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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5篇 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法課時訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】 知識點(diǎn)、方法 題號 觀察法求通項(xiàng) 1、8 遞推公式應(yīng)用 3、5、9、14 an與Sn的關(guān)系 2、4、10、11、13 數(shù)列的單調(diào)性、最值 6、7 綜合問題 12、15 一、選擇題 1.數(shù)列、、、,…的一個通項(xiàng)公式是(　D　) (A)an= (B)an= (C)an= (D)an= 解析:觀察數(shù)列的前四項(xiàng)可得該數(shù)列的一個通項(xiàng)公式是an=. 故選D. 2.若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=,則等于(　D　) (A) (B) (C) (D)30 解析:a5=S5-S4=-=, ∴=30. 故選D. 3.對于數(shù)列{an},a1=4,an+1=f(an),依照下表則axx等于(　D　) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:由題意a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5, a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1. 則數(shù)列{an}的項(xiàng)周期性出現(xiàn),其周期為4,axx=a4503+3=a3=5.故選D. 4.(xx銀川九中月考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn等于(　B　) (A)2n-1 (B)()n-1 (C)()n-1 (D) 解析:由Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn), 所以Sn+1=Sn. 所以{Sn}是以S1=a1=1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列. 所以Sn=()n-1. 故選B. 5.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是(　D　) (A)an=2n-1 (B)an=()n-1 (C)an=n2 (D)an=n 解析:由已知得nan+1=(n+1)an, 所以=, 所以{}是各項(xiàng)為1的常數(shù)數(shù)列. 即=1,an=n. 故選D. 6.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-2λn(n∈N*),則“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的(　A　) (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件 解析:若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列, 則有an+1-an>0, 即2n+1>2λ對任意的n∈N*都成立, 于是有3>2λ,λ<. 由λ<1可推得λ<, 但反過來,由λ<不能得到λ<1, 因此“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件. 故選A. 7.設(shè)an=-3n2+15n-18,則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是(　D　) (A) (B) (C)4 (D)0 解析:an=-3(n-)2+, 由二次函數(shù)性質(zhì),得當(dāng)n=2或n=3時,an取最大值,最大值為a2=a3=0.故選D. 二、填空題 8.數(shù)列-,,-,,…的一個通項(xiàng)公式為　　　　. 解析:觀察各項(xiàng)知,其通項(xiàng)公式可以為an=. 答案:an= 9.已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,則{an}的通項(xiàng)公式an=　　　　. 解析:∵an+1=,∴=+2. ∴-=2, ∴數(shù)列{}是以=1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列, ∴=1+(n-1)2=2n-1. ∴an=. 答案: 10.已知a1+2a2+22a3+…+2n-1an=9-6n,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是　　　　. 解析:令Sn=a1+2a2+22a3+…+2n-1an,則Sn=9-6n, 當(dāng)n=1時,a1=S1=3; 當(dāng)n≥2時,2n-1an=Sn-Sn-1=-6,∴an=-. ∴通項(xiàng)公式an= 答案:an= 11.(xx遼寧大連測試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n+1(n∈N*).則an=　　　　. 解析:Sn=(n+1)2, 當(dāng)n=1時,a1=S1=4, 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n+1)2-n2=2n+1, 所以an= 答案: 12.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2(7-n)(n∈N*),則an的最大值是　　　　. 解析:設(shè)f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2, 當(dāng)x>0時,由f′(x)=-3x2+14x=0得,x=. 當(dāng)00, 則f(x)在上單調(diào)遞增, 當(dāng)x>時,f′(x)<0, f(x)在上單調(diào)遞減, 所以當(dāng)x>0時,f(x)max=f. 又n∈N*,4<<5,a4=48,a5=50, 所以an的最大值為50. 答案:50 13.(xx上海八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,其前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+1=2Sn+1,則an=　　　　. 解析:由已知Sn+1=2Sn+1得Sn=2Sn-1+1(n≥2), 兩式相減得an+1=2an, 又S2=a1+a2=2a1+1,得a2=3, 所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列, 因此其通項(xiàng)公式為an= 答案: 三、解答題 14.(xx陜西五校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*). (1)證明:數(shù)列{}為等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an. (1)證明:∵a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*). ∴設(shè)bn=, 則b1==2. bn+1-bn=- =[(an+1-2an)+1] =[(2n+1-1)+1] =1, 由此可知,數(shù)列{}為首項(xiàng)是2、公差是1的等差數(shù)列. (2)解:由(1)知,=2+(n-1)1=n+1, an=(n+1)2n+1. 15.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n-30. (1)求數(shù)列的前三項(xiàng),60是此數(shù)列的第幾項(xiàng)? (2)n為何值時,an=0,an>0,an<0? (3)該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn是否存在最值?說明理由. 解:(1)由an=n2-n-30,得 a1=12-1-30=-30, a2=22-2-30=-28, a3=32-3-30=-24. 設(shè)an=60,則60=n2-n-30. 解得n=10或n=-9(舍去). ∴60是此數(shù)列的第10項(xiàng). (2)令an=n2-n-30=0, 解得n=6或n=-5(舍去). ∴n=6時,a6=0. 令n2-n-30>0, 解得n>6或n<-5(舍去). ∴當(dāng)n>6(n∈N*)時,an>0. 令n2-n-30<0,n∈N*,解得0

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