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1,導 讀 為什么要介紹本章? 分析、設計控制系統(tǒng)的第一步是建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型,2,預備知識,復變函數(shù)：Laplace變換（拉氏變換）, Z變換 常微分方程解法：Laplace變換和反變換 電路理論 基本的電子學和力學知識,第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型,2.1 系統(tǒng)的微分方程：時域模型，微分方程的建立及線性化。 2.1 拉普拉斯變換：將微分方程變換成代數(shù)方程，是經(jīng)典控制理 論的基礎。 2.3 傳遞函數(shù)：借助拉氏變換，給出系統(tǒng)傳遞函數(shù)。經(jīng)典控制理論中引用最廣泛的一種模型。 2.4 控制系統(tǒng)方框圖：掌握方塊圖的建立及化簡,6種典型環(huán)節(jié) 2.5方框圖的等效變換及化簡,定義：數(shù)學模型是描述系統(tǒng)內部物理量（或變量）之間關系的數(shù)學表達式。 建立數(shù)學模型的目的 是分析和設計控制系統(tǒng)的首要工作（或基礎工作）。 自控系統(tǒng)的組成可以是電氣的、機械的、液壓或氣動的等等，然而描述這些系統(tǒng)發(fā)展的模型卻可以是相同的。通過數(shù)學模型來研究自控系統(tǒng)，可以擺脫各種不同類型系統(tǒng)的外部特征，研究其內在的共性運動規(guī)律。,5,建立合理的數(shù)學模型,建立的數(shù)學模型既有準確性，又有簡化性 一般應根據(jù)系統(tǒng)的實際結構參數(shù)及要求的計算精度，略去一些次要因素，使模型既能準確反映系統(tǒng)的 動態(tài)本質，又能簡化分析計算的工作。 除非系統(tǒng)含有強非線性或參數(shù)隨時間變化較大，一般盡可能采用線性定常數(shù)學模型描述自動控制系統(tǒng),被控對象的描述：微分方程,被控 對象,,,輸出y(t),輸入u(t),微分方程及其解法的理論是整個控制理論的基礎。,2.1 系統(tǒng)的微分方程,2.1.1. 建立系統(tǒng)或元件微分方程的步驟,確定元件輸入量和輸出量 根據(jù)物理或化學定律，列出元件的原始方程 在可能條件下，對各元件的原始方程進行適當簡化，略去一些次要因素或進行線性化處理 消去中間變量，得到描述元件輸入和輸出關系的微分方程 對微分方程進行標準化處理：與輸出量相關的各項置于等號左側，而與輸入量相關的置于等號右邊；等號左右各項均按降冪排列；將各項系數(shù)歸化為具有一定物理意義的形式,機械系統(tǒng)微分方程,例1：彈簧-質量-阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)，如圖2-1所示。列出以外力F(t)為輸入量，以質量的位移x(t)為輸出量的運動方程式。,解：按照列寫微分方程式的一般步驟有：,1）確定輸入量、輸出量，作用于質量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t) ，均作為中間變量；,2）假設當無外力作用時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)；,3）由牛頓第二定律寫原始方程：,4）寫中間變量與輸出變量的關系式：,5）將上式代入原始方程消中間變量得：,6）整理成標準型：,該標準型為二階線性常系數(shù)微分方程，系統(tǒng)中存在兩個儲能元件質量和彈簧，故方程式左端最高階次為二。,令,則方程化為：,機械旋轉系統(tǒng),[例2]：設有一個慣性負載和粘性摩擦阻尼器組成的機械旋轉系統(tǒng)，試列出以外力矩M(t)為輸入信號，角位移θ(t)為輸出信號的數(shù)學模型。,解 ：,1）確定輸入量、輸出量,2）對于機械轉動系統(tǒng)，牛頓定律可以表示為：,3）化簡,4) 標準化,uc,ur,例3: RC電路,+,-,uc,ur,+,-,C,i,R,輸入量：,輸出量：,(1) 確定輸入量和輸出量,(2) 建立初始微分方程組,(3) 消除中間變量，使式子標準化,ur= Ri + uc,,,根據(jù)基爾霍夫定律得：,,,微分方程中只能留下輸入、輸出變量，及系統(tǒng)的一些常數(shù)。,,,RC電路是一階常系數(shù)線性微分方程。,電氣系統(tǒng)的微分方程,例4：電阻-電感-電容串聯(lián)系統(tǒng)，如圖2-1所示。列出以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡微分方程式。,解：按照列寫微分方程式的一般步驟有：,1）確定輸入量、輸出量、中間變量i（t）；,2）忽略輸出端負載效應；,3）由基爾霍夫定律寫原始方程：,4）列寫中間變量與輸出變量的關系式：,5）將上式代入原始方程消中間變量得：,表2-1 相似系統(tǒng)中的相似變量,定義：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有相同的形式，就是相似系統(tǒng)，而在微分方程中占據(jù)相同位置的物理量，叫做相似變量。,相似系統(tǒng),拉氏變換法求解步驟： 1. 考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行拉氏變換，得到變量s的代數(shù)方程； 2. 求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達式； 3. 對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時域表達式，即為所求微分方程的解。,求解方法：經(jīng)典法、拉氏變換法。,拉普拉斯變換,拉氏(laplace)變換 定義：設函數(shù)f(t)當t=0時有定義，而且積分 存在，其中s是復數(shù),則稱F(s)是f(t)的象函數(shù),即f(t)的拉氏變換。記為 f(t)稱為 F(s)的原函數(shù)。,拉氏反變換為,,,函數(shù)f(t)的拉氏變換,,,當t0, f(t)=0,,,拉氏積分運算符,拉普拉斯變換說明,可以證明：f(t)和F(s)將形成一一映射,(1) s是復變量： 在求取拉普拉斯變換時，s的唯一作用是使拉普拉斯積分收斂，可以看成常數(shù)。,例如：,說明,當 時，有,(2) f(t)是實函數(shù)，且滿足：,22,單位階躍函數(shù)1(t) 單位階躍函數(shù)的拉氏變換為,23,單位脈沖函數(shù) 單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為,2)單位斜坡函數(shù),,,,t,0,t,幾個重要的拉氏變換,26,拉氏變換的基本性質 (1) 線性性質 原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。 (2) 微分性質 若 ，則有 f(0)為原函數(shù)f(t) 在t=0時的初始值。,(3) 積分性質 若 則 式中 為積分 當t=0時的值。,27,(4) 終值定理 即原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值。,(5) 初值定理： (6) 位移定理： a.實域中的位移定理，若原函數(shù)在時間上延遲 ，則其 象函數(shù)應乘以 b.復域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲a，原函數(shù)應 乘以 ，即,28,例2.1：用拉氏變換解微分方程,29,重點 建立微分方程要掌握所涉及系統(tǒng)的關鍵公式 例如：牛頓第二定律、克?；舴蚨?、質量守恒定律，剛體旋轉定律等 建立的微分方程的標準形式 特點： 方法直觀，但是微分方程的求解麻煩，尤其是高階系統(tǒng)。,,重要提示,我們這個課程會使用很多的數(shù)學工具，但是我們不是一門數(shù)學課程，學習過程中要特別注意工程的意義！,復域模型 – 傳遞函數(shù),2.3.1. 傳遞函數(shù)的定義與性質,定義： 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)輸入量的拉氏變換之比。 問題的提出 傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性，而且還可以用來研究系統(tǒng)的結構或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響,所謂零初始條件是指 1）輸入量在t0時才作用在系統(tǒng)上，即在 時系統(tǒng)輸入及各項導數(shù)均為零； 2）輸入量在加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)，即在 時系統(tǒng)輸出及其所有導數(shù)項為零。,,33,設r(t)和c(t)及其各階導數(shù)在t=0時的值為0，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，可得s的代數(shù)方程為： 由定義得系統(tǒng)得傳遞函數(shù)為,設線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述： 式中c(t)為系統(tǒng)輸出量，r(t)為系統(tǒng)輸入量，ai(i=1，2，3…n)和 bj (j= 1,2,3….m )是與系統(tǒng)結構和參數(shù)有關的常系數(shù),,,,,分母中s的最高階次n即為系統(tǒng)的階次，該系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。,試列寫網(wǎng)絡傳遞函數(shù) Uc(s)/Ur(s).,例2.5 如圖RLC電路，,解: 零初始條件下取拉氏變換：,傳遞函數(shù)：,35,性質 傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式函數(shù)，分子多項式的次數(shù)m 低于或等于分母多項的次數(shù)n，所有系數(shù)均為實數(shù)； 傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，可經(jīng)簡單置換而轉換； 傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性。（傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結構參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素無關，可見傳遞函數(shù)有效地描述了系統(tǒng)的固有特性.） 只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，不能表征內部所有狀態(tài)的特征。 只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。 服從不同動力學規(guī)律的系統(tǒng)可有同樣的傳遞函數(shù)。 傳遞函數(shù)有一定的零、極點分布圖與之對應，因此傳遞函數(shù)的零、極點分布圖也表征了系統(tǒng)的動態(tài)性能。,36,,傳遞函數(shù)的物理意義 顯然，在零初始條件下，若線性定常系統(tǒng)的輸入的拉氏變換為，則系統(tǒng)的輸出的拉氏變換為 系統(tǒng)的輸出為 由于單位脈沖輸入信號的拉氏變換為 所以，單位脈沖輸入信號作用下系統(tǒng)的輸出的拉氏變換為,,,,,37,,單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出為g(t),則 可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出。因此，系統(tǒng)的單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出完全描述了系統(tǒng)動態(tài)特性，所以也是系統(tǒng)的數(shù)學模型，通常稱為脈沖響應函數(shù)。,,38,2.3.2. 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),比例環(huán)節(jié): 輸出量無滯后，按比例復現(xiàn)輸入量,,電位器,39,慣性環(huán)節(jié) 該環(huán)節(jié)存在儲能元件，典型慣性環(huán)節(jié)的微分方程為一階常微分方程，其特點是當系統(tǒng)輸入有階躍變化時，系統(tǒng)輸出是由零逐漸跟上，如圖所示。(a)為系統(tǒng)的輸入變化，(b)為系統(tǒng)的輸出響應。輸出按單調指數(shù)規(guī)律上升.,,40,積分環(huán)節(jié) 輸出量與輸入量對時間的積分成正比,微分環(huán)節(jié) 輸出量與輸入量的導數(shù)成正比,積分放大器原理,41,例2.6：如圖所示衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng),對偏航角的控制,,,其中A、B為斜對稱配置的噴氣發(fā)動機，推力均為F/2，成對工作。每個發(fā)動機到質心的距離為l，那么產(chǎn)生的力矩為T=Fl，假設衛(wèi)星的轉動慣量為J，角位移θ(t)為輸出量，產(chǎn)生的力矩T為輸入量，那么根據(jù)牛頓第二定律，注意到在衛(wèi)星周圍的環(huán)境中不存在摩擦，所以有,,,其中T’＝J/l,這是由兩個積分環(huán)節(jié)組成的。,42,振蕩環(huán)節(jié)（二階環(huán)節(jié)） 該環(huán)節(jié)存在兩個儲能元件，且所儲兩種能量可以互相轉換，故動態(tài)過程表現(xiàn)出振蕩特性,,43,：無阻尼自然振蕩頻率 ：阻尼比,延滯環(huán)節(jié) 延滯時間（死區(qū)時間） 輸出量相對于輸入量滯后一個恒定時間,45,關于典型環(huán)節(jié)的幾點說明,一個不可分割的裝置或元件可能含有若干典型環(huán)節(jié) 例如：無源網(wǎng)絡 同一元部件，若選擇不同的輸入量和輸出量，將由不同的典型環(huán)節(jié)組成,,,,,,,,,,,C,R,ur（t）,uc（t）,46,,有理分式形式 傳遞函數(shù)最常用的形式是下列有理分式形式 傳遞函數(shù)的分母多項式 D(s)稱為系統(tǒng)的特征多項式, D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，D(s)=0的根稱為系統(tǒng)的特征根或極點。 分母多項式的階次定義為系統(tǒng)的階次。對于實際的物理系統(tǒng)，多項式D(s)、N(s)的所有系數(shù)為實數(shù)，且分母多項式的階次 n高于或等于分子多項式的階次m，即 n≥m。,,,,2.3.3.傳遞函數(shù)的表示方式,47,,零極點形式 將傳遞函數(shù)的分子、分母多項式變?yōu)槭滓欢囗検?，然后在復?shù)范圍內因式分解，得 n≥m （2.66）,,,,式中 ，稱為系統(tǒng)的零點； 為系統(tǒng)的極點； 為系統(tǒng)的根軌跡增益。 系統(tǒng)零點、極點的分布決定了系統(tǒng)的特性，因此，可以畫出傳遞函數(shù)的零極點圖，直接分析系統(tǒng)特性。在零極點圖上，用“ ”表示極點位置，用“ ”表示零點,,,,,