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第 27 屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試卷 本卷共九題，滿分 160 分．計算題的解答應(yīng)寫出必要的文字說明、方程式和重要的演算步驟．只寫出最后結(jié)果的不能得分．有數(shù)字計算的題．答案中必須明確寫出數(shù)值和單位．填空題把答案填在題中的橫線上，只要給出結(jié)果，不需寫出求解的過程． 一、（ 15 分）蛇形擺是一個用于演示單擺周期與擺長關(guān)系的實驗儀器（見圖）．若干個擺球位于同一高度并等間距地排成一條直線，它們的懸掛點在不同的高度上，擺長依次減?。O(shè)重力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 , 1 ．試設(shè)計一個包含十個單擺的蛇形擺（即求出每個擺的擺長），要求滿足： ( a ）每個擺的擺長不小于 0 . 450m ，不大于1.00m ; ( b ）初始時將所有擺球由平衡點沿 x 軸正方向移動相同的一個小位移 xo ( xo <<0.45m ) ，然后同時釋放，經(jīng)過 40s 后，所有的擺能夠同時回到初始狀態(tài)． 2 ．在上述情形中，從所有的擺球開始擺動起，到它們的速率首次全部為零所經(jīng)過的時間為________________________________________. 二、（ 20 分）距離我們?yōu)?L 處有一恒星，其質(zhì)量為 M ，觀測發(fā)現(xiàn)其位置呈周期性擺動，周期為 T ，擺動范圍的最大張角為 △θ．假設(shè)該星體的周期性擺動是由于有一顆圍繞它作圓周運動的行星引起的，試給出這顆行星的質(zhì)量m所滿足的方程． 若 L=10 光年， T =10 年， △θ = 3 毫角秒， M = Ms （Ms為太陽質(zhì)量），則此行星的質(zhì)量和它運動的軌道半徑r各為多少？分別用太陽質(zhì)量 Ms 和國際單位 AU （平均日地距離）作為單位，只保留一位有效數(shù)字．已知 1 毫角秒=角秒，1角秒=度，1AU=1.5108km,光速 c = 3.0 105km/s. 三、（ 22 分）如圖，一質(zhì)量均勻分布的剛性螺旋環(huán)質(zhì)量為m，半徑為 R ，螺距H =πR ，可繞豎直的對稱軸OO′，無摩擦地轉(zhuǎn)動，連接螺旋環(huán)與轉(zhuǎn)軸的兩支撐桿的質(zhì)量可忽略不計．一質(zhì)量也為 m 的小球穿在螺旋環(huán)上并可沿螺旋環(huán)無摩擦地滑動,首先扶住小球使其靜止于螺旋環(huán)上的某一點 A ，這時螺旋環(huán)也處于靜止?fàn)顟B(tài)．然后放開小球，讓小球沿螺旋環(huán)下滑，螺旋環(huán)便繞轉(zhuǎn)軸 OO′，轉(zhuǎn)動．求當(dāng)小球下滑到離其初始位置沿豎直方向的距離為 h 時，螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度和小球?qū)β菪h(huán)作用力的大?。? 四、（ 12 分）如圖所示，一質(zhì)量為m、電荷量為 q ( q > 0 ）的粒子作角速度為ω、半徑為 R 的勻速圓周運動.一長直細導(dǎo)線位于圓周所在的平面內(nèi)，離圓心的距離為d ( d > R ) ，在導(dǎo)線上通有隨時間變化的電流I, t= 0 時刻，粒子速度的方向與導(dǎo)線平行，離導(dǎo)線的距離為d+ R .若粒子做圓周運動的向心力等于電流 i ,的磁場對粒子的作用力，試求出電流 i 隨時間的變化規(guī)律．不考慮變化的磁場產(chǎn)生的感生電場及重力的影響．長直導(dǎo)線電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度表示式中的比例系數(shù) k 已知． 五、（20分）如圖所示，兩個固定的均勻帶電球面，所帶電荷量分別為+Q和-Q (Q >0) ，半徑分別為R和R/2，小球面與大球面內(nèi)切于C點，兩球面球心O和O’的連線MN沿豎直方在MN與兩球面的交點B、0和C 處各開有足夠小的孔因小孔損失的電荷量忽略不計，有一質(zhì)量為m，帶電荷為q(q>0的質(zhì)點自MN線上離B點距離為R的A點豎直上拋。設(shè)靜電力常量為k，重力加度為g. 1．要使質(zhì)點從 A 點上拋后能夠到達B點，所需的最小初動能為多少？ 2．要使質(zhì)點從A點上拋后能夠到達O點，在不同條件下所需的最小初動能各為多少？ 六、（ 20 分）由單位長度電阻為r的導(dǎo)線組成如圖所示的正方形網(wǎng)絡(luò)系列．n=1時，正方形網(wǎng)絡(luò)邊長為L,n= 2時，小正方形網(wǎng)絡(luò)的邊長為L/3；n=3 時，最小正方形網(wǎng)絡(luò)的邊長為L/9．當(dāng) n=1、2、3 時，各網(wǎng)絡(luò)上A、B兩點間的電阻分別為多少？ 七、（15分）地球上的能量從源頭上說來自太陽輻射到達地面的太陽輻射（假定不計大氣對太陽輻射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收．被吸收的部分最終轉(zhuǎn)換成為地球熱輻射（紅外波段的電磁波）．熱輻射在向外傳播過程中，其中一部分會被溫室氣體反射回地面，地球以此方式保持了總能量平衡。作為一個簡單的理想模型，假定地球表面的溫度處處相同，且太陽和地球的輻射都遵從斯忒蕃一玻爾茲曼定律：單位面積的輻射功率 J與表面的熱力學(xué)溫度 T 的四次方成正比，即 J=σT4 ,其中σ是一個常量．已知太陽表面溫度Ts=5.78103 K ，太陽半徑 Rs=6.69105 km ,地球到太陽的平均距離d=1.50108 km ．假設(shè)溫室氣體在大氣層中集中形成一個均勻的薄層，并設(shè)它對熱輻射能量的反射率為ρ=0.38 . 1．如果地球表面對太陽輻射的平均反射率α=0.30 ，試問考慮了溫室氣體對熱輻射的反射作用后，地球表面的溫度是多少？ 2．如果地球表面一部分被冰雪覆蓋，覆蓋部分對太陽輻射的反射率為α1=0.85 ，其余部分的反射率處α2=0.25 ．間冰雪被蓋面占總面積多少時地球表面溫度為 273K . 八、（20分）正午時太陽的入射光與水平面的夾角θ=450 ．有一座房子朝南的墻上有一個直徑 W =10cm 的圓窗，窗口中心距地面的高度為 H ．試設(shè)計一套采光裝置，使得正午時刻太陽光能進人窗口，并要求進入的光為充滿窗口、垂直墻面、且光強是進人采光裝置前 2 倍的平行光．可供選用的光學(xué)器件如下：一個平面鏡，兩個凸透鏡，兩個凹透鏡；平面鏡的反射率為 80 % ，透鏡的透射率為 70 % ，忽略透鏡表面對光的反射．要求從這些器件中選用最少的器件組成采光裝置．試畫出你所設(shè)計的采光裝置中所選器件的位置及該裝置的光路圖，并求出所選器件的最小尺寸和透鏡焦距應(yīng)滿足的條件. 九、（ 16 分）已知粒子 1 和粒子 2 的靜止質(zhì)量都是 m0 ，粒子 1 靜止，粒子 2 以速度v0與粒子 1 發(fā)生彈性碰撞． 1.若碰撞是斜碰，考慮相對論效．試論證：碰后兩粒子速度方向的夾角是銳角、直角還是鈍角．若不考慮相對論效應(yīng)結(jié)果又如何？ 2.若碰撞是正碰，考慮相對論效應(yīng)，試求碰后兩粒子的速度. 解答 一、參考解答： 1．以表示第i個單擺的擺長，由條件（b）可知每個擺的周期必須是40s的整數(shù)分之一，即 （Ni為正整數(shù)） （1） [(1)式以及下面的有關(guān)各式都是在采用題給單位條件下的數(shù)值關(guān)系.]由(1)可得，各單擺的擺長 （2） 依題意，，由此可得 （3） 即 （4） 因此，第i個擺的擺長為 （5） i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 li/m 0.993 0.901 0.821 0.751 0.690 0.635 0.588 0.545 0.507 0.472 2． 評分標準：本題15分． 第1小問11分．（2）式4分，（4）式4分，10個擺長共3分． 第2小問4分． 二、參考解答： 設(shè)該恒星中心到恒星－行星系統(tǒng)質(zhì)心的距離為，根據(jù)題意有 （1） 將有關(guān)數(shù)據(jù)代入（1）式，得．又根據(jù)質(zhì)心的定義有 （2） 式中為行星繞恒星做圓周運動的軌道半徑，即行星與恒星之間的距離.根據(jù)萬有引力定律有 （3） 由（2）、（3）兩式得 （4） [若考生用表示行星到恒星行星系統(tǒng)質(zhì)心的距離，從而把(2)式寫為，把(3)式寫為，則同樣可得到(4)式，這也是正確的.] 利用（1）式，可得 （5） （5）式就是行星質(zhì)量所滿足的方程． 可以把(5)試改寫成下面的形式 （6） 因地球繞太陽作圓周運動，根據(jù)萬有引力定律可得 （7） 注意到，由（6）和（7）式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 (8) 由（8）式可知 由近似計算可得 （9） 由于小于1/1000，可近似使用開普勒第三定律，即 （10） 代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 （11） 評分標準：本題20分． （1）式2分，（2）式3分，（3）式4分，（5）式3分，（9）式4分，（11）式4分． 三、參考解答： 圖1 h q m 解法一 一傾角為的直角三角形薄片(如圖1所示)緊貼于半徑為的圓柱面，圓柱面的軸線與直角三角形薄片的沿豎直方向的直角邊平行，若把此三角形薄片卷繞在柱面上，則三角形薄片的斜邊就相當(dāng)于題中的螺線環(huán)．根據(jù)題意有 （1） 可得 ， （2） 設(shè)在所考察的時刻，螺旋環(huán)繞其轉(zhuǎn)軸的角速度為，則環(huán)上每一質(zhì)量為的小質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動線速度的大小都相同，用u表示， （3） 該小質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的角動量 整個螺旋環(huán)對轉(zhuǎn)軸的角動量 （4） 小球沿螺旋環(huán)的運動可視為在水平面內(nèi)的圓周運動和沿豎直方向的直線運動的合成．在螺旋環(huán)的角速度為時，設(shè)小球相對螺旋環(huán)的速度為，則小球在水平面內(nèi)作圓周運動的速度為 （5） 沿豎直方向的速度 （6） 對由小球和螺旋環(huán)組成的系繞，外力對轉(zhuǎn)軸的力矩為0，系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒，故有 （7） 由（4）、（5）、（7）三式得 （8） 在小球沿螺旋環(huán)運動的過程中，系統(tǒng)的機械能守恒，有 （9） 由（3）、（5）、（6）、（9）四式得 （10） 解（8）、（10）二式，并利用（2）式得 （11） （12） 由（6）、（12）以及（2）式得 （13） 或有 （14） （14）式表明，小球在豎直方向的運動是勻加速直線運動，其加速度 （15） 若小球自靜止開始運動到所考察時刻經(jīng)歷時間為，則有 （16） 由（11）和（16）式得 （17） （17）式表明，螺旋環(huán)的運動是勻加速轉(zhuǎn)動，其角加速度 （18） C R m 圖2 小球?qū)β菪h(huán)的作用力有：小球?qū)β菪h(huán)的正壓力，在圖1所示的薄片平面內(nèi)，方向垂直于薄片的斜邊；螺旋環(huán)迫使小球在水平面內(nèi)作圓周運動的向心力的反作用力．向心力在水平面內(nèi)，方向指向轉(zhuǎn)軸C，如圖2所示．、兩力中只有對螺旋環(huán)的轉(zhuǎn)軸有力矩，由角動量定理有 （19） 由（4）、（18）式并注意到得 （20） 而 （21） 由以上有關(guān)各式得 （22） 小球?qū)β菪h(huán)的作用力 （23） 評分標準：本題22分． 圖1 h q m （1）、（2）式共3分，（7）式1分，（9）式1分，求得（11）式給6分，（20）式5分，（22）式4分，（23）式2分． 解法二 一傾角為的直角三角形薄片(如圖1所示)緊貼于半徑為的圓柱面，圓柱面的軸線與直角三角形薄片的沿豎直方向的直角邊平行，若把此三角形薄片卷繞在柱面上，則三角形薄片的斜邊就相當(dāng)于題中的螺線環(huán)．根據(jù)題意有 （1） 可得 ， （2） 螺旋環(huán)繞其對稱軸無摩擦地轉(zhuǎn)動時，環(huán)上每點線速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移動的速度．小球沿螺旋環(huán)的運動可視為在豎直方向的直線運動和在水平面內(nèi)的圓周運動的合成．在考察圓周運動的速率時可以把圓周運動看做沿水平方向的直線運動，結(jié)果小球的運動等價于小球沿直角三角形斜邊的運動．小球自靜止開始沿螺旋環(huán)運動到在豎直方向離初始位置的距離為的位置時，設(shè)小球相對薄片斜邊的速度為，沿薄片斜邊的加速度為．薄片相對地面向左移動的速度為，向左移動的加速度為．就是螺旋環(huán)上每一質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的線速度，若此時螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度為，則有 （3） 而就是螺旋環(huán)上每一質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的切向加速度，若此時螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動的角加速度為，則有 （4） 小球位于斜面上的受力情況如圖2所示：重力，方向豎直向下，斜面的支持力，方向與斜面垂直，以薄片為參考系時的慣性力，方向水平向右，其大小 （5） 由牛頓定律有 （6） （7） （8） 解（5）、（6）、（7）、（8）四式得 （9） （10） （11） 利用（2）式可得 （12） （13） （14） 由（4）式和（14）式，可得螺旋環(huán)的角加速度 （15） 若小球自靜止開始運動到所考察時刻經(jīng)歷時間為，則此時螺旋環(huán)的角速度 （16） 因小球沿螺旋環(huán)的運動可視為在水平面內(nèi)的圓周運動和沿豎直方向的直線運動的合成，而小球沿豎直方向的加速度 （17） 故有 （18） 由（15）、（16）、（17）、（18）、以及（2）式得 （19） 小球在水平面內(nèi)作圓周運動的向心力由螺旋環(huán)提供，向心力位于水平面內(nèi)，方向指向轉(zhuǎn)軸，故向心力與圖2中的紙面垂直，亦即與垂直．向心力的大小 （20） 式中是小球相對地面的速度在水平面內(nèi)的分量.若為小球相對地面的加速度在水平面內(nèi)的分量，則有 （21） 令為在水平面內(nèi)的分量，有 （22） 由以上有關(guān)各式得 （23） 小球作用于螺旋環(huán)的力的大小 （24） 由（13）、（23）和（24）式得 （25） 評分標準：本題22分． d R q w t O x y i （1）、（2）式共3分，（9）或（12）式1分，（10）或（13）式5分，（11）或（14）式1分，（19）式6分，（23）式4分，（25）式2分． 四、參考解答： 以v表示粒子的速率，以B表示電流i產(chǎn)生磁場的磁感應(yīng)強度，根據(jù)題意粒子作圓周運動的向心力為粒子受到的磁場洛侖茲力，因此有 （1） 而 （2） 由（1）、（2）兩式得 （3） 如圖建立坐標系，則粒子在時刻的位置 ， （4） 取電流的正方向與y軸的正向一致，設(shè)時刻t長直導(dǎo)線上的電流為，它產(chǎn)生的磁場在粒子所在處磁感應(yīng)強度大小為 （5） 方向垂直圓周所在的平面.由（4）、（5）式，可得 （6） 評分標準：本題12分． （3）式4分，（4）式2分，（5）式4分，（6）式2分． 五、參考解答： O C A B R R Q M q N 圖1 1．質(zhì)點在應(yīng)作減速運動（參看圖1）．設(shè)質(zhì)點在A點的最小初動能為，則根據(jù)能量守恒，可得質(zhì)點剛好能到達B點的條件為 （1） 由此可得 （2） 2． 質(zhì)點在的運動有三種可能情況： i．質(zhì)點在作加速運動（參看圖1），對應(yīng)條件為 （3） 此時只要質(zhì)點能過B點，也必然能到達O點，因此質(zhì)點能到達O點所需的最小初動能由（2）式給出，即 （4） 若（3）式中取等號，則最小初動能應(yīng)比（4）式給出的略大一點． ii．質(zhì)點在作減速運動（參看圖1），對應(yīng)條件為 （5） 此時質(zhì)點剛好能到達O點的條件為 （6） 由此可得 O C A B R R Q M q D x N 圖2 （7） iii．質(zhì)點在之間存在一平衡點D（參看圖2），在質(zhì)點作減速運動，在質(zhì)點作加速運動，對應(yīng)條件為 （8） 設(shè)D到O點的距離為，則 （9） 即 （10） 根據(jù)能量守恒，質(zhì)點剛好能到達D點的條件為 （11） 由（10）、（11）兩式可得質(zhì)點能到達D點的最小初動能為 （12） 只要質(zhì)點能過D點也必然能到達O點，所以，質(zhì)點能到達O點的最小初動能也就是（12）式（嚴格講應(yīng)比（12）式給出的略大一點．） 評分標準：本題20分． 第1小問5分．求得（2）式給5分． 第2小問15分．算出第i種情況下的初動能給2分；算出第ii種情況下的初動能給5分；算出第iii種情況下的初動能給8分，其中（10）式占3分． rL rL rL rL A B 圖 1 六、參考解答： 時，A、B間等效電路如圖1所示， A、B間的電阻 （1） A B 圖2 時，A、B間等效電路如圖2所示，A、B間的電阻 （2） 由（1）、（2）兩式得 (3) A B 圖3 時，A、B間等效電路如圖3所示，A、B間的電阻 （4） 由（3）、（4）式得 （5） 評分標準：本題20分． （1）式4分，（3）式6分，（5）式10分． 七、參考解答： １．根據(jù)題意，太陽輻射的總功率．太陽輻射各向同性地向外傳播．設(shè)地球半徑為，可以認為地球所在處的太陽輻射是均勻的，故地球接收太陽輻射的總功率為 （1） 地球表面反射太陽輻射的總功率為．設(shè)地球表面的溫度為，則地球的熱輻射總功率為 （2） 考慮到溫室氣體向地球表面釋放的熱輻射，則輸入地球表面的總功率為．當(dāng)達到熱平衡時，輸入的能量與輸出的能量相等，有 　 （3） 由以上各式得 （4） 代入數(shù)值，有 （5） 2．當(dāng)?shù)厍虮砻嬉徊糠直槐└采w后，以表示地球表面對太陽輻射的平均反射率，根據(jù)題意這時地球表面的平均溫度為．利用（4）式，可求得 （6） 設(shè)冰雪覆蓋的地表面積與總面積之比為x，則 （7） 由（6）、（7）兩式并代入數(shù)據(jù)得 （8） 評分標準：本題15分． 第1小問11分．（1）式3分，（2）式1分，（3）式4分，（4）式2分，（5）式1分． 第2小問4分．（6）式2分，（8）式2分． H 南 圖1 M 八、參考解答： 方案一：采光裝置由平面鏡M和兩個凸透鏡L1、L2組成．透鏡組置于平面鏡M后面，裝置中各元件的相對方位及光路圖如圖1所示． L1、L2的直徑分別用D1、D2表示，其焦距的大小分別為f1 、f2．兩透鏡的距離 （1） 直徑與焦距應(yīng)滿足關(guān)系 （2） 設(shè)射入透鏡L1的光強為，透過透鏡L1的光強為，考慮到透鏡L1對光的吸收有 （3） 從透鏡L1透出的光通量等于進入L2的光通量，對應(yīng)的光強與透鏡的直徑平方成反比，進入L2的光強用表示，即 故有 （4） 透過L2的光強，考慮到（3）式，得 （5） 由于進入透鏡L1的光強是平面鏡M的反射光的光強，反射光是入射光的，設(shè)射入裝置的太陽光光強為，則 代入（5）式有 （6） 按題設(shè)要求 代入（6）式得 從而可求得兩透鏡的焦距比為 （7） L2的直徑應(yīng)等于圓形窗戶的直徑W，即，由（2）式得 （8） 由圖可知，平面鏡M參與有效反光的部分為一橢圓，其半短軸長度為 （9） 半長軸長度為 （10） 根據(jù)裝置圖的結(jié)構(gòu)，可知透鏡組的光軸離地應(yīng)與平面鏡M的中心等高，高度為． 評分標準：本題20分． 作圖8分（含元件及其相對方位，光路），求得（7）、（8）兩式共10分，（9）、（10）式共2分． H 南 圖2 M W 方案二：采光裝置由平面鏡M和兩個凸透鏡L1、L2組成，透鏡組置于平面鏡M前面，裝置中各元件的相對方位及光路圖如圖2所示． 對透鏡的參數(shù)要求與方案一相同． 但反射鏡M的半短軸、半長軸的長度分別為 和 評分標準：參照方案一． H 南 圖3 W M 方案三、采光裝置由平面鏡M和一個凸透鏡L1、一個凹透鏡L2組成，透鏡組置于平面鏡M后面（也可在M前面），裝置中各元件的相對方位及光路圖如圖3所示． 有關(guān)參數(shù)與方案一相同，但兩透鏡的距離 如果平面鏡放在透鏡組之前，平面鏡的尺寸和方案一相同；如果平面鏡放在透鏡組之后，平面鏡的尺寸和方案二相同． 評分標準：參照方案一． 九、參考解答：m 0 v 1 v 2 v0 m 0 0 a 1．假設(shè)碰撞后球1和球2的速度方向之間的夾角為（見圖），則由能量守恒和動量守恒可得 （1） （2） 其中，，． 由（1）、（2）式得 （3） （4） 由（3）、（4）式得 （5） （6） 即為銳角． 在非相對論情況下，根據(jù)能量守恒和動量守恒可得 （7） （8） 對斜碰，的方向與的方向不同，要同時滿足（1）和（2）式，則兩者方向的夾角 （9） 即為直角． 2．根據(jù)能量守恒和動量守恒可得 （10） （11） 令 ，， 則有 ，， 代入（10）、（11）式得 （12） （13） 解（12）、（13）兩式得 （14） 或 （15） 即 ， （16） （或，，不合題意） 評分標準：本題16分． 第1小問10分．（1）、（2）式各2分，（6）式4分，（9）式2分． 第2小問6分．（10）、（11）式各1分，（16）式4分． 全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽20--20