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三自由度并聯(lián)機器人的精度分析 摘要 三自由度平面并聯(lián)機器人越來越多的被應用于精確度很重要的領域，因而毫無疑問地會需要測試這些機器人精確性的方法。那些設計精良，制作很好，校正好的并聯(lián)機器人的精確性主要依靠輸入誤差（傳感器和控制器的誤差）靈巧和其他類似的性能指標經(jīng)常被用來直接測試輸入誤差的影響。然而工業(yè)需要的是在一個既定的額定配置下，有關最大的方向和位置的輸出誤差的精確知識。一種能夠用于此目的的區(qū)間分析法已經(jīng)在文 獻 中提出，但是對于優(yōu)化設計的問題并沒有給出運動學方面的深刻見解。在此論文里，我將在對三自由度平面 并聯(lián)機器人進行詳細的 誤差 分析的基礎上，提出一個更簡單的，有助于理解 誤差 放大的方法。 并聯(lián)機器人越來越多地應用于精確定位，而且許多并聯(lián)機器人被 用來 做三自由度平面 校準 。顯然，在這些工業(yè)實際應用中，精確度是最重要的。因此，工業(yè)很需要能夠簡單快速的計算一個給定的機器人的精確度的方法，以便用其設計尋求最大精確度的最佳求解程序。 并聯(lián)機器人在方向和位置上的誤差取決于以下幾個因素： 差 ，此種 誤差 在校對的時候是能夠考慮到 ； 力 ，選擇適當?shù)臋C械零部件可以消除這種影響 ； 用更堅硬的結構消除這種 影響（這種方法將增加慣性，降低操作速度） ； 于編碼器有限的決定以及傳感器錯誤和控制器錯誤。 因而，正如梅爾萊所指出的，明顯的關節(jié)處的失誤（輸出 誤差 ）是 設計精良，制作很好，校正好的并聯(lián)機器人出錯的最重要的 誤差 來源。 在此論文里，我們將解決計算并聯(lián)機器人只存在明顯的關節(jié)連接的錯誤時，它的精確度的問題。 為了論文總體平衡，“精確度”這個術語因而指的是當并聯(lián)機器人只存在明顯的關節(jié)連接錯誤時在方向和定位上的失誤。 經(jīng)典分析法存在于使得輸入錯誤與輸出誤差相一致的一級近似值中： P= 的是的 驅動關節(jié)的 （輸入）錯誤的向量， 差 的向量， 然而 ,這種方法將只提供一種近似的輸出最大誤差 。 事實上 ,正如我們在文章中所論述的 ,當給定驅動關節(jié)變量一個標準結構和一些不確定的范圍，一般情況下 驅動關節(jié) 變量的一個局部最大位置誤差和一個局部最大定位誤差不僅僅出現(xiàn)在不同的裝置上，而且這些驅動關節(jié)變量在不確定的極限范圍內是根本不需要的。 一些發(fā)展成熟的性能指標已經(jīng)被用來粗略的評價串聯(lián)和并聯(lián)機器人的精確度。最近的一篇文獻中研究了大多數(shù)這些性能指標并且分析了它們應用到并聯(lián)機器人的移動和轉動 自由度中所遇到的矛盾。最常見的間接優(yōu)化并聯(lián)機器人精度的性能指標是敏捷指標，條件數(shù)和整體的環(huán)境負荷指標。然而 ,在最近的一項對三自由度平面并聯(lián)機器人精度的研究中 ,論證了敏捷指標對機器人的精度幾乎沒有任何影響 ,正如我們所定義的一樣。 很明顯 ,考慮到執(zhí)行機構的不精確的情況下，提高工業(yè)并聯(lián)機器人精度的最好方法是將最大位置誤差和最大定位誤差安排在給定的一部分工作空間之外或者在給定的標準結構里面。 最近提出了一個通用的方法是基于統(tǒng)計學的區(qū)間分析對給定的一部分工作空間以外的輸出誤差的近似值進行計算。顯而易見的，給定的一部分 工作空間以外的輸出誤差對機器人設計者來說是最重要的。不過 ,對于不給定機器人在工作空間內的精度變化的信息和優(yōu)化設計運動的問題用這種方法是相對非常困難的。相反 ,一個非常簡單的幾何計算方法用來計算三自由度并聯(lián)機器人精度的精確值被描繪出來了。 該方法提出了 取代了現(xiàn)有的關于最大位置誤差映射與最小定位誤差映射的敏捷映射。 雖然這種方法包括了當下精密并聯(lián)機器人最有前途的三個設計理念 (其中之一是商業(yè)化 ,另兩個建成實驗室原型 ),它并不總是能適用于其他三自由度平面并聯(lián)機器人。 本文概括了文獻 [5]所提出的 方法并遵循一個讓我們對三 自由度并聯(lián)機器人精度有深刻認識的詳細的數(shù)學證明。 現(xiàn)代研究認為只有三桿三自由度并聯(lián)機器人有移動副和轉動副，每個桿子上面都有一個驅動副，而且在每個桿子上面最多只有一個被動的移動副。這種方法是以兩個實際的設計為例的： 機器人。這個機器人是機器人 面 3器人 。一個以此為基礎設計的精密的并聯(lián)機器人已經(jīng)在德國 布倫斯維克 科技大學研究開發(fā)。 第二節(jié)簡略的概括了文章中所用到的一 些數(shù)學原理。第三節(jié)提供了一些分析定位誤差和位置誤差的方法。最后 ,第四節(jié)包括幾個數(shù)值例 ,并在最后一節(jié)給出了結論。 現(xiàn)如今主要研究的是分析由驅動關節(jié)變量有限誤差引起的 并聯(lián)機器人的（局部）最大位置誤差和（局部）最大定位誤差。在一個閉區(qū)間上，函數(shù)的最大值 X? 和 ?? ,定義為 : 2020 )()( ???? ， 20 )( ??? ??? ， 在0x,0并聯(lián)機器人在笛 卡爾坐標中相應的 名義 （理論） 平臺位姿 （方向和位置） ,而 x ， y 和 ? 是 實際平臺坐標系 。 如果一個三自由度平面機器人是完全并聯(lián)的 , x? 和 ?? 是這三個變量的函數(shù)：機器人的驅動關節(jié)變量（輸入），我們用 3,2,1?因此，我們必須求出當],[ 00 ?? ??? x? 和 ?? 的最大值，其中 0 ? 分別是驅動關節(jié)變量相應于名義平臺位姿和驅動關節(jié)變量上的誤差。 為了簡化我們的誤差分析 ,我們可以假設標準結構非常的遠離 (1 型和 2 型 )奇點。 1 型奇點是當并聯(lián)機器人失去一個泛函數(shù)就失去一個或更多個自由度的結構。這些都是內部和外部工作空間的界限。因為這個原因 ,在有效的工作空間內的工業(yè)并聯(lián)機器人都遠離這個奇點。類似的， 2 型奇點是并聯(lián)機器人失去一個泛函數(shù)將會失去對整個移動平臺控制的另外一種結構。此外 ,靠近這些結構時輸出誤差將會以指數(shù)的數(shù)量級 來增加。因為這些原因工業(yè)并聯(lián)機器人必須要排除一些奇點。因此只有當結構非常的遠離奇點時我們將會完成我們的誤差分析，也就是 當驅動關節(jié)變量在誤差區(qū)間范圍內機器人不能進入奇點的標準結構。 當我們提出這些實用性的假設時，我們忙于尋找 x? 和 ?? 的最大值難題?？偹苤ㄟ^分析海賽矩陣在給定區(qū)間范圍以外尋找連續(xù)性多變量函數(shù)的最大值 f ，H ： 圖 1 輸入誤差邊界圖 ????????????????????????????????????232322222312212212變量的集合為 ? ?21 ,,， ? ??? ???00 , 果? ? 0,, 321 ??? 么得出一個 f 的極值而且 H 一定是負數(shù)。如果存在一個這樣的點，我們稱之為第一類極值。 從輸入誤差邊界圖（圖 1）中可以看出，在對面同意存在一個 f 的極值，這個時候，我們就要對六個函數(shù)中 每 兩個變量的極值進行研究，定義為：).,,(),(:g ),,,(),(:),,,(),(: ),,,(),(:),,,(),(: ),,(),(:302121632013133021215321032232013143,210321??????????????????如果這些點存在，我們稱之為第二類極值。在輸入誤差邊界框的邊緣上同樣存在 f 的極值 。這個時 候，我們 就得研究 函數(shù)中十 二個變量 的極值：),,,(: ),,,(:),,,(: ),,(:),,,(: ),,,(:),,,(: ),,,(:),,,(: ),,,(:),,,(: ),,,(:3201031230210263201031130,21025320103103020114320103930201133021028302011230210273020111??????????????????????????????????????????????????????????如果這些點存在，我們稱之為第三類極值。 最后，在輸入誤差邊界框的八個棱角上面也存在著 f 的極值。這八個 點被稱為第四類極值。 找出 ??? 和x 的極值也就相當于找出了 22 ??? 和X 函數(shù)的極值。在文章的下一部分中，我們將研究 22 ??? 和X 函數(shù)的極值。 大定位誤差 2?? 的偏導數(shù)為： ).(2)( 02 ???? ???????ii 00 ????? ??? 或個導數(shù)的值等于零。很明顯可以看出，不論怎么樣，只有當 0???，極值才存在。 對于三自由度平面并聯(lián)機器人來說， 0???條件相當于兩種不同的情形。 —— 機器人處在 1型奇點。然而，我們已經(jīng)假設在 研究區(qū)間中機器人是不能進入 1型奇點的。 —— 當 j和 k 桿固定住 ),3,2,1,( ?? ，移動平臺的運動將會是完全的移動。圖 2表示為通過轉動關節(jié)將機器人的移動平臺連接到三個驅動桿上。在移動平臺上的每個桿子都給一個旋轉運動的運動中心表示為 P。當制動器 1和 2 是固定的，而制動器 3 是運動的，那么 21 轉動的交點3 因此，如果 ? ?? ，矢量3?，定義為 ? ? ???????，代表僅僅只有制動器 3工作時平臺的瞬時位移。為了使平臺做完全的移動，轉動桿1R 和 2R 必須是平行的（圖 3所示）。當這種結構在我們所研究的區(qū)間內，則與之圖 2 移動桿應用于移動平臺上 相對應的定位誤差為局部的極值。 因此，只有當jR，kR ?? ),3,2,1,,(時第二類極值才存在。然而，這個就相當于以前發(fā)生過的不可能的情況。 當3,2,1,( ?第三類 極值存在。如果這種結構是可能的，那么就要去測試以確定它的性質。 最后，第四類極值是一直存在的，也必須一直用來做測試。 因此，在對定位誤差的分析中，只有第三或者第四類極值才有可能出現(xiàn)。即使是對結構最簡單的三自由度平面并聯(lián)機器人來說，計算分析第三類最大值也是非常困難的。由于在能感應到機器人結構中可能有兩個平行的旋轉桿的工作空間范圍內，可能存在一個定位角局部的最大值（而不是最小值），因此，我們堅信進行實驗最好的方法是將輸入誤差邊界框的邊緣進行離散（圖 1），在每一個離散點計算 ?? ，并且保留最大值。顯然，這種離散是有那么點耗費時間的而且不是太精確，但是我們的這種方法相比于簡單的 敏捷圖 依然得出了非常有意義的結果。然而要注意的是在大部分情況下這種結構將不會發(fā)生。在這種情況下，必須有人能夠在輸入誤差邊界框的每個棱角上計算出 ?? 并保留最大值。這樣得出的定位誤差才是精確的。 圖 明了純平移運動的一種變化 大位置誤差 2X? 的偏導數(shù)為： ).()(2)( 02 ????? 如果當 0???0???者 00 ?? 個導數(shù)的值為零。很明顯可以看 出，條件 00 ?? 此將被忽略。對于三自由度平面并聯(lián)機器人來說， 0??? —— 機器人處在 1型奇點。然而，我們已經(jīng)假設在 研究區(qū)間 中機器人是不能進入 1型奇點的。 —— 當 j和 k 桿固定住 ),3,2,1,( ?? ，移動平臺的運動將會是完全的移動。如果平臺的運動時完 全的轉動的，那就意味著桿 1R 和3 點相重合（圖 5）。當這種結構在我們所 研究的區(qū)間 內，則與之相對應的定位誤差為局部的極值。 圖 4 函數(shù) 2?? 的第一和第二類極值 極小 的運動 接下來，我們將要用幾何的方法來說明 2X? 的全局的最大值僅僅存在于輸入誤差邊界框的邊緣上（包括各個頂點）。事實上，找出這個最大值就等同于發(fā)現(xiàn)遠離名義上的移動平臺位置中心無常區(qū)域中的點。通過去除相應的區(qū)間中的驅動關節(jié)變量獲得這個無常的區(qū)域上機器人基本的最大工作空間 (也就是平臺中心可達到的所有位置）， ? ??? ???00 , 然，我們所尋找的點將會最大工作空間的邊界上。 文獻 10 中介紹了用幾何算法來計算這個邊界，但在這 里我們不會去詳細的討論它。我們只需要提到相對應這段邊界曲線組成的這種結構至少有一條邊在 1類奇點上（這是排除在我們研究范圍以外的）或者在驅動關節(jié)極限內（依然被我們認為沒有極限的被動關節(jié)）。這一段只有一個驅動關節(jié)在一個限制的直線段（在第一類中是移動關節(jié)）或一個圓弧半徑取決于桿的長度與平臺的尺寸（在第二類中是轉動關節(jié)）。 在誤差分析中，機器人的 區(qū)間間隔 相對應外形尺寸是非常小的，所以給不確定的區(qū)域一個名義上的結構。那就意味著在實踐當中，一個屬于邊界不確定區(qū)域的圓弧半徑將會遠遠大于最大位置誤差。因此，對于這樣一個大半 徑的小圓弧，離名義上的位置最遠的點將在兩末端之一的圓弧上。因此這個點在極限內將至少對應兩個驅動關節(jié)變量。 因此，感謝這個幾何分析，我們將能夠證明最大位置誤差不會出現(xiàn)在其他地方而是在輸入誤差邊界框的邊緣上。下一步更深入的分析將會得到保證，在某一精度條件下，最大位置誤差僅僅出現(xiàn)在輸入誤差邊界框的八個棱角的某一個上面。 對于桿 j 和 k（ ?? ,3,2,1, ），有第三種最大的條件在區(qū)間上[ ?? ??00 , ii ： 圖 明了純轉動的一種變化 （ a） 0??? （ b）?正交與0 條件（ a）已經(jīng)討論過了。這樣一種結構必須要檢查去判斷它是否符合全局最大值。但是，要分析識別這種結構是相當困難的。因此，我們再一次的確信最好的著手點是在一種讓你感覺到機器人可能處在兩腿壓力相交于移動平臺中心的結 構的區(qū)域活動空間，把輸入邊界框的邊緣進行離散，在每一個離散點上計算X? ，并保留最大值。但是注意，這種結構在大多數(shù)情況下顯然是不存在的。對于這種情況，我們必須只考慮條件（ b）。 條件（ b）是更加復雜的分析。?的偏導數(shù)代表的機器人建立雅克比 陣最初的兩個要素。如果?矢量的 方向在研究區(qū)間內接近一個常量（但是要遠離第二類奇點），那么就可以說在這個區(qū)間內當桿 j 和 k 是固定的，機器的位移近似的為一條直線。這個我們可以近似的通過計算矢量?在輸入誤差邊界框的每個棱角來驗證。如果矢量?的方向的變化量沒有達到給定值（比如 ?1 ），那我們就可以認為?在研究區(qū)間內沒有發(fā)生變化。 令?正交于0 B（圖 6）。矢量 u 定義為在 B 點允許移動位移的方向。如果我們描繪一條線穿過 的方向根據(jù)矢量 有當驅動器在運轉的時候這條線定義為平臺位移的軌跡在 果我們描繪出兩個圖 ?正交于0得出一個極值 點 A 和 C 在這條直線上在 B 點周圍，當 它的驅動桿指向的量 此，當驅動桿運動的時候它就一次通過 A、 B、 這就可以確定的標出 點在 )()(0i ???上的結果了。在 就可以看出 X? 的局部最小值。因此這種結構不能代表第三類最大值。 當然，也存 在我們經(jīng)驗法則例外的情況，但是那些都是針對某些特定的機構而極少出現(xiàn)的。比如三自由度并聯(lián)機器人就是這種情況。當兩個制動器都關閉的時候，通過曲線描述平臺中心將是一個橢圓。因此，如果我們在它的端點取一條線段，斜率是基本不會變化的，這條線段明顯的接近這條直線。然而，如果考慮到三自由度并聯(lián)機器人，這條曲線就是 6次方的。理論上，可能存在這樣的線段在端點的斜率是幾乎一致的，但這條線段并不是線性的。但是我們考慮到這種情形是幾乎不可能發(fā)生的，而且即使它們發(fā)生了也是在某一特定情況下而不是在工作空間內。所以為了簡單起見，在我們研 究時忽略這種極小的可能性。 論 總而言之，我們提出的方案對很多實際的三自由度并聯(lián)機器人的設計是很容易去簡單而又快速地實現(xiàn)。對于大多數(shù)的設計，在每個名義上的結構我們都要計算 8套關節(jié)變量的直接運動點，既不能用分析也不能用精確數(shù)值的方法（因為我們遠離奇點）。因此，為了計算給定名以上結構的三自由度并聯(lián)機器人的局部最大定位誤差和局部最大位置誤差，我們至少也要計算 12用圖 11中給出的方法）， 面已經(jīng)提到，這樣的離散化是相當耗費時間的而且可能 導致計算精度不夠高。然而，相對簡單的分析可以顯示，對于機器人設計只有輸入誤差邊界框的八個頂點需要驗證。也就是說，為了計算最大定位誤差，這是沒有兩個壓力可以平行的條件下而導致局部最大值，為了計算最大位置誤差，這是沒有兩個壓力在平臺中心相交的情況下且矢量?的方向變化是非常微小的。 自由度 3面并聯(lián)機器人 在這部分中，我們將研究三自由度 3面并聯(lián)機器人的精度（圖 7）。這個機器人的設計如下： 裝在底部位于轉動關節(jié) -- 5.0? ??? 。 這個機器人的第二類奇點是總所周知的 [12當機器人是這種結構的時間出現(xiàn)： ???? ? 7 3 c o s 111 ； 位于以 c ??的圓上； 當點三個第一類奇點位于第二類奇點的圓上。 因此我們建議分析以 個不同的定位角 ? 分別為 0°和10°時的可用工作區(qū)。這個工作區(qū)遠離奇點（第二類奇點的圓在 ?? 0°和 10°時的半徑分別為 這個機器人的直接運動學模型是很容易獲得的且有兩個明顯的解決方案，因為驅動關節(jié)變量不會一起奇點。我們要研究這里的三種不同情況： (a)兩個壓力并聯(lián)的結構。這種情況不是定位誤差的局部最大值就是局部最小值。在我們的例子中，壓力垂直于移動關節(jié)的方向并且通過點此，這種情況圖 出現(xiàn)是當兩個移動關節(jié)的方向是并聯(lián)的（圖 8a）。對于這種結構，要使定位的平臺保 持不變只有當受操控的關節(jié)移動。因此，這種結構是定位誤差的局部最小值。 (b)兩個壓力相交于平臺中心的結構。這種情況不是位置誤差的局部最大值就是局部最小值。在我們的例子中，很容易驗證這種結構只出現(xiàn)在研究工作空間以外（圖8b）。 (c)矢量?的方向是不斷變化的結構。圖 9a和 ?的方向在研究區(qū)間里的變化量?？梢钥闯鲞@種變化在研究區(qū)間里是非 常微小的（小于 因此，只有 8套驅動關節(jié)變量對機器人最大定位誤差和最大位置誤差的給定名義圖 對應于三自由度并聯(lián)機構的局部最大定位誤差 03 ??? q?。 b 圖對應的最大位置誤差 03 ??? 工 作 空間邊界 圖 ? 的兩個變化方向為（ a） 0?? 和（ b） 10?? 上的姿勢進行測試。對其中的每一套，都可能有兩個平臺姿勢得到分析，且對相對應的定位誤差和位置誤差接近名義上的姿勢的解決方案的計算。兩個位置等高線的結果在圖 10和圖 11 中所表示出來。 正如我們所預期的，機器人在遠離奇點的工作空間的中心是更加準確的。越靠近機器人奇點的圓準確性就越低。但要注意的是總有一種實質性的位置誤差，在工作空間中心的定位誤差幾乎為零。 自由度 3面并聯(lián)機 器人 在這部分中，我們將研究三自由度 3面并聯(lián)機器人的精度（圖 12)。這款機器人的設計如下： 圖 ?? 時的最大定位和位置誤差。 a 圖為最大定位誤差， b 圖為最大位置誤差。 圖 0?? 時的最大定位和位置誤差。 a 圖為最大定位誤差， b 圖為最大位置誤差。 為圓心1半徑的圓； -- ??； m?? 10? 。 該機器人允許 6 個直接運動點的分析和不能被解決的分析。當驅動關節(jié)變量保留它們的間隔時，我們只需要解決達到名義上的姿勢， 而最好的辦法是用一種迭代數(shù)值方法如牛頓方法。該方法只需要計算機器人的雅克比矩陣，而這是很容易實現(xiàn)的。在我們的誤差分析中，我們總是先對名義上的結構進行計算并改變驅動關節(jié)變量在一個非常小的區(qū)間長度 ? 。此外，我們將用這種方法計算足夠遠離奇點的結構。因此，正如這個例子所驗證的，這種計算方法收斂很快（通常精度達到 2010? 010?度只需做兩步的迭代計算）。 這種機器人奇異點已經(jīng)被研究，但其對應的曲線是相當復雜的。然而幸運的是，很容易找到一個在工作空間內沒有奇異點的工作模型的設計（給定一個逆向運動方圖 法）。我們所研究的機器人的工作空間相當于一個內接于以 O 為圓心，半徑為 角形的一條邊平行于 們所研究的工作空間的定向角為 0°和 10°。這其中沒有第二類奇點。 我們必須研究以下三種不同的情況： (a)兩個壓力并聯(lián)的結構。這種情況不是定位誤差的局部最大值就是局部最小值。在我們的例子 中，瞬時壓力沿著直線此這種情況出現(xiàn)是當兩個桿平行的時候（圖 13）。第二種類型結構存在。圖 13a 表示相當于局部最小定位誤差時的結構。對這種平行四邊形的兩條邊和平臺的定位保持不變的結構，第三個執(zhí)行機構單獨運轉。圖 13b 表示相當于局部最大定位誤差時的結構。在這種結構中，如果第三根桿推動移動平臺往任意方向移動，那么它就相當于是轉動了。然而在我們的例子中，很容易去驗證在我們研究的工作空間內是不會出現(xiàn)這種結構的。 (b)兩個壓力相交于平臺中心的結構。這種情況不是位置誤差的局部最大值就是局部最小值。在我們的例子中，很容易驗證這種結構不會出現(xiàn)在研究工作空間之內 。 (c)矢量的方向是不斷變化的結構。圖 14a 和 以看出這種變化在研究區(qū)間里是非常微小的（小于 前面已經(jīng)提到，這個并不能保證最大位置誤差在輸入誤差邊界框的任意一個頂點上面出現(xiàn)。因此，目前我們已經(jīng)驗證了在邊界框邊緣上的實例（通過對每條邊進行 20 次離散）。就連一個位置誤差不在 8 個頂點的任意一個上面的名義上的結構都沒有發(fā)現(xiàn)。所以在 這個例子當中我們的假設就成立的。 因此，對于這個機器人也一樣，也是只有八套驅動關節(jié)變量對局部最大定位誤差和局部最大位置誤差的計算進行測試。兩個位置等高線的結果在圖 15 和圖 16 中所表示出來。 圖 a 圖）和局部最大定位誤差（ b 圖）。 可以看出，這個并聯(lián)機器人的最大定位誤差和最大位置誤差值接近一個常數(shù)，大約為 11 m? 到 17 m? 之間，僅僅略大于輸入誤差的范圍 m?? 10? 。這個可以用機器人在研究工作空間內遠離第二類奇點來解釋。并且在工作空間內它所產(chǎn)生的定位誤差是一個幾乎為零的常數(shù)。因此正如參考文獻 8 的作者所驗證的那樣，這款并聯(lián)機器人是進行精確定位的最佳候選人。 圖 ?的兩個變化方向的取向（ a） 0?? 和 (b） 10?? 。 圖 ?? 的時候的最大定位誤差（ a）圖和最大位置誤差（ b）圖。 圖 0?? 的時候的最大定位誤差（ a）圖和最 大位置誤差（ b）圖。 5 結論 這篇論文 對 三自由度平面并聯(lián)機器人的局部最大定位和位置誤差進行了詳細的研究。研究證明，當距離奇異點足夠遠，且至少兩個輸入出現(xiàn)一個最大誤差，局部最大定位和位置誤差才會出現(xiàn)。然而，當僅有兩個輸入就處于最大誤差時， 一個簡單的程序，對于一個 給定的設計，建議評估是否會出現(xiàn)輸出誤差。多虧了此次的詳細研究，提出了一個簡單的方法來計算給定的名義上的結構和輸入誤差界限的局部極大方向與位置誤差。該方法包含解決 8 個直接運到點或最大限度為 12n（其中 輸入。此方法是相對快速和精確的，但主要是容易實現(xiàn)，和能對并聯(lián)機器人的運動精度產(chǎn)生有價值的發(fā)現(xiàn)。作者認為本文中推薦的方法應該被用于所有三自由度完全平面并聯(lián)機器人，而不是那些沒什么意義的圖。