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教學(xué)資料參考范本 九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《解直角三角形》教案5 華東師大版 撰寫人：__________________ 時(shí) 間：__________________ 解直角三角形是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛，是中考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，也是今后學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)． 解直角三角形及應(yīng)用與直角三角形的概念、性質(zhì)、判定和作圖有著密切的聯(lián)系，它是在研究幾何圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，根據(jù)已知條件，通過(guò)計(jì)算求未知的邊長(zhǎng)、角度和面積等的過(guò)程．要學(xué)好解直角三角形及應(yīng)用，必須理解直角三角形中邊、角之間的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)來(lái)解直角三角形，并會(huì)應(yīng)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．現(xiàn)把直角三角形的解法及應(yīng)用簡(jiǎn)析如下： 1、明確解直角三角形的依據(jù)和思路 　　在Rt△ABC中，∠C＝90，設(shè)三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則解直角三角形的主要依據(jù)是： （1）邊角之間的關(guān)系： sinA＝cosB＝， cosA＝sinB＝，tanA＝cotB＝，cotA＝tanB＝． （2）兩銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90． （3）三條邊之間的關(guān)系：． （4）三角形面積：． （5）同角三角函數(shù)的關(guān)系： 平方關(guān)系：； 商數(shù)關(guān)系：，；倒數(shù)關(guān)系： 　 以上每個(gè)邊角關(guān)系式都可看作方程，解直角三角形及應(yīng)用的思路，就是根據(jù)已知條件，正確地選擇直角三角形中邊角間的關(guān)系式，通過(guò)解一元方程來(lái)求解． 2、解直角三角形的基本類型和方法 　　在直角三角形中，除直角以外還有三條邊及兩個(gè)銳角共五個(gè)元素，那么已知了什么樣的條件的直角三角形才可解呢？ 解直角三角形跟直角三角形的判定與作圖有著本質(zhì)的聯(lián)系．除直角以外，已知兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊）則可作出此直角三角形，即此直角三角形是確定的，所以這樣的直角三角形是可解的．由于已知兩個(gè)銳角的直角三角形是不確定的，它們是無(wú)數(shù)多個(gè)相似的直角三角形，因此求不出各邊的長(zhǎng)．所以，要解直角三角形，給出的除直角外的兩個(gè)元素中，必須至少有一個(gè)是邊．由此可得，解直角三角形就分為兩大類，一類為：已知一條邊及一個(gè)銳角，二類為：已知兩條邊．基本類型和解法歸納如下： 已知條件 解法 一邊及 一銳角 直角邊a及銳角A B＝90－A，b＝acotA， 斜邊c及銳角A B＝90－A，a＝csinA，b＝ccosA 兩邊 兩條直角邊a和b ，B＝90－A， 直角邊a和斜邊c ，B＝90－A， 例1、如圖，若圖中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝，AE＝1，求AB的長(zhǎng)． [分析一]：所求AB是Rt△ABC的斜邊，但在Rt△ABC 中只知一個(gè)銳角A＝，暫不可解．而在Rt△ADE中，已知一直角邊及一銳角是可解的，所以就從解Rt△ADE入手． [解法一]：在Rt△ADE中，∵，且∠A＝，AE＝1， ， 在Rt△ADC中， ， 在Rt△ABC中，． [分析二]：觀察圖形可知，CD、CE分別是Rt△ABC和Rt△ACD斜邊上的高，具備應(yīng)用射影定理的條件，可以利用射影定理求解． [解法二]：同解法一得，， 在Rt△ACD中，， 在Rt△ABC中，． 點(diǎn)評(píng)：本題是由幾個(gè)直角三角形組合而成的圖形．這樣的問(wèn)題，總是先解出已經(jīng)具備條件的直角三角形，從而逐步創(chuàng)造條件，使得要求解的直角三角形最終可解．另外，射影定理揭示了直角三角形中有關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，在解直角三角形時(shí)經(jīng)常要用到．　　 例2、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AD是BC邊上的中線．若BD＝，∠B＝30，求AD的長(zhǎng)； [分析]：由AD是BC邊的中線，只知DC一條邊長(zhǎng)，僅此無(wú)法直接在Rt△ADC中求解AD．而在Rt△ABC中，由已知BC邊和∠B可以先求出AC，從而使Rt△ADC可解． [解析]：在Rt△ABC中，∵BC＝2BD＝2，∠B＝30， ∴AC＝BC tanB＝2， 在Rt△ADC中，∵DC＝BD＝， ∴． 點(diǎn)評(píng)：在解直角三角形的問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到如上的圖形，它是含有兩個(gè)直角三角形的圖形．這樣的問(wèn)題常常是利用其中一個(gè)直角三角形來(lái)解另一個(gè)直角三角形． 例3、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，D為BC上一點(diǎn)，∠ABC＝45,∠ADC＝60，BD＝1，求AB． 分析：已知的角度告訴我們，Rt△ABC 和Rt△ADC都是特殊的直角三角形，抓往這個(gè)特點(diǎn)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系，可以列出一元一次方程求解． 解：在Rt△ADC中，設(shè)DC＝x，∵∠ADC＝60，∴AD＝2x，AC＝x， 在Rt△ABC中，∵∠ABC＝45，BD＝1，∴1＋x＝x， ∴x＝，∴AB＝AC＝x＝． 點(diǎn)評(píng)：解直角三角形時(shí)，要注意三角形中主要線段的性質(zhì)，要注意發(fā)掘圖形的幾何性質(zhì)，建立已知與未知的聯(lián)系，利用線段的和差的等量關(guān)系布列方程． 例4、Rt△ABC中，∠C＝90，已知a＝10，，解這個(gè)直角三角形． [分析]：因Rt△ABC的面積為，故用已知條件可求出b的值，這樣一來(lái)，Rt△ABC就已知兩直角邊了，再由直角三角形中的銳角三角函數(shù)定義，便可求出銳角和斜邊． [解析]：∵∠C＝90，，∴＝， ∵a＝10，∴b＝，∴，∴∠A＝60， ∵∠A＋∠B＝90，∴∠B＝90－60＝30， ∵∠C＝90，∠B＝30，∴c＝2b，∴c＝． ∴b＝，c＝，∠A＝60，∠B＝30． 點(diǎn)評(píng)：在直角三角形中，銳角三角函數(shù)定義是連接三角形中邊角關(guān)系的紐帶，因此要熟練地掌握定義，進(jìn)而靈活運(yùn)用，要注意：直角三角形中若已知一邊長(zhǎng)和一個(gè)特殊銳角（30、45、60），則可利用三角函數(shù)定義求出其它兩邊的長(zhǎng)，利用這一方法有時(shí)比利用勾股定理要簡(jiǎn)單得多． 例5、已知：如圖，在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝30，∠C＝45，求△ABC的面積． [分析]：構(gòu)造Rt△ABD，利用特殊角的三角函數(shù)值，求出BC邊上的高AD即可． [解析]：過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)AD＝x，則DC＝x，BD＝x，∵BC＝BD＋DC＝＋1， ∴x＝1，∴ 點(diǎn)評(píng)：本題體現(xiàn)了基本圖形基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用．同時(shí)要注意，作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時(shí)常用的方法． 3、解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 　　借助解直角三角形來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是要從實(shí)際問(wèn)題中抽象出幾何圖形，把實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊角之間的關(guān)系，從而通過(guò)解直角三角形使實(shí)際問(wèn)題得到解決． 例1、如圖所示，河對(duì)岸有一座鐵塔AB，若在河這邊C、D處分別用測(cè)角儀器測(cè)得塔頂B的仰角為30和60．已知測(cè)角儀器高為1.5米，CD＝20米，求鐵塔的高．（精確到0.1米）． [解析]：設(shè)BG＝x，在Rt△BGF中，∵cot∠BFG＝， ∴FG＝BGcot∠BFG＝xcot60＝x， 在Rt△BGE中，EG＝BGcot∠BEG＝x． ∵EG－FG＝EF，且EF＝CD＝20，∴x－x＝20，解得x＝10， ∴AB＝BG＋AG＝10＋1.5≈18.8（米） 答：鐵塔的高約為18.8米． 點(diǎn)評(píng)：把應(yīng)用性問(wèn)題問(wèn)題，設(shè)法化歸為解直角三角形問(wèn)題，必要時(shí)應(yīng)添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形． 例2、如圖，在等腰三角形ABC中，底邊BC為5，α是底角且tanα＝，求AC． [解析]：作AD⊥BC于D，在Rt△ADB中，∵tanα＝，∴設(shè)AD＝2k，BD＝5k， 則AB＝, 又∵BC＝5，∴BD＝, ∴5k＝,得k＝． ∴AC＝AB＝． 點(diǎn)評(píng)：作等腰三角形ABC底邊上的高AD，則構(gòu)造出直角三角形． 例3、一艘船以32.2海里／小時(shí)的速度向正北航行，在A處看見(jiàn)了燈塔S在船的北偏東 20，半小時(shí)后，航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65，求燈塔S 和B處的距離．（精確到0.1海里） [解析]：依題意作簡(jiǎn)圖, 如圖，作BE⊥AD于E．∵AB＝32.2＝16.1（海里）， A在Rt△AEB中，sin20＝，∴BE＝ABsin20＝5.5062（海里）． 在Rt△BES中，∠BSA＝65－20＝45， ∵sin45＝，∴BS＝7.8（海里）． 答：燈塔S和B處的距離約為7.8海里． 點(diǎn)評(píng)：畫簡(jiǎn)圖時(shí)，先確定正北方向，然后按已知條件確定各角；由于△ABS是斜三角形，所以需適當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造可解直角三角形． 例4、如圖，一水壩橫斷面為等腰梯形ABCD，斜邊AB的坡度為1∶，坡面AB的水平寬度為3米，上底AD寬為4米，求坡角∠B，壩高AE和壩底BC的寬（精確到0.1米）． [解析]：，， 又∵坡面AB的水平寬度為3米，即BE＝3米， ∴AE＝3（米）．∴BC＝2BE＋AD＝6＋4≈14.4（米）． 答：坡角∠B為30，壩高AE為3米，壩底寬約為14.4米． 點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用問(wèn)題盡管題型千變?nèi)f化，但關(guān)鍵是設(shè)法化歸為解直角三角形來(lái)解． 10 / 10