲線系方程法 七種常規(guī)題型 （1）中點弦問題 （2）焦點三角形問題 （3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 （4）圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問題 （5）求曲線的方程問題 1．曲線的形狀已知--------這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。 2．曲線的形狀未知-----求軌跡方程 （6） 存在兩點關(guān)于直線對稱問題 （7）兩線段垂直問題 常用的八種方法 1、定義法 （1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，，當(dāng)r1>r2時，注意r2的最小值為c-a：第二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將 半徑與“點到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。 （3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。 2、韋達(dá)定理法 因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。 3、設(shè)而不求法 解析幾何的運算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用“點差法”，即設(shè)弦的兩個端點A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中點為M(x0,y0)，將點A、B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法，具體有： （1）與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點為M(x0,y0)，則有。(其中K是直線AB的斜率) （2）與直線l相交于A、B，設(shè)弦AB中點為M(x0,y0)則有(其中K是直線AB的斜率) （3）y2=2px（p>0）與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點為M(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p. (其中K是直線AB的斜率) 4、弦長公式法 弦長公式：一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如的方程，方程的兩根設(shè)為，，判別式為△，則，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運算過程。 5、數(shù)形結(jié)合法 解析幾何是代數(shù)與幾何的一種統(tǒng)一，常要將代數(shù)的運算推理與幾何的論證說明結(jié)合起來考慮問題，在解題時要充分利用代數(shù)運算的嚴(yán)密性與幾何論證的直觀性，尤其是將某些代數(shù)式子利用其結(jié)構(gòu)特征，想象為某些圖形的幾何意義而構(gòu)圖，用圖形的性質(zhì)來說明代數(shù)性質(zhì)。 如“2x+y”，令2x+y=b，則b表示斜率為-2的直線在y軸上的截距；如“x2+y2”,令，則d表示點P（x，y）到原點的距離；又如“”，令=k，則k表示點P（x、y）與點A（-2，3）這兩點連線的斜率…… 6、參數(shù)法 （1）點參數(shù)利用點在某曲線上設(shè)點（常設(shè)“主動點”），以此點為參數(shù)，依次求出其他相關(guān)量，再列式求解。如x軸上一動點P，常設(shè)P（t，0）；直線x-2y+1=0上一動點P。除設(shè)P（x1,y1）外，也可直接設(shè)P（2y1-1,y1） （2）斜率為參數(shù) 當(dāng)直線過某一定點P(x0,y0)時，常設(shè)此直線為y-y0=k(x-x0)，即以k為參數(shù)，再按命題要求依次列式求解等。 （3）角參數(shù) 當(dāng)研究有關(guān)轉(zhuǎn)動的問題時，常設(shè)某一個角為參數(shù)，尤其是圓與橢圓上的動點問題。 7、代入法中的順序 這里所講的“代入法”，主要是指條件的不同順序的代入方法，如對于命題：“已知條件P1,P2求（或求證）目標(biāo)Q”，方法1是將條件P1代入條件P2，方法2可將條件P2代入條件P1，方法3可將目標(biāo)Q以待定的形式進(jìn)行假設(shè)，代入P1,P2,這就是待定法。不同的代入方法常會影響解題的難易程度，因此要學(xué)會分析，選擇簡易的代入法。 八、充分利用曲線系方程法 一、定義法【典型例題】 例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點P到點A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點 P的坐標(biāo)為______________ (2)拋物線C: y2=4x上一點Q到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小,則點Q的坐標(biāo)為 。 分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點共線時，距離和最小。 （2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QR⊥l交于R，則當(dāng)B、Q、R三點共線時，距離和最小。 解：（1）（2，） 連PF，當(dāng)A、P、F三點共線時，最小，此時AF的方程為 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交點為()，它為直線AF與拋物線的另一交點，舍去） （2）（） 過Q作QR⊥l交于R，當(dāng)B、Q、R三點共線時，最小，此時Q點的縱坐標(biāo)為1，代入y2=4x得x=，∴Q() 點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題，請仔細(xì)體會。 例2、F是橢圓的右焦點，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點，P為橢圓上一動點。 （1）的最小值為 （2）的最小值為 分析：PF為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑或準(zhǔn)線作出來考慮問題。 解：（1）4- 設(shè)另一焦點為，則(-1,0)連A,P 當(dāng)P是A的延長線與橢圓的交點時, 取得最小值為4-。 （2）作出右準(zhǔn)線l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=， ∴ ∴ 當(dāng)A、P、H三點共線時，其和最小，最小值為 例3、動圓M與圓C1:(x+1)2+y2=36內(nèi)切,與圓C2:(x-1)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。 分析：作圖時，要注意相切時的“圖形特征”：兩個圓心與切點這三點共線（如圖中的A、M、C共線，B、D、M共線）。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”（如圖中的）。 解：如圖，， ∴ ∴ （*） ∴點M的軌跡為橢圓，2a=8，a=4，c=1，b2=15軌跡方程為 點評：得到方程（*）后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出，再移項，平方，…相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！ 例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求點A的軌跡方程。 分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R（R為外接圓半徑），可轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系。 解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=2RsinA ∴ 即 （*） ∴點A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4 所求軌跡方程為 （x>3） 點評：要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支） 例5、定長為3的線段AB的兩個端點在y=x2上移動，AB中點為M，求點M到x軸的最短距離。 分析：（1）可直接利用拋物線設(shè)點，如設(shè)A(x1,x12)，B(x2，X22)，又設(shè)AB中點為M(x0y0)用弦長公式及中點公式得出y0關(guān)于x0的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。 （2）M到x軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。 解法一：設(shè)A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中點M(x0，y0) ① ② ③ 則 由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 即[(x1+x2)2-4x1x2][1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)][1+(2x0)2]=9 ∴， ≥ 當(dāng)4x02+1=3 即 時，此時 法二：如圖， ∴， 即， ∴， 當(dāng)AB經(jīng)過焦點F時取得最小值。 ∴M到x軸的最短距離為 點評：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成y0關(guān)于x0的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點，即沒有驗證AB是否能經(jīng)過焦點F，而且點M的坐標(biāo)也不能直接得出。 二、韋達(dá)定理法【典型例題】 例6、已知橢圓過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次交于A、B、C、D、設(shè)f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。 分析：此題初看很復(fù)雜，對f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運算，因A、B來源于“不同系統(tǒng)”，A在準(zhǔn)線上，B在橢圓上，同樣C在橢圓上，D在準(zhǔn)線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可得防 此時問題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。 解：（1）橢圓中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦點F1(-1,0) 則BC:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=- （2） ∴當(dāng)m=5時， 當(dāng)m=2時， 點評：此題因最終需求，而BC斜率已知為1，故可也用“點差法”設(shè)BC中點為M(x0,y0),通過將B、C坐標(biāo)代入作差，得，將y0=x0+1，k=1代入得，∴，可見 當(dāng)然，解本題的關(guān)鍵在于對的認(rèn)識，通過線段在x軸的“投影”發(fā)現(xiàn)是解此題的要點。 三、點差法 與圓錐曲線的弦的中點有關(guān)的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題。 解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。 若設(shè)直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標(biāo)為、，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。 1.以定點為中點的弦所在直線的方程 例1、過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。 解：設(shè)直線與橢圓的交點為、 為的中點 　　 又、兩點在橢圓上，則， 兩式相減得 于是 即，故所求直線的方程為，即。 例2、已知雙曲線，經(jīng)過點能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點是線段的中點。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。 策略：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線　，然后驗證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點弦問題，應(yīng)考慮點差法或韋達(dá)定理。 解：設(shè)存在被點平分的弦，且、 則， ， 兩式相減，得 　 故直線 由　消去，得 這說明直線與雙曲線不相交，故被點平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。 評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結(jié)果，請務(wù)必小心。由此題可看到中點弦問題中判斷點的位置非常重要。（1）若中點在圓錐曲線內(nèi)，則被點平分的弦一般存在；（2）若中點在圓錐曲線外，則被點平分的弦可能不存在。 2.過定點的弦和平行弦的中點坐標(biāo)和中點軌跡 例3、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點恰為這條弦的中點，求點的坐標(biāo)。 解：設(shè)弦端點、，弦的中點，則 ， 又 ， 兩式相減得 即 ，即 點的坐標(biāo)為。 例4、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程。 解：設(shè)弦端點、，弦的中點，則 ， 又 ， 兩式相減得 即，即 ，即 由，得 點在橢圓內(nèi) 它的斜率為3的弦中點的軌跡方程為 例1 已知橢圓，求斜率為的平行弦中點的軌跡方程. 解 設(shè)弦的兩個端點分別為，的中點為. 則，（1），（2） 得：，. 又，. 弦中點軌跡在已知橢圓內(nèi)，所求弦中點的軌跡方程為（在已知橢圓內(nèi)）. 例2 直線（是參數(shù)）與拋物線的相交弦是，則弦的中點軌跡方程是 . 解 設(shè)，中點，則. ，過定點，. 又，（1），（2） 得：， . 于是，即. 弦中點軌跡在已知拋物線內(nèi)，所求弦中點的軌跡方程為（在已知拋物線內(nèi)）. 3.求與中點弦有關(guān)的圓錐曲線的方程 例5、已知中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。 解：設(shè)橢圓的方程為，則┅┅① 設(shè)弦端點、，弦的中點，則 ， ， 又， 兩式相減得 即 ┅┅② 聯(lián)立①②解得， 所求橢圓的方程是 例3 已知的三個頂點都在拋物線上，其中，且的重心是拋物線的焦點，求直線的方程. 解 由已知拋物線方程得.設(shè)的中點為，則三點共線，且，分所成比為，于是， 解得，. 設(shè)，則. 又，（1），（2） 得：，. 所在直線方程為，即. 例4 已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是，有一條傾斜角為的直線交橢圓于兩點，若的中點為，求橢圓方程. 解 設(shè)，則，且，（1），（2） 得：，， ，，（3） 又，，（4）而，（5） 由（3），（4），（5）可得， 所求橢圓方程為. 4.圓錐曲線上兩點關(guān)于某直線對稱問題 例6、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點關(guān)于該直線對稱。 解：設(shè)，為橢圓上關(guān)于直線的對稱兩點，為弦的中點，則， 兩式相減得， 即 ，， 　　這就是弦中點軌跡方程。 它與直線的交點必須在橢圓內(nèi) 聯(lián)立，得　則必須滿足， 即，解得 5. 求直線的斜率 例5 已知橢圓上不同的三點與焦點的距離成等差數(shù)列.（1）求證：；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點為，求直線的斜率. （1）證 略. （2）解 ，設(shè)線段的中點為. 又在橢圓上，，（1），（2） 得：， . 直線的斜率，直線的方程為. 令，得，即，直線的斜率. 6. 確定參數(shù)的范圍 例6 若拋物線上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍. 解 當(dāng)時，顯然滿足. 當(dāng)時，設(shè)拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點分別為，且的中點為，則，（1），（2） 得：，， 又，. 中點在直線上，，于是. 中點在拋物線區(qū)域內(nèi) ，即，解得. 綜上可知，所求實數(shù)的取值范圍是. 7. 證明定值問題 例7 已知是橢圓不垂直于軸的任意一條弦，是的中點，為橢圓的中心.求證：直線和直線的斜率之積是定值. 證明 設(shè)且， 則，（1），（2） 得：， ，. 又，，（定值）. 8. 其它?？瓷先ゲ皇侵悬c弦問題，但與之有關(guān)，也可應(yīng)用。 例9，過拋物線上一定點P（）（），作兩條直線分別交拋物線于A（），B（）． （1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點到其焦點F的距離； （2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù). 解(1)略(2)：設(shè)A（y12,y1）,B(y22,y2)，則 kAB= ∵kPA= 由題意，kAB=-kAC, ∴ 則：kAB=為定值。 例10、 （1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點 （2）設(shè)直線與拋物線的交點為A、B，且OA⊥OB，求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。 （1）證明：拋物線的準(zhǔn)線為 由直線x+y=t與x軸的交點（t，0）在準(zhǔn)線右邊，得 故直線與拋物線總有兩個交點。 （2）解：設(shè)點A(x1，y1)，點B(x2，y2) 【同步練習(xí)】 1、已知：F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，過F1作直線交雙曲線左支于點A、B，若，△ABF2的周長為（ ） A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1，則P點的軌跡方程是 （ ） A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x 3、已知△ABC的三邊AB、BC、AC的長依次成等差數(shù)列，且，點B、C的坐標(biāo)分別為(-1，0)，(1，0)，則頂點A的軌跡方程是（ ） A、 B、 C、 D、 4、過原點的橢圓的一個焦點為F(1，0)，其長軸長為4，則橢圓中心的軌跡方程是 （ ） A、 B、 C、 D、 5、已知雙曲線上一點M的橫坐標(biāo)為4，則點M到左焦點的距離是 6、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點的軌跡方程是 7、已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過定點p(-2，0)，則弦AB中點的軌跡方程是 8、過雙曲線x2-y2=4的焦點且平行于虛軸的弦長為 9、直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點個數(shù)只有一個，則k= 10、設(shè)點P是橢圓上的動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，求sin∠F1PF2的最大值。 11、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，左焦點到坐標(biāo)原點、右焦點、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，若直線l與此橢圓相交于A、B兩點，且AB中點M為(-2，1)，，求直線l的方程和橢圓方程。 12、已知直線l和雙曲線及其漸近線的交點從左到右依次為A、B、C、D。求證：。