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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題講座 第25講 高頻考點(diǎn)分析之直線與圓探討 1～2講，我們對(duì)客觀性試題解法進(jìn)行了探討，3～8講，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，9～12講對(duì)數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行了探討，第13講～第28講我們對(duì)高頻考點(diǎn)進(jìn)行探討。 結(jié)合x(chóng)x年全國(guó)各地高考的實(shí)例，我們從以下三方面探討直線與圓問(wèn)題的求解： 1. 直線的方程和性質(zhì)； 2. 圓的方程和性質(zhì)； 3. 直線與圓的綜合問(wèn)題。 一、直線的方程和性質(zhì)： 典型例題：例1. （xx年北京市文5分）某棵果樹(shù)前n年的總產(chǎn)量S與n之間的關(guān)系如圖所示.從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高。m值為【 】 A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】C。 【考點(diǎn)】直線斜率的幾何意義。 【解析】據(jù)圖像識(shí)別看出變化趨勢(shì)，利用變化速度可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)解，但圖像不連續(xù)，所以只能是廣義上的。實(shí)際上，前n年的年平均產(chǎn)量就是前n年的總產(chǎn)量S與n的商：，在圖象上體現(xiàn)為這一點(diǎn)有縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比。 因此，要使前m年的年平均產(chǎn)量最高就是要這一點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比最大，即這一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的傾斜角最大。圖中可見(jiàn)。當(dāng)n=9時(shí)，傾斜角最大。從而m值為9。故選C。 二、圓的方程和性質(zhì)： 典型例題：例1. （xx年山東省文5分）圓與圓的位置關(guān)系為【 】 A 內(nèi)切　　B 相交　　C 外切　　D 相離 【答案】B。 【考點(diǎn)】?jī)蓤A位置關(guān)系的判定。 【解析】∵兩圓圓心分別為（－2，0），（2，1），∴兩圓圓心距為。 又∵兩圓半徑分別為2，3，∴兩圓半徑之差為1，半徑之和為5。 ∵，即兩圓圓心距在兩圓半徑差與半徑和之間， ∴兩圓相交。故選B。 三、直線與圓的綜合問(wèn)題： 典型例題：例1. （xx年重慶市理5分）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線與圓的位置關(guān)系一定是【 】 A.相離 B.相切 C.相交但直線不過(guò)圓心 D.相交且直線過(guò)圓心 【答案】C。 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系，曲線上 的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。 【分析】從直線與圓的位置關(guān)系入手，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)A（0，1），而點(diǎn)A在圓的內(nèi)部，故直線與圓相交。將圓心（0，0）代入，左右不相等，所以圓心（0，0）不在直線上。故選C。 別解：將代入得。 ∵根的判別式， ∴有兩不相等的實(shí)數(shù)根，即與的圖象有兩交點(diǎn)。 同上判別圓心在不在直線上。 還可求圓心到直線的距離來(lái)判別。 例2. （xx年安徽省文5分）若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍是【 】 【答案】。 【考點(diǎn)】圓與直線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，解絕對(duì)值不等式。 【解析】設(shè)圓的圓心到直線的距離為， 則根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系，得。 ∴由點(diǎn)到直線的距離公式，得，解得。故選。 例3. （xx年陜西省理5分） 已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線，則【 】 A.與相交 B. 與相切 C.與相離 D. 以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能 【答案】A。 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系。 【解析】∵，∴點(diǎn)在圓C內(nèi)部。故選A。 例4. （xx年廣東省文5分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓相交 于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)等于 【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)。 【解析】由直線與圓相交的性質(zhì)可知，，要求，只要求解圓心到直線的距離即可： 由題意可得，圓心（0，0）到直線的距離 ， 則由圓的性質(zhì)可得，，即，解得。故選B。 例5. （xx年湖北省文5分）過(guò)點(diǎn)的直線，將圓形區(qū)域分兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為【　　　】 A. 　B. 　C. 　D. 【答案】A。 【考點(diǎn)】分析法的應(yīng)用，垂徑定理，兩直線垂直的性質(zhì)，由點(diǎn)斜式求直線方程。 【解析】要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過(guò)點(diǎn)的圓的弦長(zhǎng)達(dá)到最小，所以需該直線與直線垂直即可。 又已知點(diǎn)，則。故所求直線的斜率為-1。 又所求直線過(guò)點(diǎn)，故由點(diǎn)斜式得，所求直線的方程為，即。 故選A。 例6. （xx年福建省文5分）直線x＋y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)度等于【 】 A．2 B．2 C. D．1 【答案】B。 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系。 【解析】根據(jù)圓的方程知，圓的圓心為(0,0)，半徑R＝2，弦心距d＝＝1，所以弦長(zhǎng)AB＝2＝2。故選B。 例7.（xx年遼寧省文5分）將圓平分的直線是【 】 （A） （B） （C） （D） 【答案】C。 【考點(diǎn)】直線和圓的方程，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。 【解析】∵， ∴圓的圓心坐標(biāo)為（1，2）。 ∵將圓平分的直線必經(jīng)過(guò)圓心，∴逐一檢驗(yàn)，得過(guò)（1，2）。故選C。 例8. （xx年重慶市文5分）設(shè)A，B為直線與圓 的兩個(gè)交點(diǎn)，則【 】 （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】D。 【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)。 【分析】由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，根據(jù)圓心在直線上，得到AB為圓的直徑，根據(jù)直徑等于半徑的2倍，可得出|AB|的長(zhǎng)： 由圓，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=1。 ∵圓心（0，0）在直線上，∴弦AB為圓O的直徑。 ∴|AB|=2r=2。故選D。 例9.（xx年陜西省文5分）已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線，則【 】 A.與相交 B. 與相切 C.與相離 D. 以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能 【答案】A。 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系。 【解析】∵，∴點(diǎn)在圓C內(nèi)部。故選A。 例10. （xx年天津市理5分）如圖，已知和是圓的兩條弦。過(guò)點(diǎn)作圓的切線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線與圓相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，，，則線段的長(zhǎng)為 ▲ . 【答案】。 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系，相交弦定理，切割線定理，相似三角形的概念、判定與性質(zhì)。 【分析】∵，，，由相交弦定理得，∴。 又∵∥，∴，=。 設(shè)，則， 再由切割線定理得，即，解得，故。 例11. （xx年北京市文5分）直線被圓截得的弦長(zhǎng)為 ▲ 。 【答案】。 【考點(diǎn)】直線和圓的性質(zhì)，解直角三角形。 【解析】利用直角三角形解題： 如圖所示，半弦長(zhǎng)，圓心（0，2）到直線的距離，圓的半徑構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形。 ∵，∴。 ∴弦長(zhǎng)為。 例12. （xx年天津市文5分）設(shè),若直線與軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于，且與圓相交所得弦的長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為 ▲ 【答案】3。 【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式的應(yīng)用。 【分析】∵直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為2， 又∵圓心到直線的距離滿足， ∴，即圓心到直線的距離?！?。 ∴三角形的面積為。 又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， ∴面積的最小值為。 例13. （xx年江蘇省5分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上 至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值是 ▲ ． 【答案】。 【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離。 【解析】∵圓C的方程可化為：，∴圓C的圓心為，半徑為1。 ∵由題意，直線上至少存在一點(diǎn)，以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有 公共點(diǎn)； ∴存在，使得成立，即。 ∵即為點(diǎn)到直線的距離，∴，解得。 ∴的最大值是。 例14.（xx年江西省文5分）過(guò)直線上點(diǎn)作圓的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ▲ 。 【答案】（）。 【考點(diǎn)】圓的切線的性質(zhì)，兩直線的夾角。 【解析】如圖，根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，直線和為過(guò)點(diǎn)的兩條切線，且 =60。 設(shè)的坐標(biāo)為（a，b），連接， ∴平分。 ∴。 又∵圓的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為1，∴?！唷? ∴，即①。 又點(diǎn)在直線上，∴②。 聯(lián)立①②解得：?！帱c(diǎn)的坐標(biāo)是（）。