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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題12 概率與統(tǒng)計(jì)（含解析） 古典概型、幾何概型 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.古典概型：具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型， ①有限性試：驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，簡(jiǎn)稱古典概型．如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)＝.從集合的角度去看待古典概型，在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個(gè)集合I，基本事件的個(gè)數(shù)n就是集合I的元素個(gè)數(shù)，事件A是集合I的一個(gè)包含m個(gè)元素的子集．故. 2.幾何概型：事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無(wú)關(guān)，滿足以上條件的試驗(yàn)稱為幾何概型．在幾何概型中，事件A的概率定義為：，其中μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量，μA表示子區(qū)域A的幾何度量．要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)：①無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)；②等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性。 【講一講提高技能】 1.必備技能：(1)解答有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí)． (2)在求基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性． (3)當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解． 2． 典型例題： 例1從、、、、、、、、、中任取七個(gè)不同的數(shù)，則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是的概率為 . 分析：本題屬于古典概型，上述十個(gè)數(shù)中比小的數(shù)有個(gè)，比大的數(shù)有個(gè)，要使得所選的七個(gè)數(shù)的中位數(shù)為，則應(yīng)該在比大的數(shù)中選擇個(gè)，在比大的數(shù)中也選擇個(gè)，應(yīng)用公式計(jì)算即得. 【解析】上述十個(gè)數(shù)中比小的數(shù)有個(gè)，比大的數(shù)有個(gè)，要使得所選的七個(gè)數(shù)的中位數(shù)為，則應(yīng)該在比大的數(shù)中選擇個(gè)，在比大的數(shù)中也選擇個(gè)，因此所求事件的概率為. 例2兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過(guò)時(shí)離去，則兩人會(huì)面的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【練一練提升能力】 1.從n個(gè)正整數(shù)1，2，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n=________. 【答案】8 【解析】從n個(gè)正整數(shù)1，2，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，所有的取法有種取法，而取出的兩數(shù)之和等于5的取法只有兩種，即、，所以其概率為，解得，解得. 2. 已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，現(xiàn)將一粒紅豆隨機(jī)撒在內(nèi)，則紅豆落在內(nèi)的概率是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：令，，， 則，， 即是的重心， 條件概率與二項(xiàng)分布（理） 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.條件概率：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)“________”來(lái)表示，其計(jì)算公式為P(B|A)＝.古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)＝＝，其中，在實(shí)際應(yīng)用中P(B|A)＝是一種重要的求條件概率的方法． 2.相互獨(dú)立事件：對(duì)于事件A、B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A與B是相互獨(dú)立事件．若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)，P(A∩B)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B).若A與B相互獨(dú)立，則A與、與B、與也都相互獨(dú)立，反之，若P(A∩B)＝P(A)P(B)，則A與B是相互獨(dú)立事件． 注意：“互斥事件”與“相互獨(dú)立事件”的區(qū)別與聯(lián)系：相同點(diǎn)為二者都是描述兩個(gè)事件間的關(guān)系.不同點(diǎn)是針對(duì)問(wèn)題的角度不同. 互斥事件是針對(duì)一次試驗(yàn)下的兩個(gè)事件A,B能不能同時(shí)發(fā)生, 相互獨(dú)立事件是針對(duì)兩次或更多次不同試驗(yàn)下出現(xiàn)的兩個(gè)事件A,B，一個(gè)事件對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率有沒(méi)有影響.具體來(lái)說(shuō),相互獨(dú)立事件,不是一個(gè)事件對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生沒(méi)有影響,而是一個(gè)事件對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響.互斥事件不一定是相互獨(dú)立事件,相互獨(dú)立事件不一定是互斥事件。若存在不可能事件即概率為0的情況，如在數(shù)軸上取一個(gè)數(shù)，設(shè)事件A=“取到的數(shù)是1”，事件B=“取到的數(shù)是2”，則A、B既互斥又相互獨(dú)立；但若A、B互斥，且P(A)>0 ，P(B)>0，則它們不可能互相獨(dú)立：因?yàn)锳發(fā)生的條件下，B不可能發(fā)生，即，所以A、B不是相互獨(dú)立事件． 3．概率的計(jì)算公式： ①等可能事件的概率計(jì)算公式：； ②互斥事件的概率加法公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)； ③對(duì)立事件的概率計(jì)算公式是：P()=1－P(A)； ④相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式是：P(A?B)＝P(A)?P(B)； ⑤獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式是：。 4．離散型隨機(jī)變量及其分布列： 離散型隨機(jī)變量的分布列的概念：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，那么這樣的變量X叫做隨機(jī)變量；如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列，具有性質(zhì)： （?。﹑i_0，i＝1,2，…，n；（ⅱ）p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1. 5．二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是：（其中），于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，記作～B（np），其中n，p為參數(shù)，并記.二項(xiàng)分布實(shí)際上是對(duì)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)而言的，關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布。當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對(duì)于總體來(lái)說(shuō)又比較小，而每次抽取時(shí)又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列。 （8）數(shù)學(xué)期望與方差. ①期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為 … … P … … 則稱為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱期望.數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. ②方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機(jī)變量ξ的分布列為時(shí)，則稱為ξ的方差. 顯然，故為ξ的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)變量ξ的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量ξ取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.越小，穩(wěn)定性越高，波動(dòng)越小. ③均值與方差的常用性質(zhì)： E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；若已知隨機(jī)變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解. ④期望與方差的關(guān)系：(ⅰ)如果和都存在，則； (ⅱ)設(shè)和是互相獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，則,（不作要求）； (ⅲ)期望與方差的轉(zhuǎn)化：； (ⅳ) （因?yàn)闉橐怀?shù)）。 【講一講提高技能】 1.必備技能： （1）求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的注意點(diǎn) ①求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解． ②一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對(duì)立事件進(jìn)行求解．對(duì)于“至少”“至多”等問(wèn)題往往也用這種方法求解． ③注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：①在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同． （2）解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問(wèn)題的一般思路： ①明確隨機(jī)變量可能取哪些值． ②結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值． ③根據(jù)概率分布和期望、方差公式求解． 2.典型例題： 例1某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 分析：設(shè)A=“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B=“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則,，按公式計(jì)算即得. 【解析】設(shè)A=“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B=“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則，故選A. 例2從中任取個(gè)不同的數(shù)，事件＝“取到的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件＝“取到的個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【練一練提升能力】 1. 2015年4月21日上午10時(shí)，省會(huì)首次啟動(dòng)重污染天氣II級(jí)應(yīng)急響應(yīng)，正式實(shí)施機(jī)動(dòng)車車尾號(hào)限行，當(dāng)天某報(bào)社為了解公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查了50人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表： 年齡（歲） 頻數(shù) 5 10 15 10 5 5 贊成人數(shù) 4 6 9 6 3 4 （1）完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖； （2）若從年齡，的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2） 【解析】 （2）的所有可能取值為：0,1,2,3 所以的分布列是： 0 1 2 3 所以的數(shù)學(xué)期望是． 2甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)束相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判. （Ⅰ）求第4局甲當(dāng)裁判的概率； （Ⅱ）表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）. 【解析】 抽樣方法 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，從元素個(gè)數(shù)為N的總體中逐個(gè)不放回地抽取容量為n的樣本，如果每一次抽取時(shí)總體中的各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣適用范圍是：總體中的個(gè)體性質(zhì)相似，無(wú)明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較小。 2.系統(tǒng)抽樣：假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，第一步，先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；第二步，確定分隔間距，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段，當(dāng)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k＝；當(dāng)(n是樣本容量)不是整數(shù)時(shí)，先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣剔除-[]個(gè)個(gè)體，取k＝[]；第三步，在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l (l≤k)；第四步，按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本．系統(tǒng)抽樣的適用范圍是：元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體；各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等。 3.分層抽樣：當(dāng)總體由有明顯差別的幾部分組成時(shí)，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，常采用分層抽樣，將總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不交叉的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣．分層抽樣的應(yīng)用范圍是：總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時(shí)可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣． 【講一講提高技能】 1必備技能：在系統(tǒng)抽樣的過(guò)程中，要注意分段間隔，需要抽取幾個(gè)個(gè)體，樣本就需要分成幾個(gè)組，則分段間隔即為 (為樣本容量)，首先確定在第一組中抽取的個(gè)體的號(hào)碼數(shù)，再?gòu)暮竺娴拿拷M中按規(guī)則抽取每個(gè)個(gè)體．解決此類題目的關(guān)鍵是深刻理解各種抽樣方法的特點(diǎn)和適用范圍．但無(wú)論哪種抽樣方法，每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是相等的，都等于樣本容量和總體容量的比值． 2典型例題： 例1某初級(jí)中學(xué)有學(xué)生人，其中一年級(jí)人，二、三年級(jí)各人，現(xiàn)要利用抽樣方法取人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1，2， ……，270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號(hào)1，2， ……，270，并將整個(gè)編號(hào)依次分為段 如果抽得號(hào)碼有下列四種情況： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（ ） A．②、③都不能為系統(tǒng)抽樣 B．②、④都不能為分層抽樣 C．①、③都可能為分層抽樣 D．①、④都可能為系統(tǒng)抽樣 【答案】C 【解析】 例2某單位有840名職工, 現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法, 抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查, 將840人按1, 2, …, 840隨機(jī)編號(hào), 則抽取的42人中, 編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481, 720]的人數(shù)為 （ ） (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 分析：840人中按系統(tǒng)抽樣抽取42人,即要把840人分成42組，那么每組人數(shù)為人，區(qū)間[481, 720]長(zhǎng)度為，占組． 【解析】840人中按系統(tǒng)抽樣抽取42人，即每20人中抽取1人由題設(shè)可知區(qū)間[481, 720]長(zhǎng)度為240，落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為12人.此類問(wèn)題主要掌握系統(tǒng)抽樣方法就可解決. 【練一練提升能力】 1. 某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查．已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取_______名學(xué)生． 【答案】60． 【解析】應(yīng)從一年級(jí)抽取名． 2.某校現(xiàn)有高一學(xué)生210人，高二學(xué)生270人，高三學(xué)生300人，用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取n名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，如果已知從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為7，那么從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【解析】 頻率分布直方圖與莖葉圖 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1. ①頻率分布直方圖：在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各長(zhǎng)長(zhǎng)方形的面積表示，各小長(zhǎng)方形的面積總和等于1．連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計(jì)中稱之為總體密度曲線，它能夠更加精細(xì)的反映出總體的分布規(guī)律． 2．頻率分布直方圖的步驟如下：(ⅰ)求極差；(ⅱ)確定組距和組數(shù)；(ⅲ)將數(shù)據(jù)分組；(ⅳ)列頻率分布表；(ⅴ)畫頻率分布直方圖．頻率分布直方圖能很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀． 3．莖葉圖：莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)． 莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)： 其一是統(tǒng)計(jì)圖上沒(méi)有原始數(shù)據(jù)的損失，所有信息都可以從這個(gè)莖葉圖中得到，其二是在比賽時(shí)隨時(shí)記錄，方便記錄與表示． 4．當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留原始信息，而且可以隨時(shí)記錄，給記錄和表示都帶來(lái)方便． 【講一講提高技能】 1必備技能： (1)在頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)和平均數(shù)的方法 ①中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等． ②平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，平均數(shù)等于圖中每個(gè)小矩形面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和． (2)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定． 2典型例題： 例1某種樹(shù)木的底部周長(zhǎng)的取值范圍是，它的頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的60株樹(shù)木中，有 株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)小于100 cm. 分析：根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算底部周長(zhǎng)小于的株數(shù)為． 【解析】由題意在抽測(cè)的60株樹(shù)木中，底部周長(zhǎng)小于的株數(shù)為． 例2下面莖葉圖表示的是甲，乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績(jī)超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【練一練提升能力】 1. 某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成績(jī)分成6組： [40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為（ ） （A）588 （B）480 （C）450 （D）120 【答案】B 【解析】 試題分析：該模塊測(cè)試成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為．故B正確． 2.某學(xué)校隨機(jī)抽取個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購(gòu)物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.以組距為將數(shù)據(jù)分組成，，…，，時(shí)，所作的頻率分布直方圖是（ ） 【答案】A 【解析】由莖葉圖，有 組別 頻數(shù) 1 1 4 2 4 3 3 2 上表對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖為A，故選A. 樣本的數(shù)字特征、變量間的相關(guān)關(guān)系與獨(dú)立性檢驗(yàn) 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征： ①平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即. ②樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差： 方差，標(biāo)準(zhǔn)差 2．標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．通常用樣本方差估計(jì)總體方差，當(dāng)樣本容量接近總體容量時(shí)，樣本方差很接近總體方差． 3．兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系： ①有關(guān)概念：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同．函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系．相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系．如果一個(gè)變量的值由小變大時(shí)另一個(gè)變量的值由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)；如果一個(gè)變量的值由小變大時(shí)另一個(gè)變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)；如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系． ②回歸方程：求回歸直線，使“離差平方和為最小”的方法叫做最小二乘法，用最小二乘法求得回歸方程是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)的回歸方程，其中是待定參數(shù)．從與的計(jì)算公式與 可以看出：(ⅰ)回歸直線必過(guò)點(diǎn)；(ⅱ)與符號(hào)相同。 ③回歸分析：是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，主要判斷特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式。比如線性回歸分析就是分析求出的回歸直線是否有意義，而判斷的依據(jù)就是|r|的大小：|r|≤1，并且|r|越接近1，線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近0，線性相關(guān)程度越弱。從散點(diǎn)圖來(lái)看，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無(wú)意義。 線性相關(guān)檢驗(yàn)的步驟如下： (ⅰ)作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：x與Y不具有線性相關(guān)關(guān)系; (ⅱ)根據(jù)小概率0.05與n－2在附表中查出r的一個(gè)臨界值； （ⅲ）根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式求出r的值； （ⅳ）作統(tǒng)計(jì)推斷，如果|r|>，表明有95%的把握認(rèn)為x與Y之間具有線性相關(guān)關(guān)系； 如果|r|≤，我們沒(méi)有理由拒絕原來(lái)的假設(shè)。這時(shí)尋找回歸直線方程是毫無(wú)意義的。 4．獨(dú)立性檢驗(yàn)：22列聯(lián)表 B 合計(jì) A n11 n12 n1＋ n21 n22 n2＋ 總計(jì) n＋1 n＋2 n 構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量，利用隨機(jī)變量χ2來(lái)判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)： 若，則有95%把握認(rèn)為A與B有關(guān)；若，則有99%把握認(rèn)為A與B有關(guān)； 其中是判斷是否有關(guān)系的臨界值，應(yīng)判斷為沒(méi)有充分證據(jù)顯示A與B有關(guān)，而不能作為小于95%的量化值來(lái)判斷． 注意：線性回歸分析以散點(diǎn)圖為基礎(chǔ)，具有很強(qiáng)的直觀性，有散點(diǎn)圖作比較時(shí)，擬合效果的好壞可由直觀性直接判斷，沒(méi)有散點(diǎn)圖時(shí)，只須套用公式求r，再作判斷即可．獨(dú)立性檢驗(yàn)沒(méi)有直觀性，必須依靠作判斷． 【講一講提高技能】 1必備技能： (1)在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)的頻率，各小長(zhǎng)方形的面積的和為1. (2)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的異同 眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，平均數(shù)是最重要的量． (3)當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)較少時(shí)，可直接分析總體取值的頻率分布規(guī)律而得到總體分布；當(dāng)總體容量很大時(shí)，通常從總體中抽取一個(gè)樣本，分析它的頻率分布，以此估計(jì)總體分布． ①總體期望的估計(jì)，計(jì)算樣本平均值. ②總體方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的估計(jì)：，標(biāo)準(zhǔn)差， 方差(標(biāo)準(zhǔn)差)較小者較穩(wěn)定. 2典型例題： 例1一名小學(xué)生的年齡和身高（單位：cm）的數(shù)據(jù)如下表： 由散點(diǎn)圖可知，身高與年齡之間的線性回歸方程為，則的值為（ ） A．65 B．74 C．56 D．47 【答案】A 【解析】 例2某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位:小時(shí)） （Ⅰ）應(yīng)收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)？ （Ⅱ）根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：.估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4個(gè)小時(shí)的概率. （Ⅲ）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4個(gè)小時(shí).請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 分析：（1）利用分層抽樣的應(yīng)用可以算出，記應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù).（2）根據(jù)頻率分布直方圖可得.（3）根據(jù)題意300位學(xué)生中有人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，75人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí).又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的.可以畫出每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表，計(jì)算.則有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”. 【解析】 由（2）知，300位學(xué)生中有人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，75人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí).又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的.所以每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表如下： 每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表 男生 女生 總計(jì) 每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí) 45 30 75 每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí) 165 60 225 總計(jì) 210 90 300 結(jié)合列聯(lián)表可算得. 有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”. 【練一練提升能力】 1. 為了解某班學(xué)生喜愛(ài)打籃球是否與性別有關(guān)，對(duì)本班50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表： 喜愛(ài)打籃球 不喜愛(ài)打籃球 合計(jì) 男生 5 女生 10 合計(jì) 50 已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛(ài)打籃球的學(xué)生的概率為． （1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整； （2）是否有99.5%的把握認(rèn)為喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由； 下面的臨界值表供參考： p（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （參考公式：，其中n=a+b+c+d） 【答案】（1） 喜愛(ài)打籃球 不喜愛(ài)打籃球 合計(jì) 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合計(jì) 30 20 50 （2）有99.5%的把握認(rèn)為喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān) 【解析】 列聯(lián)表補(bǔ)充如下： 喜愛(ài)打籃球 不喜愛(ài)打籃球 合計(jì) 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合計(jì) 30 20 50 （2）∵ ∴有99.5%的把握認(rèn)為喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān)． 2. 某地區(qū)xx年至xx農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表： 年份 xx xx xx xx xx xx xx 年份代號(hào)t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析xx年至xx該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)xx農(nóng)村居民家庭人均純收入. 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為： ， 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在xx至xx該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入在逐年增加，平均每年增加千元；元. 【解析】 （一） 選擇題（12*5=60分） 1.有個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)不在同一個(gè)興趣小組的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：甲乙同學(xué)各自在一個(gè)小組時(shí)共有6種可能，甲乙同學(xué)在同一組時(shí)共有3種可能， 則這兩位同學(xué)不在同一個(gè)興趣小組的概率為．故C正確． 2.抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(jī)（單位：環(huán)），結(jié)果如下： 則成績(jī)較穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為 . 【答案】2 【解析】由表中數(shù)據(jù)知，乙運(yùn)動(dòng)員成績(jī)穩(wěn)定，平均成績(jī)， 方差. 3.四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論： ① y與x負(fù)相關(guān)且； ② y與x負(fù)相關(guān)且； ③ y與x正相關(guān)且； ④ y與x正相關(guān)且. 其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D． ①④ 【答案】 D 【解析】由正負(fù)相關(guān)的定義知，①錯(cuò)，表達(dá)式表示的是正相關(guān)，④錯(cuò)，表達(dá)式表示的負(fù)相關(guān)，故①④一定錯(cuò),選D. 4.名同學(xué)參加投籃比賽，每人投20球，投中的次數(shù)用莖葉圖表示（如圖），設(shè)其平均數(shù)為，中位數(shù)為，眾數(shù)為，則有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 5.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則（ ） A．甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù) B．甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù) C．甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差 D．甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差 【答案】C 【解析】 又圖形可知，，甲成績(jī)的方差為，乙成績(jī)的方差為.故選C. 6.采用系統(tǒng)抽樣方法從人中抽取人做問(wèn)卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為,，……，，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為.抽到的人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間的人做問(wèn)卷，編號(hào)落入?yún)^(qū)間的人做問(wèn)卷，其余的人做問(wèn)卷.則抽到的人中，做問(wèn)卷的人數(shù)為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由系統(tǒng)抽樣的原知將960人分30組，所以第一組抽450/30=15人，第二組抽（750-450）/30=10，第三組抽32-15-10=7人.故選A. 7.袋中裝有完全相同的5個(gè)小球，其中有紅色小球3個(gè)，黃色小球2個(gè)，如果不放回的依次摸出2個(gè)小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 8.一組數(shù)據(jù)、、、、、的方差為1，則、、、、、的方差為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 設(shè)原來(lái)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為， 則又方差公式有， 新數(shù)據(jù)的平均數(shù)， 所以新數(shù)據(jù)的方差，選D. 9.設(shè)函數(shù)，．若在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，的概率為，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 10.分別在區(qū)間,內(nèi)各任取一個(gè)實(shí)數(shù)依次為,則的概率是（ ） A．0.3 B．0.667 C．0.7 D．0.714 【答案】C 【解析】該題有兩個(gè)變量，所以考慮構(gòu)造點(diǎn)，因基本事件總數(shù)是無(wú)限，可考慮幾何概型求概率，所有點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)，寬分別為5和3的矩形，在此矩形內(nèi)取點(diǎn)，則點(diǎn)落在的概率為. 11.下圖是兩組各名同學(xué)體重（單位：）數(shù)據(jù)的莖葉圖．設(shè)，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為和，標(biāo)準(zhǔn)差依次為和，那么（ ） （注：標(biāo)準(zhǔn)差，其中為的平均數(shù)） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】 12.給出下列五個(gè)命題: ①某班級(jí)一共有52名學(xué)生,現(xiàn)將該班學(xué)生隨機(jī)編號(hào),用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容易為4的樣本,已知7號(hào),33號(hào),46號(hào)同學(xué)在樣本中,那么樣本另一位同學(xué)的編號(hào)為23; ②一組數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同; ③一組數(shù)據(jù)a、0、1、2、3,若該組數(shù)據(jù)的平均值為1,則樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2; ④根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量 的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為y=ax+b中,b=2,,則a=1; ⑤如圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后得出的產(chǎn)品樣本凈重(單位:克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克,并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是90. 【答案】B 【解析】填空題（4*5=20分） 13.從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示. （Ⅰ）直方圖中的值為_(kāi)________； （Ⅱ）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為_(kāi)________. 【答案】 （1）0.0044 （2）70 【解析】,用戶落在間的概率, 故在這個(gè)區(qū)間的用戶人. 14.甲乙二人玩猜字游戲，先由甲在心中想好一個(gè)數(shù)字，記作，然后再由乙猜甲剛才所想到的數(shù)字，并把乙猜到的數(shù)字記為，二人約定：、，且當(dāng)時(shí)乙為勝方，否則甲為勝方．則甲取勝的概率是______． 【答案】 【解析】 15. 某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，數(shù)據(jù)如下表 氣溫（℃） 18 13 10 用電量（度） 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)可得線性回歸方程中的，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為℃時(shí)，該單位用電量的度數(shù)約為 度． 【答案】 【解析】 試題分析：先根據(jù)表格算出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸方程后求出的值，然后再將代入回歸方程即可求得用電量的預(yù)測(cè)值．由表格數(shù)據(jù)可得樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)是，代入方程可求得，所以當(dāng)時(shí)預(yù)測(cè)用電量度，故應(yīng)填：． 16.某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，應(yīng)從第3，4，5組各抽取　　　名志愿者？ （2） 在（1）的條件下，該市決定在第3,4組的志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，則第4組至少有一名志愿者被抽中的概率是　　　　　　. 【答案】（1）第3,4,5組中分別抽取3人,2人,1人；（2）. 【解析】 參考： 17．（本小題滿分12分） 某國(guó)際會(huì)議在北京召開(kāi)，為了搞好對(duì)外宣傳工作，會(huì)務(wù)組選聘了16名男記者和14名女記者擔(dān)任對(duì)外翻譯工作，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女記者中分別有10人和6人會(huì)俄語(yǔ)． （Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下22列聯(lián)表： 會(huì)俄語(yǔ) 不會(huì)俄語(yǔ) 總計(jì) 男 女 總計(jì) 30 并回答能否在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為性別與會(huì)俄語(yǔ)有關(guān)？ 參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d 參考數(shù)據(jù)： P(K2≥k0) 0.40 0.25 0.10 0.010 k0 0.708 1.323 2.706 6.635 （Ⅱ）會(huì)俄語(yǔ)的6名女記者中有4人曾在俄羅斯工作過(guò)，若從會(huì)俄語(yǔ)的6名女記者中隨機(jī)抽取2人做同聲翻譯，求抽出的2人都在俄羅斯工作過(guò)的概率． 17解：（Ⅰ） 15種，其中2人都在俄羅斯工作過(guò)的是AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種，所以抽出的女記者中，2人都在俄羅斯工作過(guò)的概率是P＝＝．