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數(shù)字信號處理教程 Digital Signal Processing,1.信號處理,所謂處理就是變換。信號處理是研究對信號進行各種處理和利用的技術。 信號處理——對采集到的信號以一定的設備（指 計算機或專用處理設備）、手段、按一定的目的、步驟對其加工或變換。,2.數(shù)字信號處理,（一）信號分類 模擬信號——時間和幅度都是連續(xù)取值的。 數(shù)字信號——時間和幅度上都是取離散值。 系統(tǒng)的分類與要處理的信號形式相對應,（二）信號處理系統(tǒng)分類,① 模擬信號處理系統(tǒng) ② 數(shù)字信號處理系統(tǒng) 系統(tǒng)指實現(xiàn)信號處理的設備。,,,① 模擬信號處理系統(tǒng),指輸入和輸出均為模擬信號的系統(tǒng)。,② 數(shù)字信號處理系統(tǒng),指輸入和輸出均為數(shù)字信號的系統(tǒng)。,3.數(shù)字信號處理的優(yōu)點：,數(shù)字信號處理技術與模擬處理技術相比較，具有非常突出的優(yōu)點，所以在無線電電子學的各個技術領域內，人們往往將信號的模擬處理方式改用數(shù)字方式去處理。 其主要優(yōu)點表現(xiàn)為： （1）精度高 （2）靈活 （3）穩(wěn)定性強。,4. 數(shù)字信號處理的應用,,① 機械振動噪聲研究中的DSP技術,② 通信系統(tǒng)中的信號變換處理：,③ 地震信號處理,④ 語音信號處理,包括四個方面：,⑤ 圖像信號處理：,⑥ 生物醫(yī)學信息處理：,⑦ DSP在網(wǎng)絡上有眾多的應用,,數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成,采樣器（每隔T秒采集一次輸入信號的幅度）,采樣的過程實際是對模擬信號的時間量化過程，采樣后的信號稱為離散時間信號。,以上是數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成的方框圖。,,,作用？,LPF,1．單位脈沖序列,2.單位階躍序列,3．矩形序列,常用序列,4．指數(shù)序列,有界序列： ?k?Z |x [k]| ? Mx 。 Mx是與 k無關的常數(shù),aku[k]： 右指數(shù)序列,,|a| ?1序列有界,aku[-k]： 左指數(shù)序列,,|a| ?1序列有界,5．虛指數(shù)序列(單頻序列),角頻率為w 的模擬信號,數(shù)字信號角頻率W=T w,虛指數(shù)序列 x [k]=exp( jW k) 是否為周期的? 如是周期序列其周期為多少？,即W / 2p為有理數(shù)時，信號才是周期的。,如果W / 2p=m / L , L, m 是不可約的整數(shù)，則信號的周期為L。,6．正弦型序列,例 試確定余弦序列x[k] = cosW0k 當(a) W0=0 (b) W0=0.1p (c) W0=0.2p (d) W0=0.8p (e) W0=0.9p (f) W0=p 時的基本周期。,解： (a) W0 /2p= 0/1， N=1。 (b) W0 /2p=0.1/2=1/20， N=20。 (c) W0 /2p=0.2/2=1/10， N=10。 (d) W0 /2p=0.8/2=2/5， N=5。 (e) W0 /2p=0.9/2=9/20,? N=20。 (f) W0 /2p=1/2, N=2。,1、序列的運算,移位 翻褶 和 積 累加 差分 時間尺度變換 卷積和,8）卷積和（重點）,設兩序列x(n)、 h(n)，則其卷積和定義為：,,1）翻褶：,2）移位：,3）相乘：,4）相加：,舉例說明卷積過程,二、線性移不變系統(tǒng),一個離散時間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運算。,1、線性系統(tǒng),若系統(tǒng) 滿足疊加原理： 或同時滿足： 可加性： 比例性/齊次性： 其中： 則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。,實數(shù) 復數(shù),例：證明由線性方程表示的系統(tǒng),是非線性系統(tǒng),2、移不變系統(tǒng),若系統(tǒng)響應 與激勵 加于系統(tǒng)的時刻無關，則稱為移不變系統(tǒng)（或時不變系統(tǒng)）,y(n),x(n),例：試判斷,是否是移不變系統(tǒng),,同時具有線性和移不變性的離散時間系統(tǒng)稱為線性移不變系統(tǒng) LSI：Linear Shift Invariant,4、LSI系統(tǒng)的性質,(1)交換律,(2)結合律(級聯(lián)),(3)分配律(并聯(lián)),5、因果系統(tǒng),若系統(tǒng) n時刻的輸出，只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而與n時刻以后的輸入無關，則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。,LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：,6、穩(wěn)定系統(tǒng),穩(wěn)定系統(tǒng)是有界輸入產生有界輸出的系統(tǒng) 若,LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：,則,例1：已知常系數(shù)線性差分方程 若邊界條件 求其單位抽樣響應 h(n)。,第三章 z變換,一．Z變換的定義 序列 的Z變換定義為,二．Z變換的收斂域（ROC）,Z變換的ROC，一般是Z平面上以原點為中心的環(huán)形區(qū)域。,稱為收斂半徑。收斂半徑與序列有密切關系，對于不同形式的序列其收斂域不同。,結 論：,1）Z變換存在著收斂的問題，不是任何信號都存 在Z變換，也不是任何復數(shù)Z都能使 收斂。 2）僅僅由 的表達式不能唯一確定一個信號， 只有 連同相應的ROC一道，才能與信號建 立一一對應的關系。 3）Z變換的ROC，一般是Z平面上以原點為中心的 環(huán)形區(qū)域。,4）如果 ，則其ROC是各個 的 ROC的公共區(qū)域。如果沒有公共區(qū)域則表達式 的Z變換不存在。 5）當 是有理函數(shù)時，其ROC的邊界總是由 的極點所在的圓周界定的。 6）若 的ROC包括單位圓，則有,1. 有限長序列,其Z變換為,如果 選擇不同，收斂域可以進一步擴展。,當 時,,當 時,,2.右邊序列 指 只在 時有值， 時，,右邊序列 的收斂域,,右邊序列總是收斂的，右邊序列的Z變換的ROC一定位 于最外部極點的外部，但可能不包含 點。右邊序列 收斂域是 。 右邊序列不一定是因果序列，只有在 時，ROC包 含 點時才是因果序列。因此，因果序列的收斂域一 定包括 點。 因果序列的收斂域為：,3.左邊序列,左邊序列 只在 時有值， 時， 。 左邊序列的Z變換為：,,左邊序列的Z變換的收斂域一定位于最內部極點的內部， 其收斂域為：,,,左邊序列 的收斂域,4.雙邊序列 雙邊序列可看作左邊序列和右邊序列之和，其Z變換為：,雙邊序列的收斂域應該是左邊序列和右邊序列的公共部分。雙邊序列的收斂域一定是環(huán)形區(qū)域，其收斂域為：,雙邊序列 的收斂域,時 是左邊序列,且是反因果的,其傅氏變換不存在。,時 是雙邊序列,傅氏變換存在。,若其ROC為：,1,則 為右邊序列,且是因果的,但其傅氏變換不存在。,,2,,3,ROC是否包括 ，是 是否因果的標志。 ROC是否包括 ，是 是否反因果的標志。,3.3 Z反變換,Z反變換的一般數(shù)學表達式為,式中積分表示對X(z)Zn-1進行的圍線積分，積分路徑C是一條在X(z)收斂域 以內，逆時針環(huán)繞原點一周的單圍線，如圖所示:,反變換的求取方法： 1. 部分分式展開法： 當 是有理函數(shù)時,,步驟：1.求出 的所有極點 ，并展開為部分分式； 2.收斂域是每一部分分式收斂域的公共部分。,3.利用常用變換對和Z變換性質求出每項的反變換。 如果為右邊序列，則 若為左邊序列，則,Z變換的許多性質與DTFT的性質相似，其推論方法也相同，主要討論其ROC的變化。,則,：包括,3.4 Z變換的基本性質：,1. 線性：,信號時移時可能會改變其因果性，故 ROC在 ， 有可能改變。,但在 和 可能會有增刪。,2. 時移：,3. Z域尺度變換：,時移特性小結：,4.頻移性質：,信號 乘以復指數(shù)，在Z平面 所有的零極點將旋轉一個 。,5.時域反轉：,信號在時域反轉，會引起 的零極點分布 按倒量對稱發(fā)生改變。 如果 是 的零/極點, 則 就是 的零/極點。,即： 與 的零極點呈 共軛倒量對稱。,例：,的ROC為,則 的ROC為,6.時間擴展:,為 的整數(shù)倍,其他,若,則,7.共軛對稱：,當 是實信號時， 于是有,表明 如果有復數(shù)零極點，必共軛成對出現(xiàn)。,證明：,,8.卷積性質：,包括,如果在相乘時出現(xiàn)零極點抵消的情況則ROC 可能擴大。,該性質是LTI系統(tǒng)Z變換分析法的理論基礎。,,9.Z域微分：,利用該性質可以方便地求出某些非有理函數(shù) 的反變換或具有高階極點的 的反變換。,例1.,解：,拉氏變換、傅氏變換與Z變換的關系,① 與 的關系(指s平面實軸與z平面模的關系),根據(jù)關系式 我們很容易得出以下結論,即,一個離散時間非周期信號及其頻譜之間的關系，可用序列的傅立葉變換（DTFT)表示為,以上級數(shù)收斂的條件是,序列的傅氏變換就是序列 的Z變換在單位圓上的值。,由此推出幾點結論:,2． , 單位圓上的z變換就是序列的傅氏變換；,3． , 單位圓上的z變換也是數(shù)字序列的頻譜；,1． , 采樣信號在s平面虛軸的拉氏變換就是 序列的傅氏變換；,離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)的頻率響應,一個線性時不變系統(tǒng)，其輸入輸出關系可以用卷積和表示為：,系統(tǒng)函數(shù) 或,若在單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應，即,通常我們設計的數(shù)字系統(tǒng)應該是一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)。一個LTI系統(tǒng)滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位脈沖響應h(n)必須滿足絕對可和。即：,因此，一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域應該包括單位圓和 點。即：,如果系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包括單位圓|Z|=1。如果單位脈沖響應h(n)是因果序列，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域應包括 。,一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)的全部極點必須位于單位圓內。,第四章 離散傅立葉變換（DFT） DFT—Discrete Fourier Transform,四種傅立葉變換形式表明這樣一個結論：,周期序列的離散傅立葉級數(shù),其中 稱為旋轉因子或W因子。,W因子具有如下特性：,周期序列的離散傅立葉級數(shù)的物理意義在于： 盡管是無限長序列，但只要知道一個周期的內容就等于知道了整個序列的內容。因此，無限長序列實際上只有N個序列值是含有獨立信息的，它的頻域也一定只有N個獨立變量。,有限長序列的離散傅立葉變換，簡稱DFT,正變換,反變換,離散傅立葉變換（DFT）,有限長序列 是非周期的，其傅立葉變換是連續(xù)的、周期的頻譜，而 則是離散的、有限長序列。我們可以這樣來理解：,4.離散傅立葉變換的主要性質,(1) 線性：滿足可加性和齊次性 (2) 圓周位移（Circular Shift of a Sequence） 一個有限長序列 的圓周位移是這樣定義的：,(3) 圓周卷積（Circular Convolution）,設 均為長度為N的有限長序列,如果 ，求：,令 分別為 的周期延拓,舉例說明圓周卷積的過程 設 、 長度均為N=8，求：f(n)=x(n) y(n),圓周卷積過程是將兩個長度相同的有限長序列使其周期化，然后進行周期卷積，卷積的結果取其主值序列，就是所求的圓周卷積的結果。,從分析兩種卷積過程我們得到啟示：如果把 、 均作擴展(補零)，使其長度 ，這時圓周卷積和線性卷積的結果完全一樣。因此，如果圓周卷積要替代線性卷積，首先要將,長度為N的 ，補零補到 L＝N+M-1 長度為M的 ，補零補到 L＝N+M-1,作L點的DFT，這時,圓周卷積等于線性卷積的條件是序列的長度 L＝N+M-1,（5）共軛對稱性,如果 為 的共軛復數(shù)序列，且 則,（4）線性卷積用圓周卷積運算的條件,（6）序列實部與虛部的DFT變換,復習共軛對稱的概念 對于實序列 共軛偶對稱滿足 偶對稱序列滿足 共軛奇對稱滿足 奇對稱序列滿足,二．頻率采樣,1．長度為M的有限長序列 與采樣周期N（采樣點數(shù)）的關系,①如果序列長度 M≤N 采樣周期，那么我們可以從 中不失真地恢 復出原始信號 。這時可以得到：,頻率采樣不失真的條件是 N≥M，,如果滿足N≥M 的條件， 乘上一個時窗函數(shù)，就可以不失真地恢復出原始的,② 如果 MN 時，說明頻率采樣間隔不夠密， 在被周期重復的過程中，就會出現(xiàn)某些序列值交疊在一起，產生混疊現(xiàn)象，這時就不能從 中不失真地恢復出原信號序列 。,,③ 如果 為無限長序列，時域的周期延拓必然會造成混疊現(xiàn)象， 將不能夠完全消除誤差，無論N取何值 ，它只能是隨著采樣 點數(shù)N的增加，使 逐步逼近 。,,第五章 快速傅里葉變換（FFT）,考察DFT的運算特點發(fā)現(xiàn),利用以下兩個特性可減少運算量： 1）系數(shù) 是一個周期函數(shù)，利用它的周 期性和對稱性可改進運算，提高計算效率。,DFT的運算特點,周期性,對稱性,我們利用系數(shù) 的周期性和對稱性，考察它 是如何簡化DFT運算的過程。,2) 因為DFT的計算量正比于N2，N小計算量也就小。 因此可以把長度為N點的大點數(shù)的DFT運算依次 分解為若干個小點數(shù)的DFT來運算。 FFT算法正是基于以上兩點基本思想來提高DFT的 運算速度。FFT算法基本上可分為兩大類： 按時間抽取FFT算法和按頻率抽取FFT算法。,結論：,1) 利用系數(shù) 的周期性和對稱性可以提高DFT的 運算速度。上例中作一次DFT需 N2=16次乘法運 算，而FFT只需6次乘法運算。,按時間抽取的蝶形運算流圖：,時間抽取法FFT的運算特點：,（1）蝶形運算,（2）原位運算結構,（3）碼位倒置變換,（4）蝶形類型隨迭代次數(shù)成倍增加,（1）蝶形運算,復乘： 復加： 而直接進行DFT運算時則與N2 成正比。,（2）原位運算結構（同址運算） （3）碼位倒置變換,觀察N=23=8點FFT的蝶形系數(shù) ： 第一級：有一種類型的蝶形運算系數(shù) 第二級: 有二種類型的蝶形運算系數(shù) 、 第三級: 有四種類型的蝶形運算系數(shù) 、 、 、 第L級: 有 種蝶形運算系數(shù),（4）蝶形圖的系數(shù),N＝8點按時間抽取的FFT運算流圖,第一級蝶形,第二級蝶形,第三級蝶形,按頻率抽取的FFT,頻率抽取法是N=2M情況下的另外一種FFT算法,按時間抽取FFT算法的基本思路,按頻率抽取FFT算法的基本思路,x(n)按奇、偶一級級分開， X(k)按前一半、后一半一級級分開。,X(k)按奇、偶一級級分開， x(n)按前后對半一次次分開。,按頻率抽取的蝶形運算流圖：,（1）輸入按奇、偶分解：,（2）輸入按前、后分解：,第六章 數(shù)字濾波器的基本結構,數(shù)字濾波器實現(xiàn)的方法有兩種 硬件實現(xiàn)——設計專用數(shù)字信號處理器或通用數(shù)字信號處理器來實現(xiàn)，通常稱為DSP芯片，這類芯片主要是解決實時處理要求的單片可編程處理器芯片。 計算機軟件實現(xiàn)——利用計算機把濾波器要完成的運算編成程序，通過計算機來執(zhí)行，稱為軟件實現(xiàn)。 運算過程中必然會引入種種誤差，這些誤差來源主要有三個方面： 1、采樣信號的量化誤差： 2、系數(shù)的量化誤差： 3、算術運算誤差：,三 數(shù)字濾波器的分類,1、按h(n) 的長短,IIR DF 無限長單位脈沖響應的濾波器 （h(n)有無限個樣點值）,FIR DF 有限長單位脈沖響應濾波器 （h(n)有有限個樣點值）,2、按實現(xiàn)的方法和形式,遞歸型（IIR DF利用遞歸型比較容易實現(xiàn)， 但也不排除混合型結構）,非遞歸型（FIR DF用非遞歸型易于實現(xiàn)，但有時也采用混合型結構）,3、按頻率特性,低通 LP (Low pass) 高通 HP (High pass),帶通 BP(Band pass) 帶阻 BS (Band stop),遞歸方法——系數(shù) 、 不全為零，輸出序列y(n)取決于現(xiàn)在的輸入序列x(n)和過去的輸入x(n-1),x(n-2)…及過去的輸出序列y(n-1),y(n-2)….。 非遞歸方法—— ＝0,現(xiàn)在輸出序列僅與現(xiàn)在和過去的輸入序列有關，而與過去的輸出序列無關，不需要將計算結果重新作為輸入，稱為非遞歸方法。,IIR濾波器的基本結構 1、直接I型結構 N階IIR濾波器傳遞函數(shù)可以表示為 ：,H(Z)= =,2、正準型（直接Ⅱ型） 把直接Ⅰ型中的兩個N階延時鏈合二為一，變成一個N 階延時鏈 。,直接Ⅰ，Ⅱ型的缺點： ①系統(tǒng)零，極點調整困難。 由系統(tǒng)函數(shù)可知：分子系數(shù)對零點有影響，分母系數(shù)對極點有影響。調整濾波器的零、極點時可只調整 ， 系數(shù)，而不能直接調整零、極點。所以系數(shù)對濾波器的性能作用不明顯（因為 、 與系統(tǒng)函數(shù)的零、極點關系不是直接的關系，而是間接關系。）。 ②系統(tǒng)的變化過于靈敏（是指對有限精度運算過于靈敏）。 因為 、 系數(shù)對所有的零、極點有關，所以對 、 的精度要求比較高。當階數(shù)越高時，要求精度就越高。 由于有限字長效應的影響，造成這種結構容易產生較大誤差，甚至系統(tǒng)會出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況。,3、級聯(lián)型（鏈接型）,為零點； 為極點,,優(yōu)點： ①每個二階節(jié)僅決定一對共軛的零極點，而不影響其它的零極點，系數(shù)靈敏度低，調整起來相互影響不大，所以這種結構比較方便和準確的實現(xiàn)數(shù)字濾波器的零，極點。便于調整濾波器的頻率響應特性。 ②級聯(lián)結構硬件簡單，結構規(guī)則，具有最少存儲器，所以是實際中使用最多的結構形式。 缺點： 存在計算誤差累積,4、并聯(lián)型 系統(tǒng)函數(shù)H(Z)用部分分式展開：,Q的階數(shù)≧P的階數(shù)， 為因果系統(tǒng),對于其中的共軛極點和零點可合并為二階實系數(shù)多項式,并聯(lián)型優(yōu)點： ①極點可獨立控制，但零點不易控制。因為基本節(jié)的零點并非整個系統(tǒng)的零點。如果要求有準確的傳輸零點，采用級聯(lián)型最合適。 ②精度高，運算快，各基本節(jié)點的運算誤差互不影響。 并聯(lián)型結構的總誤差﹤級聯(lián)型結構的總誤差。 因為級聯(lián)型的誤差經過后面的幾環(huán)的疊加累積，越來越大，而并聯(lián)型各級誤差互不影響，所以要求不很嚴格的情況下用并聯(lián)型結構較好。 IIR濾波器四種濾波結構比較： 直接Ⅰ、Ⅱ型結構簡單直觀； 級聯(lián)型零極點控制方便； 并聯(lián)型精度高。,6.3 FIR濾波器的結構,這就是說，它有(N-1)階極點在z=0處，有(N-1)個零點位于有限Z平面的任何位置，所以FIR濾波器有時也稱為全零點濾波器。,1、橫截型結構（FIR的直接型，卷積型）,＝,3、頻率采樣型 FIR濾波器的傳輸函數(shù) 在單位圓上的等間隔采樣值是的離散傅立葉變換值 ，即 。,2、級聯(lián)型,把H(z)因式分解為M個二階實系數(shù)因子相乘的形式，這樣就可用二階節(jié)級聯(lián)起來構成:,優(yōu)點：這種結構每一節(jié)控制一對零點，因而在需要控制傳輸零 點時，可以采用它。但這種結構方式不如橫截型結構經 濟（只要是指系數(shù) 比 要多，因而所需乘法運算 多）。,例題：畫出系統(tǒng)函數(shù) 所對應的數(shù)字濾波器的結構,解：1. 直接Ⅱ型：根據(jù)公式,2. 級聯(lián)形式：將 分解成,因此 可以分解成 和兩個一階系統(tǒng):,3. 并聯(lián)形式：將 展開成部分分式得,其結構為,第七章 IIR濾波器的設計方法,,說明一下符號表示的含義： DF ---- 數(shù)字濾波器 AF ---- 模擬濾波器,時域單位脈沖響序列 時域的單位脈沖響應 AF的采樣序列 DF的傳遞函數(shù) AF的傳遞函數(shù) DF的頻率響應 AF的頻率響應,,,,,,,,,７.1 IIR濾波器設計的特點,IIR —— 指單位脈沖響應為無限長的濾波器，也就是指濾波器的 有無限個離散值。,一. IIR濾波器的一般設計方法：,,,1．巴特沃思濾波器（butterworth）——— 最平響應濾波器 巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)定義為：,N —— 為整數(shù)，表示濾波器的階次； —— 為截止頻率。,,當 時， 當 時， 又稱為濾波器的3bB帶寬,巴特沃斯低通濾波器的特點： ① 在 處，即靠近零頻處，衰減為0 ，所以巴特沃斯濾波器通帶內具 有最大平坦的振幅特性，故得名為最平坦響應濾波器。 ② 巴特沃思低通濾波器沒有有限零點,零點出現(xiàn)在 處，它屬于“全極 點型濾波器”。,2．切比雪夫濾波器 (chebychev) 切比雪夫濾波器也是一種全極點型濾波器，它的幅度平方函數(shù),其中： —表示通帶波紋大小，是小于1的正數(shù)， 越大，波紋越大。,—為濾波器的截止頻率，但 并不是3db帶寬）。,切比雪夫低通濾波器的特點： 通帶內等起伏，通帶外衰減快； 由于過渡帶較窄，因此相位特性較差。,,3．考爾濾波器(cauer),考爾濾波器的特點： 通帶內、外都是等起伏。 由于過渡帶較窄，因此相位特性較差。,四．S平面到Z平面的映射變換,利用模擬濾波器來設計數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器的傳遞函數(shù) 設計數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) ，即,,這種變換歸根結底是一個由S平面到Z平面的變換，并且通常是復變函數(shù)的映射變換，這種映射變換應該滿足兩個基本的要求：,的頻響應該模仿 的頻響 即要求,②是因果穩(wěn)定的映射 指 的因果穩(wěn)定性通過映射后， 仍保持因果穩(wěn)定。,,脈沖響應不變法,根據(jù)容限設計好一個模擬濾波器后，就可對此模擬系統(tǒng)進行模仿。數(shù)字濾波器從什么角度去模仿模擬濾波器呢？第一種方法是脈沖響應不變法。,1. 脈沖響應不變法,模擬 系統(tǒng),,,,,LTI系統(tǒng)特性可以完全由它的沖激響應決定,,數(shù)字 系統(tǒng),,,,,脈沖響應不變法讓數(shù)字濾波器的脈沖響應和模擬濾波器的脈沖響應在采樣點上完全一樣。即：,,單位脈沖響應不變法的設計思想是： 使數(shù)字濾波器從時域去模仿模擬濾波器。,,下面我們舉例說明脈沖響應不變法的應用：,[例]：已知AF的系數(shù)函數(shù) 用脈沖響應不變法求出相應的數(shù)字濾波器的系數(shù)函數(shù),解：,模擬濾波器在 處有一個零點；在 處有一對共軛極點。,數(shù)字域中 有兩個零點 和 ，有一對共軛極點 ?？梢?，脈沖響應不變法對零點沒有一一對應的關系。,,從幅頻特性頻譜圖中可以看出：由于頻譜混疊帶來明顯的失真。很顯然， 在 處比 在 處下降的慢，這主要是因為“混疊”造成的?；殳B的主要原因是由于模擬信號頻域的不充分帶限。,5．脈沖響應不變法的特點 ① 脈沖響應不變法是一種時域設計法，數(shù)字濾波器是從時域進行模仿。 即 。,,但是S平面 Z平面的零點并沒有這種單值映射的關系,,,,這種時域模仿使得S平面的極點 Z平面的極點為,,雙線性變換法,為了尋求S平面與Z平面的一一對應關系，我們先把S平面壓縮到某一個中介的 平面的橫帶內（寬度從 到 ），然后把此橫帶再變換到整個Z平面，這時S平面與Z平面就建立了一一對應的單值的映射關系，可以消除混疊現(xiàn)象。如下圖所示：,1. 雙線性變換法,,令 ， ，則,得到 的映射關系,③ 映射到,將標準變換關系 代入 ， 從而得到 到 的雙線性 變換的單值映射關系,,現(xiàn)在來驗證上式中S和Z的變換關系是否滿足“映射變換”的兩個總要求：,,通過驗證得到以下結論： ⑴ 如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也 一定是穩(wěn)定的。 ⑵ 如果給定模擬濾波器的傳遞函數(shù) ，變量S與Z之間有簡單的代數(shù)關 系，只要用代數(shù)置換就可以得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。,雙線性變換的映射關系為：,,2．雙線性變換的頻率響應 ∵ S平面到 平面虛軸的映射關系為：,模擬域與數(shù)字域的頻率關系為：,可以看出：模擬域與數(shù)字域的頻率變換關系不是線性的，而是非線性關系。,數(shù)字濾波器的頻響,3．雙線性變換的優(yōu)缺點,① 沒有頻譜混疊 雙線性變換的最大優(yōu)點是避免了頻響的混疊效應，因為S平面的虛軸單值 對應著Z平面單位圓的一周。,② 和 的關系是非線性變換,∵ 數(shù)字頻率和模擬頻率之間的關系是,③ 設計簡單 雙線性變換是IIR濾波器設計中使用最普遍、最有成效的一種設計方法。,,[例７.1] 要求用脈沖響應不變法及雙線性變換設計一個三階Butterworth低通 濾波器。設采樣周期 (即采樣頻率 )，3dB截止頻率,解：第一步: 的設計 Butterworth濾波器的傳遞函數(shù)為：,,∵三階Butterworth濾波器N=3，有2N=6個極點，分布在半徑為 的圓上，將S平面分成6等份。為了保證設計的系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 的極點應該取S左半平面的極點，因此，S左半平面的傳遞函數(shù) 是,其中：,,當N=3時，可直接確定三階Butterworth濾波器的傳遞函數(shù) 為：,第二步：變換法設計濾波器 ①脈沖響應不變法 將 用部分分式展開為：,,將 直接變換為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：,將上式中共軛復根合并得：,,其中數(shù)字濾波器的截止頻率為 可以看出 只與臨界頻率 與采樣頻率 的相對值 有關，而與 、 的絕對大小無關，所以只要 一定，所設計的數(shù)字濾波器則具有同一個傳遞 函數(shù)，這個結論適用于所有的數(shù)字濾波器。,[例７.2] ＝1kHz ＝4kHz 則在數(shù)字域中的 ＝1MHz ＝4MHz 設計是相同的。,將 代入 中：,以上得到的是數(shù)字三階Butterworth濾波器的傳遞函數(shù) ，采用一個一階基本節(jié)和一個二階基本節(jié)并聯(lián)的結構實現(xiàn)比較方便。,,二．高通變換 在模擬濾波器的高通設計中，低通至高通的變換就是S變量的倒置變換，只 要把雙線性變換中 即可。,,低通為 高通為,將 代入上式復變量S中,數(shù)字域與模擬域的頻率映射關系為,由右圖中看出： 當 ，Z平面是映射在 上 當 ，Z平面是映射在 上,第八章 FIR濾波器的設計方法,IIR濾波器優(yōu)點是利用模擬濾波器的成果，可以簡單、有效地完成濾波器設計，尤其是雙線性變換法，沒有頻響混疊現(xiàn)象，效果很好，但它卻是以犧牲相位特性為代價而獲得的，因此IIR濾波器存在有明顯的缺點： ⑴相位的非線性。 相位不是線性的,如果要求線性相位，例如：圖 像處理、數(shù)據(jù)傳輸或要求傳輸?shù)男诺谰哂芯€性相位特性，則必須 要加一全通網(wǎng)絡進行相位校正。 ⑵有不穩(wěn)定問題。因為極點靠近單位圓，所以極點必須在單位圓內， 如果由量化誤差引起極點偏離的話，有可能造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定。,⑶采用遞歸結構。 因為遞歸結構的誤差是累計的，累計誤差比較 大時，有可能產生極限環(huán)振蕩。,針對以上這些不足，F(xiàn)IR濾波器有它獨到的優(yōu)點： ⑴相位嚴格線性。在滿足一定條件下，可以保證精確的、嚴格的線性 相位特性。 ⑵采用非遞歸結構。 非遞歸結構誤差小。不存在輸出對輸入的反饋。 ⑶無不穩(wěn)定問題。FIR濾波器的h(n)是有限長序列，除了Z=0有極點外， 有限長序列的Z變換在整個Z平面收斂，所以沒有不穩(wěn)定問題。 ⑷可用延時實現(xiàn)非因果系統(tǒng)。 因為任何一個非因果有限長序列，總可 以通過一定的延時轉變?yōu)橐蚬蛄小?⑸可采用FFT方法過濾信號。 有限長序列可以用FFT實現(xiàn)快速卷積，從 而大大地提高運算效率。,偶對稱 或 奇對稱,FIR濾波器才具有線性相位特性。,,FIR濾波器具有線性相位的充要條件是：,正交變換——通過一個網(wǎng)絡的所有信號將產生 相移，這種在所有頻率上都產生 相移的變換我們稱為信號的正交變換，具有這種特性的網(wǎng)絡稱為正交變換網(wǎng)絡。,,小結： 第一種：適合設計各種濾波器 ； 第二種：不適合設計高通、帶阻濾波器， ； 第三種：只適合設計帶通濾波器， ； 第四種：不適合設計低通、帶阻濾波器， 。,三. 零點特性 1．線性相位FIR濾波器 的特點 FIR濾波器是全零點濾波器，由于線性相位條件要求濾波器的單位 脈沖響應 必須具有：,偶對稱 ， 或奇對稱 ，,因而線性相位FIR濾波器的零點分布具有特殊的規(guī)律。,對于線性相位FIR濾波器的零點分布特性，它的傳遞函數(shù)應滿足：,如果 處是 的零點，即 ，,其中“＋”為偶對稱，“－”為奇對稱,它的倒數(shù) 處也必定是 的零點， 。,因為：,當 是實序列時， 的零點必定是共軛成對的出現(xiàn)。,如果 為零點，則 也必定是零點，那么 和 也為零。即,,① 既不在實軸上也不在單位圓上 那么零點必然是四個互為倒數(shù)的兩組共軛對。 這四個零點是：,在單位圓上 則有 ， ，即共軛對的倒數(shù)就是 它們本身，所以它們的零點必然是一對共軛對。,2．線性相位FIR濾波器的零點必須是互為倒數(shù)的共軛對,線性相位FIR濾波器的零點分布有四種可能的情況：,,這時 為實數(shù)零點，實數(shù)零點沒有共軛部分， 只有倒數(shù)部分， 的共軛就是其本身。即 ，因此，零點則是兩兩成對出現(xiàn)。,③ 在實軸上,④ 既在實軸上又在單位圓上 這時兩組四個互為倒數(shù)的共軛零點四個合為 一點，此時只存在單根，有兩種可能： a) ,位于 處有單根。 如上面討論過的第三和第四種線性相位濾波器。 b) ，位于 處有單根。 如上面討論過的第二和第三種線性相位濾波器。,3．常用的窗口函數(shù) 因為主瓣與旁瓣的關系只決定于窗口函數(shù)的形狀，所以我們可以對矩形窗的形狀稍作改變，來獲得更好性能的濾波器。在窗口法中，往往是用加寬過渡帶來換取阻帶的衰減。,a) 矩形窗,b) 升余弦窗（也稱海寧（Hanning）窗）,c) 改進的升余弦窗（也稱漢明（Hamming）窗）,d) 二階升余弦窗（也稱布拉克曼（Blackman）窗）,下圖給出四種窗口函數(shù)的頻譜，圖中以相對衰減為縱坐標，可以看出這四種函數(shù)的旁瓣衰減逐步得到提高，但與此同時主瓣寬度也相應加寬了。,IIR濾波器與FIR濾波器的比較,前面我們介紹過了IIR和FIR兩種濾波器傳遞函數(shù)的設計方法，在實際運用中應該如何去選擇？下面我們對這兩種濾波器的優(yōu)劣做一個簡單的比較。,① 性能（濾波器在相同的階數(shù)下） FIR濾波器有嚴格的線性相位。,IIR濾波器的幅度特性較好，尤其適合設計幅度特性是分段常數(shù)的選頻濾波器。但IIR濾波器的相位是非線性的。,,,,,,② 經濟性,FIR濾波器的極點在原點，只能用較高階數(shù)達到較好的選擇性。相對IIR而言，需要用較多的存儲器和較多的運算次數(shù)。,IIR濾波器可以用較少階數(shù)獲得較高選擇性，所用存儲單元及運算次數(shù)少，經濟而效率高，但卻是以犧牲相位特性為代價，選擇性愈好，相位失真愈嚴重。,,,,,,③ 傳遞函數(shù),FIR濾波器的傳遞函數(shù)是 的多項式，在S平面找不到與它相對應的 。,IIR濾波器的傳遞函數(shù)是 的有理分式，在S平面有與它相對應的 。,,,,,,④ 結構,FIR濾波器采用非遞歸型結構，不存在穩(wěn)定性的問題，運算誤差也較小。另外，F(xiàn)IR濾波器可以采用FFT快速算法，在相同階數(shù)下，運算速度快。,IIR濾波器采用遞歸型結構，極點必須在單位圓內，否則系統(tǒng)將不穩(wěn)定。另外，由于運算過程中對序列的舍入處理，會引起極限環(huán)震蕩。,,,,,,FIR濾波器不能借用模擬濾波器的現(xiàn)成設計方法。往往需要憑借經驗或借助計算機進行設計。但FIR濾波器的設計較靈活，尤其頻率采樣設計法 。,⑤設計工作,IIR濾波器可以借助于模擬濾波器的成果，一般都可以利用AF的現(xiàn)成公式、數(shù)據(jù)和表格，因而運算工作量較小。,,,,,,由以上的簡單比較可以看到IIR濾波器和FIR濾波器各有所長，所以在實際應用時應從多方面考慮加以選擇。例如，從使用角度，在對相位要求不敏感的場合，如語音通訊等，選用IIR濾波器可以充分發(fā)揮其經濟高效的特點。而對于圖像信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)纫圆ㄐ螖y帶信息的系統(tǒng)，則對線性相位要求較高，采用FIR濾波器較好。,