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2015-2016學(xué)年河南省駐馬店市八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題 1．要使有意義，則x的取值范圍是（　?。? A．x≤ B．x≥ C．x≤ D．x≥ 2．下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是（　?。? A．7，12，13 B．30，40，50 C．5，9，12 D．3，4，6 4．如圖，△ABC的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，BD⊥AC于點D．則BD的長為（　?。? A． B． C． D． 5．如圖，?ABCD的對角線相交于點O，且AB≠AD，過點O作OE⊥BD交BC于點E，若△CDE的周長為10，則?ABCD的周長為（　?。? A．14 B．16 C．20 D．18 6．如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，∠BAD=60，則花壇對角線AC的長等于（　　） A．6米 B．6米 C．3米 D．3米 7．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE=AD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（　?。? A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90 D．CE⊥DE 8．下列命題：①平行四邊形的對邊相等；②對角線相等的四邊形是矩形；③對角線互相垂直平分的四邊形是正方形；④一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形．其中真命題的個數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 　 二、填空 9．命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是　　　　　?。? 10．當(dāng)1＜a＜2時，代數(shù)式+|1﹣a|的值是　　　　　?。? 11．三角形周長為（7+2）cm，已知兩邊長分別為cm和cm，則第三邊的長是　　　　　　cm． 12．已知平行四邊形ABCD中，∠B=5∠A，則∠D=　　　　　?。? 13．如圖，CD是△ABC的中線，點E、F分別是AC、DC的中點，EF=1，則BD=　　　　　?。? 14．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△ADE，則∠BED的度數(shù)是　　　　　?。? 15．如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH為a，BH為b，則ab=　　　　　?。? 16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，4），點P是線段BC上的動點，當(dāng)△OPA是等腰三角形時，則P點的坐標(biāo)是　　　　　?。? 　 三、解答（本大題共8個小題，滿分67分） 17．計算： （1）（10﹣6+4） （2）（﹣）（﹣） 18．已知x=+，y=﹣，求代數(shù)式x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值． 19．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90，∠BAD=135，AB=1，AC=，點E為CD中點．求證：CD=2AE． 20．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)為對角線AC上兩點，且AE=CF，DF∥BE． 求證：四邊形ABCD為平行四邊形． 21．在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F 在邊CD上，DF=BE，連接AF，BF． （1）求證：四邊形BFDE是矩形； （2）若CF=3，BF=4，DF=5，求證：AF平分∠DAB． 22．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，MN過點O且與邊AD、BC分別交于點M和點N． （1）請你判斷OM和ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （2）過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，當(dāng)AB=6，AC=8時，求△BDE的周長． 23．【問題情境】 如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM． 【探究展示】 （1）直接寫出AM、AD、MC三條線段的數(shù)量關(guān)系：　　　　　　； （2）AM=DE+BM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由． 【拓展延伸】 （3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）、（2）中的結(jié)論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明． 24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE． （1）求證：CE=AD； （2）當(dāng)D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； （3）若D為AB中點，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由． 　  2015-2016學(xué)年河南省駐馬店市八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．要使有意義，則x的取值范圍是（　　） A．x≤ B．x≥ C．x≤ D．x≥ 【考點】二次根式有意義的條件． 【分析】二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于或等于零． 【解答】解：要使有意義，則4﹣5x≥0， 解得：x≤． 故選；A． 【點評】本題主要考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵． 　 2．下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】最簡二次根式． 【分析】檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是． 【解答】解：A、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故A錯誤； B、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故B錯誤； C、被開方數(shù)含分母，故C錯誤； D、被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故D正確； 故選：D． 【點評】本題考查最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 　 3．下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是（　　） A．7，12，13 B．30，40，50 C．5，9，12 D．3，4，6 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理（看看兩小邊的平方和是否等于大邊的平方）分別進(jìn)行判斷即可． 【解答】解：A、∵72+122≠132， ∴以7，12，13為邊的三角形不是直角三角形，故本選項錯誤； B、∵302+402=502， ∴以30，40，50為邊的三角形是直角三角形，故本選項正確； C、∵52+92≠122， ∴以5，9，12為邊的三角形不是直角三角形，故本選項錯誤； D、∵32+42≠62， ∴以3，4，6為邊的三角形不是直角三角形，故本選項錯誤； 故選B． 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，能熟記知識點是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形． 　 4．如圖，△ABC的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，BD⊥AC于點D．則BD的長為（　?。? A． B． C． D． 【考點】勾股定理；三角形的面積． 【專題】計算題． 【分析】利用勾股定理求得相關(guān)線段的長度，然后由面積法求得BD的長度． 【解答】解：如圖，由勾股定理得 AC==． ∵BC2=AC?BD，即22=BD ∴BD=． 故選：C． 【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積．利用面積法求得線段BD的長度是解題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，?ABCD的對角線相交于點O，且AB≠AD，過點O作OE⊥BD交BC于點E，若△CDE的周長為10，則?ABCD的周長為（　?。? A．14 B．16 C．20 D．18 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，BC=AD，OB=OD，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=DE，由△CDE的周長得出BC+CD=6cm，即可求出平行四邊形ABCD的周長． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，BC=AD，OB=OD， ∵OE⊥BD， ∴BE=DE， ∵△CDE的周長為10， ∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10， ∴平行四邊形ABCD的周長=2（BC+CD）=20； 故選C． 【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形、平行四邊形周長的計算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵． 　 6．如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，∠BAD=60，則花壇對角線AC的長等于（　　） A．6米 B．6米 C．3米 D．3米 【考點】菱形的性質(zhì)． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】由四邊形ABCD為菱形，得到四條邊相等，對角線垂直且互相平分，根據(jù)∠BAD=60得到三角形ABD為等邊三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的長，即可確定出AC的長． 【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=244=6（米）， ∵∠BAD=60， ∴△ABD為等邊三角形， ∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米）， 在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：OA==3（米）， 則AC=2OA=6米， 故選A． 【點評】此題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 7．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE=AD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（　　） A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90 D．CE⊥DE 【考點】矩形的判定；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定進(jìn)行解答． 【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AD∥BC，AD=BC， 又∵AD=DE， ∴DE∥BC，且DE=BC， ∴四邊形BCED為平行四邊形， A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴?DBCE為矩形，故本選項錯誤； B、∵對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，不一定為矩形，故本選項正確； C、∵∠ADB=90，∴∠EDB=90，∴?DBCE為矩形，故本選項錯誤； D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90，∴?DBCE為矩形，故本選項錯誤． 故選B． 【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定，首先判定四邊形ABCD為平行四邊形是解題的關(guān)鍵． 　 8．下列命題：①平行四邊形的對邊相等；②對角線相等的四邊形是矩形；③對角線互相垂直平分的四邊形是正方形；④一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形．其中真命題的個數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】命題與定理． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對①進(jìn)行判斷；根據(jù)矩形的判定方法對②進(jìn)行判斷；根據(jù)正方形的判定方法對③進(jìn)行判斷；根據(jù)菱形的判定方法對④進(jìn)行判斷． 【解答】解：平行四邊形的對邊相等，所以①正確； 對角線相等的平行四邊形是矩形，所以②錯誤； 對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，所以③錯誤； 一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形，所以④正確． 故選B． 【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理． 　 二、填空 9．命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是　兩個角相等三角形是等腰三角形?。? 【考點】命題與定理． 【分析】先找到原命題的題設(shè)和結(jié)論，再將題設(shè)和結(jié)論互換，即可而得到原命題的逆命題． 【解答】解：因為原命題的題設(shè)是：“一個三角形是等腰三角形”，結(jié)論是“這個三角形兩底角相等”， 所以命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是“兩個角相等三角形是等腰三角形”． 【點評】根據(jù)逆命題的概念來回答：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另外一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題． 　 10．當(dāng)1＜a＜2時，代數(shù)式+|1﹣a|的值是　1?。? 【考點】二次根式的性質(zhì)與化簡． 【分析】直接利用a的取值范圍去掉絕對值和化簡二次根式，進(jìn)而求出答案． 【解答】解：∵1＜a＜2， +|1﹣a| =2﹣a+a﹣1 =1． 故答案為：1． 【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 　 11．三角形周長為（7+2）cm，已知兩邊長分別為cm和cm，則第三邊的長是　4　cm． 【考點】二次根式的加減法． 【分析】首先化簡二次根式，進(jìn)而合并同類二次根式得出答案． 【解答】解：∵三角形周長為（7+2）cm，兩邊長分別為cm和cm， ∴第三邊的長是：（7+2）﹣﹣=7+2﹣3﹣2=4（cm）． 故答案為：4． 【點評】此題主要考查了二次根式的加減運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵． 　 12．已知平行四邊形ABCD中，∠B=5∠A，則∠D=　150?。? 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)∠B=5∠A得出∠B的度數(shù)，進(jìn)而得出∠D的度數(shù)． 【解答】解：如圖所示： ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B=180，∠D=∠B， ∵∠B=5∠A， ∴6∠A=180，解得∠A=30， ∴∠D=∠B=305=150． 故答案為：150． 【點評】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，熟知平行四邊形的對邊互相平行，兩組內(nèi)角分別相等是解答此題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，CD是△ABC的中線，點E、F分別是AC、DC的中點，EF=1，則BD=　2　． 【考點】三角形中位線定理． 【分析】由題意可知EF是△ADC的中位線，由此可求出AD的長，再根據(jù)中線的定義即可求出BD的長． 【解答】解：∵點E、F分別是AC、DC的中點， ∴EF是△ADC的中位線， ∴EF=AD， ∵EF=1， ∴AD=2， ∵CD是△ABC的中線， ∴BD=AD=2， 故答案為：2． 【點評】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半． 　 14．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△ADE，則∠BED的度數(shù)是　45　． 【考點】正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得AB與AD的關(guān)系，∠BAD的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AE與AD的關(guān)系，∠AED的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠AEB與∠ABE的關(guān)系，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠AEB的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90． ∵等邊三角形ADE， ∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60． ∠BAE=∠BAD+∠DAE=90+60=150， AB=AE， ∠AEB=∠ABE=（180﹣∠BAE）2=15， ∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60﹣15=45， 故答案為：45． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，先求出∠BAE的度數(shù)，再求出∠AEB，最后求出答案． 　 15．如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH為a，BH為b，則ab=　48?。? 【考點】勾股定理的證明． 【分析】根據(jù)面積的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可． 【解答】解：∵AB=10，EF=2， ∴大正方形的面積是100，小正方形的面積是4， ∴四個直角三角形面積和為100﹣4=96，設(shè)AH為a，BH為b，即4ab=96， ∴2ab=96，a2+b2=100， ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196， ∴a+b=14， ∵a﹣b=2， 解得：a=8，b=6， ∴AH=8，BH=6， ∴ab=68=48． 故答案為：48． 【點評】此題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是應(yīng)用直角三角形中勾股定理的運用解得ab的值． 　 16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，4），點P是線段BC上的動點，當(dāng)△OPA是等腰三角形時，則P點的坐標(biāo)是　（3，4）或（2，4）或（6﹣2，4）?。? 【考點】矩形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等腰三角形的判定． 【分析】由矩形的性質(zhì)得出BC=OA=6，AB=OC=4，∠B=∠OCB=90，分三種情況：①當(dāng)PO=PA時；②當(dāng)AP=AO=6時；③當(dāng)OP=OA=6時；分別求出PC的長，即可得出結(jié)果． 【解答】解：∵四邊形OABC是矩形， ∴BC=OA=6，AB=OC=4，∠B=∠OCB=90， 分三種情況：如圖所示： ①當(dāng)PO=PA時，P在OA的垂直平分線上，P是BC的中點，PC=3， ∴點P的坐標(biāo)為（3，4）； ②當(dāng)AP=AO=6時，BP==2， ∴PC=6﹣2， ∴P（6﹣2，4）； ③當(dāng)OP=OA=6時，PC==2， ∴P（2，4）． 綜上所述：點P的坐標(biāo)為（3，4）或（2，4）或（6﹣2，4）． 故答案為：（3，4）或（2，4）或（6﹣2，4）． 【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵． 　 三、解答（本大題共8個小題，滿分67分） 17．計算： （1）（10﹣6+4） （2）（﹣）（﹣） 【考點】二次根式的混合運算． 【專題】計算題． 【分析】（1）先對括號內(nèi)的式子化簡，再根據(jù)二次根式的除法進(jìn)行計算即可解答本題； （2）根據(jù)二次根式的乘除法進(jìn)行計算即可解答本題． 【解答】解：（1）（10﹣6+4） = = =15； （2）（﹣）（﹣） = = =． 【點評】本題考查考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是明確二次根式混合運算的計算方法． 　 18．已知x=+，y=﹣，求代數(shù)式x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值． 【考點】二次根式的化簡求值． 【分析】首先把x2+y2﹣xy﹣2x+2y化為x2﹣2xy+y2+xy﹣2x+2y=（x﹣y）2+xy﹣2（x﹣y），在代入數(shù)值計算即可． 【解答】解：∵x=+，y=﹣， ∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y =x2﹣2xy+y2+xy﹣2x+2y =（x﹣y）2+xy﹣2（x﹣y） =8+1﹣4 =9﹣4． 【點評】此題主要二次根式的化簡求值，主要利用完全平方公式把整式整理，再進(jìn)一步代入計算． 　 19．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90，∠BAD=135，AB=1，AC=，點E為CD中點．求證：CD=2AE． 【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線． 【專題】證明題． 【分析】首先利用已知條件和勾股定理可證明BC=AB，進(jìn)而可得∠BCA=∠BAC=45，再根據(jù)已知條件可得∠CAD=135﹣45=90，所以三角形CAD是直角三角形，利用在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明CD=2AE． 【解答】證明：Rt△ABC中，∠ABC=90， AB=1，AC= ∴BC2=（）2﹣12=1， ∴BC=AB， ∴∠BCA=∠BAC=45， 又∵∠BAD=135， ∴∠CAD=135﹣45=90， 又∵AE為CD上中點， ∴AE為Rt△CAD斜邊上中線，則CD=2AE． 【點評】本題考查了勾股定理的運用以及在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△CAD是直角三角形． 　 20．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)為對角線AC上兩點，且AE=CF，DF∥BE． 求證：四邊形ABCD為平行四邊形． 【考點】平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】首先證明△AEB≌△CFD可得AB=CD，再由條件AB∥CD可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形ABCD為平行四邊形． 【解答】證明：∵AB∥CD， ∴∠DCA=∠BAC， ∵DF∥BE， ∴∠DFA=∠BEC， ∴∠AEB=∠DFC， 在△AEB和△CFD中， ∴△AEB≌△CFD（ASA）， ∴AB=CD， ∵AB∥CD， ∴四邊形ABCD為平行四邊形． 【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形． 　 21．在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F 在邊CD上，DF=BE，連接AF，BF． （1）求證：四邊形BFDE是矩形； （2）若CF=3，BF=4，DF=5，求證：AF平分∠DAB． 【考點】平行四邊形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理的逆定理；矩形的判定． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB與CD的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得BFDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定，可得答案； （2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠DFA=∠FAB，根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，可得∠DAF=∠DFA，根據(jù)角平分線的判定，可得答案． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四邊形BFDE是平行四邊形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90， ∴四邊形BFDE是矩形； （2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC===5， ∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB． 【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得出∠DAF=∠DFA是解題關(guān)鍵． 　 22．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，MN過點O且與邊AD、BC分別交于點M和點N． （1）請你判斷OM和ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （2）過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，當(dāng)AB=6，AC=8時，求△BDE的周長． 【考點】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 【專題】計算題；矩形 菱形 正方形． 【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形，判斷出AD∥BC，AO=OC，即可推得OM=ON． （2）首先根據(jù)四邊形ABCD是菱形，判斷出AC⊥BD，AD=BC=AB=6，進(jìn)而求出BO、BD的值是多少；然后根據(jù)DE∥AC，AD∥CE，判斷出四邊形ACED是平行四邊形，求出DE=AC=6，即可求出△BDE的周長是多少． 【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AO=OC， ∴， ∴OM=ON． （2）∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD=BC=AB=6， ∴BO==2， ∴， ∵DE∥AC，AD∥CE， ∴四邊形ACED是平行四邊形， ∴DE=AC=8， ∴△BDE的周長是： BD+DE+BE =BD+AC+（BC+CE） =4+8+（6+6） =20 即△BDE的周長是20． 【點評】（1）此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法． （2）此題還考查了三角形的周長的含義以及求法，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握． 　 23．【問題情境】 如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM． 【探究展示】 （1）直接寫出AM、AD、MC三條線段的數(shù)量關(guān)系：　AM=AD+MC??； （2）AM=DE+BM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由． 【拓展延伸】 （3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）、（2）中的結(jié)論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）從平行線和中點這兩個條件出發(fā)，延長AE、BC交于點N，如圖1（1），易證△ADE≌△NCE，從而有AD=CN，只需證明AM=NM即可． （2）作FA⊥AE交CB的延長線于點F，易證AM=FM，只需證明FB=DE即可；要證FB=DE，只需證明它們所在的兩個三角形全等即可． （3）在圖2（1）中，仿照（1）中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立；在圖2（2）中，采用反證法，并仿照（2）中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立． 【解答】證明：延長AE、BC交于點N，如圖1（1）， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠ENC． ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE． ∴∠ENC=∠MAE． ∴MA=MN． 在△ADE和△NCE中， ∴△ADE≌△NCE（AAS）． ∴AD=NC． ∴MA=MN=NC+MC =AD+MC． （2）AM=DE+BM成立． 證明：過點A作AF⊥AE，交CB的延長線于點F，如圖1（2）所示． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠D=∠ABC=90，AB=AD，AB∥DC． ∵AF⊥AE， ∴∠FAE=90． ∴∠FAB=90﹣∠BAE=∠DAE． 在△ABF和△ADE中， ∴△ABF≌△ADE（ASA）． ∴BF=DE，∠F=∠AED． ∵AB∥DC， ∴∠AED=∠BAE． ∵∠FAB=∠EAD=∠EAM， ∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM =∠BAM+∠FAB =∠FAM． ∴∠F=∠FAM． ∴AM=FM． ∴AM=FB+BM=DE+BM． （3）①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立． 證明：延長AE、BC交于點P，如圖2（1）， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠EPC． ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE． ∴∠EPC=∠MAE． ∴MA=MP． 在△ADE和△PCE中， ∴△ADE≌△PCE（AAS）． ∴AD=PC． ∴MA=MP=PC+MC =AD+MC． ②結(jié)論AM=DE+BM不成立． 證明：假設(shè)AM=DE+BM成立． 過點A作AQ⊥AE，交CB的延長線于點Q，如圖2（2）所示． ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠D=∠ABC=90，AB∥DC． ∵AQ⊥AE， ∴∠QAE=90． ∴∠QAB=90﹣∠BAE=∠DAE． ∴∠Q=90﹣∠QAB =90﹣∠DAE =∠AED． ∵AB∥DC， ∴∠AED=∠BAE． ∵∠QAB=∠EAD=∠EAM， ∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM =∠BAM+∠QAB =∠QAM． ∴∠Q=∠QAM． ∴AM=QM． ∴AM=QB+BM． ∵AM=DE+BM， ∴QB=DE． 在△ABQ和△ADE中， ∴△ABQ≌△ADE（AAS）． ∴AB=AD． 與條件“AB≠AD“矛盾，故假設(shè)不成立． ∴AM=DE+BM不成立． 【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形及矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，考查了基本模型的構(gòu)造（平行加中點構(gòu)造全等三角形），考查了反證法的應(yīng)用，綜合性比較強．添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決這道題的關(guān)鍵． 　 24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE． （1）求證：CE=AD； （2）當(dāng)D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； （3）若D為AB中點，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由． 【考點】正方形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 【專題】幾何綜合題． 【分析】（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可； （2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可； （3）求出∠CDB=90，再根據(jù)正方形的判定推出即可． 【解答】（1）證明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB=90， ∵∠ACB=90， ∴∠ACB=∠DFB， ∴AC∥DE， ∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD， ∴四邊形ADEC是平行四邊形， ∴CE=AD； （2）解：四邊形BECD是菱形， 理由是：∵D為AB中點， ∴AD=BD， ∵CE=AD， ∴BD=CE， ∵BD∥CE， ∴四邊形BECD是平行四邊形， ∵∠ACB=90，D為AB中點， ∴CD=BD， ∴?四邊形BECD是菱形； （3）當(dāng)∠A=45時，四邊形BECD是正方形，理由是： 解：∵∠ACB=90，∠A=45， ∴∠ABC=∠A=45， ∴AC=BC， ∵D為BA中點， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB=90， ∵四邊形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形， 即當(dāng)∠A=45時，四邊形BECD是正方形． 【點評】本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行推理的能力． 　 第26頁（共26頁）