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2019-2020年高三12月模擬考試 數(shù)學(xué)（理）試題 說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中第Ⅱ卷第22題為選考題，其它題為必考題。考生作答時(shí)，將答案寫在答題卡上，在本試卷上答題無(wú)效．全卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘． 第Ⅰ卷（選擇題，共60分） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．） 1．集合， ，則 （ ） A． B． C． D． 2．已知，為虛數(shù)單位，且，則的值為 （ ） A．4 B．4+4 C． D．2 3．下列判斷錯(cuò)誤的是 （ ） A．“”是“a < b”的充分不必要條件 B．命題“”的否定是“ ” C．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高 D．若為假命題, 則p, q均為假命題 4．已知函數(shù)f（x）＝，若f （a）＋f （1）＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于 （ ） A．－3 B．1 ` C．3 D．－1 5．從5位男實(shí)習(xí)教師和4位女實(shí)習(xí)教師中選出3位教師派到3個(gè)班實(shí)習(xí)班主任工作，每班派一名，要求這3位實(shí)習(xí)教師中男女都要有，則不同的選派方案共有 （ ） A．210 B．420 C．630 D．840 6．設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為 （ ） A．　 B．2　 C．4　 D． 7．若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其側(cè)面積等于 （ ） A．6 B．2 C． D． 8．由函數(shù)的圖象所圍成的一個(gè)封閉圖形的面積是 （ ） A．4 B． C． D． 9．若直線2ax－by+2=0 （a >0, b>0） 被圓x2+y2+2x－4y+1=0截得的弦長(zhǎng)為4，則的最小值 （ ） A． B． C．2 D．4 10．當(dāng)0k0） 0．10 0．025 0．010 K 2．706 5．024 6．635 20．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）設(shè)，若對(duì)任意，，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 理科數(shù)學(xué)試題第5頁(yè)(共6頁(yè)) 21．（本小題滿分12分） 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)， （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）過橢圓C的右焦點(diǎn)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若 為定值． 22、選考題:（本小題滿分10分。請(qǐng)?jiān)谙铝蠥、B、C三題中任選一題作答，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上A、B、C的相應(yīng)選項(xiàng)上先填涂再作答，若不填涂所選題的選項(xiàng)字母，所做題不給分） A．【選修4-1:幾何證明選講】 如圖，Δ是內(nèi)接于⊙O， ，直線切⊙O于點(diǎn)，弦， 與相交于點(diǎn)． （I） 求證：Δ≌Δ； （Ⅱ）若，求． B．【選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，若直線過點(diǎn)，且傾斜角為，圓以為 圓心、為半徑。 （I） 寫出直線的參數(shù)方程和圓的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）試判定直線和圓的位置關(guān)系。 C．【選修4—5：不等式選講】 設(shè)函數(shù) ＞1），且的最小值為，若，求的取值范圍。 參考答案 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分） 題次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D A B C A B D C A D 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分） 13． 14．1 15．30 16． 三、解答題（本大題共8小題，共70分） 17．解：（Ⅰ）∵是與2的等差中項(xiàng)， ∴ ① ………2分 ∴ ② 由①-②得 ………4分 再由 得 ∴ ………6分 。 ∴ ……8分 （Ⅱ） ① 。 ② ①-②得：，…… 10分 即：， ∴。 …………12分 18．（I）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形， 所以AC⊥BD． 又因?yàn)镻A⊥平面ABCD， 所以PA⊥BD， 所以BD⊥平面PAC． ………………………4分 （Ⅱ）設(shè)AC∩BD＝O． 因?yàn)椤螧AD＝60，PA＝AB＝2， 所以BO＝1，AO＝CO＝． 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC所在直線及過點(diǎn)O且與PA平行的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則 P（0，－，2），A（0，－，0），B（1,0,0），C（0，，0）． 所以＝（1，，－2），＝（0,2，0）． 設(shè)PB與AC所成角為θ，則 cosθ＝＝＝． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知＝（－1，，0）． 設(shè)P（0，－，t） （t ＞0），則＝（－1，－，t）． 設(shè)平面PBC的法向量m＝（x，y，z）， 則m＝0，m＝0． 所以 令y＝，則x＝3，z＝， 所以m＝． 同理，可求得平面PDC的法向量n＝． 因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面PDC， 所以mn＝0，即－6＋＝0． 解得t＝． 所以當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，PA＝． ……………………12分 19．解:（Ⅰ）甲校抽取人，乙校抽取人，故x＝6，y＝7，………4分 （Ⅱ） 估計(jì)甲校優(yōu)秀率為≈18．2%，乙校優(yōu)秀率為＝40%． ………6分 甲校 乙校 總計(jì) 優(yōu)秀 10 20 30 非優(yōu)秀 45 30 75 總計(jì) 55 50 105 （Ⅲ） k2＝＝6．109， 又因?yàn)?．109>5．024, 1－0．025＝0．975， 故有97．5%的把握認(rèn)為兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異。 …………12分 20．解： （I）的定義域是 ．．．．．．．．．．．1分 ．．．．．．．．．．．．．．． 2分 由及 得；由及得， 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是 ．．．．．．．．4分 （II）若對(duì)任意，，不等式恒成立， 問題等價(jià)于， ．．．．．．．．．5分 由（I）可知，在上，是函數(shù)極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn)， 故也是最小值點(diǎn)，所以； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； ．．．．．．．．．．．．8分 問題等價(jià)于 或 或 ．．．．．．．．11分 解得 或 或 即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（I）設(shè)橢圓C的方程為， 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 所以由題意知b = 1． 又有 ∴橢圓C的方程為 …………………………………………4分 （II）方法一：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 易知右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）． ……6分 將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得 去分母整理得 ………………………………………9分 …………12分 方法二：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）． 顯然直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是 將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得 ………………………………8分 又 ……………………12分 22．A．解:（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中， ∵ ∠ABE=∠ACD ………2分 又∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN ∵直線是圓的切線，∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD ∴ΔΔ（角、邊、角） ………5分 （Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC ∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4 又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB ∴ BC=BE=4 ……………………8分 設(shè)AE=，易證 ΔABE∽ΔDEC ∴ 又 ∴ …………………………10分 22 B．解（Ⅰ）直線的參數(shù)方程是，（為參數(shù)） 圓的極坐標(biāo)方程是。 ………………5分 （Ⅱ）圓心的直角坐標(biāo)是，直線的普通方程是， 圓心到直線的距離，所以直線和圓相離?！?0分 22 C．解：因?yàn)椋? ………………3分 所以，即 ………………5分 由＞1知； ………………6分 解不等式得 ． ………………10分