2019-2020年高三數(shù)學總復習分類匯編 第三期 G單元 立體幾何.doc
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2019-2020年高三數(shù)學總復習分類匯編 第三期 G單元 立體幾何 目錄 G單元 立體幾何 1 G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu) 2 G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 2 G3 平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線 2 G4 空間中的平行關(guān)系 2 G5 空間中的垂直關(guān)系 2 G6 三垂線定理 2 G7 棱柱與棱錐 2 G8 多面體與球 2 G9 空間向量及運算 2 G10 空間向量解決線面位置關(guān)系 2 G11 空間角與距離的求法 2 G12 單元綜合 2 G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu) 【數(shù)學理卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試(xx11)】11.已知四面體中, ,,, 平面PBC,則四面體的內(nèi)切球半徑與外接球半徑的比 A. B. C. D. ( ) 【知識點】空間幾何體的結(jié)構(gòu)G1 【答案解析】C 設內(nèi)切球的半徑為r則=+++求出r.把三棱錐補成一個三棱柱,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑R,然后求出內(nèi)切球半徑與外接球半徑的比為。 【思路點撥】利用分割法求出內(nèi)切球的半徑,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑,再求出比值。 G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 【數(shù)學(理)卷xx屆重慶市重慶一中高三上學期第二次月考(xx10)】5.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) 第5題 A. B. C. D. 【知識點】由三視圖求面積、體積.G2 【答案解析】C 解析:由三視圖可知該幾何體,是過一正三棱柱的上底面一邊作截面,截去的部分為三棱錐,而得到的幾何體. 原正三棱錐的底面邊長為2,高為2,體積V1=Sh=2=2. 截去的三棱錐的高為1,體積V2=1= 故所求體積為V=V1﹣V2=,故選A. 【思路點撥】由三視圖可知該幾何體,是過一正三棱柱的上底面一邊作截面,截去的部分為三棱錐,利用間接法求出其體積. 【數(shù)學理卷xx屆黑龍江省雙鴨山一中高三上學期期中考試(xx11) 】6.若某多面體的三視圖(單位:cm), 如圖所示, 其中正視圖與俯視圖均為等腰三角形,則 此多面體的表面積是( ) A. B. C. 15 D. 【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案解析】B 由三視圖可知:該幾何體是一個如圖所示的三棱錐,側(cè)棱PC=4且PC⊥底面,底面是底邊為6、高為4的等腰三角形.在等腰三角形ABC中,CD⊥AB,CD=4,AB=6,∴AC=BC= =5. ∵PC⊥底面ABC,∴PC⊥AC,PC⊥BC,PC⊥CD. ∴S表面積=254+64+64=32+12. 故答案為B. 【思路點撥】由三視圖可知:該幾何體是一個如圖所示的三棱錐,側(cè)棱PC=4且PC⊥底面,底面是底邊為6、高為4的等腰三角形.據(jù)此即可計算出答案. 【數(shù)學理卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試(xx11)】5.一個棱錐的三視圖如圖(單位為cm),則該棱錐的全面積是 ( ) A、4+2 B、4+ C、4+2 D、4+ 【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案解析】A 由三視圖可知:原幾何體是一個如圖所示的三棱錐,點O為邊AC的中點,且PO⊥底面ABC,OB⊥AC,PO=AC=OB=2. 可求得S△PAC=22=2, S△ABC=22=2. ∵PO⊥AC,∴在Rt△POA中,由勾股定理得PA==. 同理AB=BC=PC=PA=.由PO⊥底面ABC,得PO⊥OB, 在Rt△POB中,由勾股定理得PB==2. 由于△PAB是一個腰長為,底邊長為2 的等腰三角形,可求得底邊上的高h==. ∴S△PAB=2=.同理S△PBC=.故該棱錐的全面積=2+2++=4+2. 故答案為4+2. 【思路點撥】由三視圖可知:原幾何體是一個如圖所示的三棱錐,點O為邊AC的中點,且PO⊥底面ABC,OB⊥AC,PO=AC=OB=2.據(jù)此可計算出該棱錐的全面積. 【數(shù)學理卷xx屆湖南省師大附中高三上學期第二次月考(xx10)word版】3、如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是( ) A、54 B、27 C、18 D、9 【知識點】由三視圖求面積、體積.G2 【答案解析】C 解析:由三視圖可知,該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐, ∵底面長和寬分別為3和6,∴其底面面積S=36=18,又∵棱錐的高h=3, 故該幾何體的體積V=Sh=318=18.故選:C 【思路點撥】由已知的三視圖可得:該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐,分別求出底面面積和高,代入錐體體積公式,可得答案. 【數(shù)學理卷xx屆浙江省重點中學協(xié)作體高三第一次適應性測試(xx11)word版】3.一幾何體的三視圖如右圖所示,若主視圖和左視圖都是等腰直角三角形,直角邊長為1,則該幾何體外接球的表面積為( ▲ )。 A. B. C. D. 【知識點】三視圖,球體表面積G2,G8 【答案解析】B 解析:由三視圖可知,此幾何體是四棱錐,是由正方體下底面四個頂點和上底面一個頂點構(gòu)成。此幾何體的外接球就是正方體的外接球,正方體的體對角線是球的直徑,所以半徑R=,球的表面積 。 【思路點撥】由三視圖確定幾何體,應先由三視圖分析原幾何體的特征(注意物體的位置的放置與三視圖的關(guān)系),再利用三視圖與原幾何體的數(shù)據(jù)對應關(guān)系進行解答.一般情況下,錐體或柱體都可以通過長方體和正方體取點得到。 【數(shù)學理卷xx屆浙江省溫州十校(溫州中學等)高三上學期期中聯(lián)考(xx11) 】3.某幾何體的三視圖如圖所示,且該幾何體的體積是3, 則正視圖中的的值是( ) A.2 B. C. D.3 【知識點】簡單空間圖形的三視圖.G2 【答案解析】D 解析:根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐,其直觀圖是: ,.故選D. 【思路點撥】根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐,再利用體積公式求高x即可. 【數(shù)學文卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試(xx11)】9.一個幾何體的三視圖如圖所示,其中主視圖和左視圖是腰長為4的兩個全等的等腰直角三角形,若該幾何體的所有頂點在同一球面上,則該球的表面積是( ). A.12π B.24π C.32π D.48π 【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案解析】D 由三視圖可知該幾何體是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.其中底面ABCD是邊長為4的正方形,高為4, 該幾何體的所有頂點在同一球面上,則球的直徑為4=4, 即球的半徑為2,所以該球的表面積是4π(2)2=48π.故選D. 【思路點撥】該幾何體的直觀圖如圖所示,它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.其中底面ABCD是邊長為4的正方形,高為CC1=4,故可求結(jié)論. 【數(shù)學文卷xx屆貴州省遵義航天高級中學高三上學期第三次模擬考試(xx11)】7. 某幾何體的三視圖如右圖所示,則其體積為 ( ) A. B. C. D. 【知識點】幾何體的三視圖. G2 【答案解析】B 解析:由三視圖可知此幾何體是底面半徑1,高2的半圓錐,所以其體積為,故選B. 【思路點撥】由幾何體的三視圖,分析此幾何體的結(jié)構(gòu),從而求得此幾何體的體積. 【數(shù)學文卷xx屆湖南省師大附中高三上學期第二次月考(xx10)】5、如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是 3 3 3 6 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 A、54 B、27 C、18 D、9 【知識點】幾何體的三視圖. G2 【答案解析】C 解析:由三視圖知該幾何體是底面是長6寬3的矩形,高3的四棱錐,所以此幾何體的體積為,故選C. 【思路點撥】由三視圖得該幾何體的結(jié)構(gòu),從而求得該幾何體的體積. 【數(shù)學文卷xx屆浙江省重點中學協(xié)作體高三第一次適應性測試(xx11)word版】2.一幾何體的三視圖如右圖所示,若主視圖和左視圖都是等腰直角三角形,直角邊長為1,則該幾何體外接球的表面積為( ▲ )。 左視圖 主視圖 俯視圖 (第2題圖) A. B. C. D. 【知識點】三視圖,三棱錐外接球,球的表面積公式G2 G8 【答案解析】B解析:由三視圖可知其直觀圖為底面是正方形的側(cè)棱垂直底面的四棱錐,求其外接球半徑,可采用補圖成為一個邊長為2的正方體的外接球的半徑,半徑為,所以外接球的表面積,故選擇B. 【思路點撥】先由三視圖分析原幾何體的特征(注意物體的位置的放置與三視圖的關(guān)系),再利用三視圖與原幾何體的數(shù)據(jù)對應關(guān)系,確定直觀圖,該幾何體的外接球采用補圖成為長方體求解外接球半徑.. 【數(shù)學文卷xx屆浙江省溫州十校(溫州中學等)高三上學期期中聯(lián)考(xx11)】12.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為____________ 【知識點】由三視圖求面積、體積.G2 【答案解析】 解析:由題意可知幾何體是底面是底面為2的等邊三角形,高為3的直三棱柱,所以幾何體的體積為:.故答案為:. 【思路點撥】通過三視圖復原的幾何體的形狀,結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的體積即可. 【數(shù)學文卷xx屆云南省玉溪一中高三上學期期中考試(xx10)】16、一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的表面積與其外接球面積之比為 . 【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案解析】 由三視圖知,幾何體是一個組合體,是由兩個完全相同的四棱錐底面重合組成,四棱錐的底面是邊長是1的正方形,四棱錐的高是,斜高為, 這個幾何體的表面積為81=2 ∴根據(jù)幾何體和球的對稱性知,幾何體的外接球的直徑是四棱錐底面的對角線是, ∴外接球的表面積是4π()2=2π則這個幾何體的表面積與其外接球面積之比為=故答案為:. 【思路點撥】幾何體是一個組合體,是由兩個完全相同的四棱錐底面重合組成,四棱錐的底面是邊長是1的正方形,四棱錐的高是 ,根據(jù)求和幾何體的對稱性得到幾何體的外接球的直徑是 ,求出表面積及球的表面積即可得出比值. 【數(shù)學文卷xx屆云南省玉溪一中高三上學期期中考試(xx10)】9、一個棱錐的三視圖如右圖所示,則它的體積為( ) A. B. C.1 D. 【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案解析】A 由已知三視圖我們可得:棱錐以俯視圖為底面,以主視圖高為高,故h=1, S底面= (1+2)1= ,故V= S底面h=,故答案為:A 【思路點撥】根據(jù)已知三視圖,我們結(jié)合棱錐的結(jié)構(gòu)特征易判斷出幾何體為四錐錐,結(jié)合三視圖中標識的數(shù)據(jù),我們易求出棱錐的底面面積及棱錐的高,代入棱錐體積公式即可得到答案. G3 平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線 【數(shù)學理卷xx屆浙江省重點中學協(xié)作體高三第一次適應性測試(xx11)word版】4.給定下列兩個關(guān)于異面直線的命題:那么( ▲ )。 命題(1):若平面上的直線與平面上的直線為異面直線,直線是與的交線,那么至多與中的一條相交; 命題(2):不存在這樣的無窮多條直線,它們中的任意兩條都是異面直線。 A.命題(1)正確,命題(2)不正確 B.命題(2)正確,命題(1)不正確 C.兩個命題都正確 D.兩個命題都不正確 【知識點】空間直線與平面 G3 【答案解析】D解析:命題(1)中,至少與中的一條相交;命題(2)中的異面直線是存在的,所以兩個命題都不對。 【思路點撥】熟悉異面直線的畫法,理解異面直線的定義是求解此題的關(guān)鍵。 【數(shù)學文卷xx屆貴州省遵義航天高級中學高三上學期第三次模擬考試(xx11)】6.對于任意的直線l與平面α,在平面α內(nèi)必有直線m,使m與l( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互為異面直線 【知識點】空間直線位置關(guān)系情況分析. G3 【答案解析】C 解析:當直線l與平面α相交時A不成立;當直線l與平面α平行時B不成立;當直線l在平面α內(nèi)時D不成立.故選D. 【思路點撥】采用排除法確定結(jié)論. G4 空間中的平行關(guān)系 【數(shù)學理卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試(xx11)】2.已知平面,則下列命題中正確的是 ( ) A. B. C. D. 【知識點】空間中的平行關(guān)系 空間中的垂直關(guān)系G4 G5 【答案解析】D A選項中b可能跟斜交,B選項中可能與垂直,C選項中a可能與b不垂直,故D選項正確,故選D. 【思路點撥】根據(jù)平面與直線的位置關(guān)系求結(jié)果。 【數(shù)學理卷xx屆湖南省師大附中高三上學期第二次月考(xx10)word版】18、(本小題滿分12分)如圖,四面體A-BCD中,AD⊥面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=,M是AD的中點,P是△BMD的外心,點Q在線段AC上,且。 (Ⅰ)證明:PQ∥平面BCD; (Ⅱ)若二面角C-BM-D的大小為60,求四面體A-BCD的體積。 【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積;直線與平面平行的判定.G4 G7 【答案解析】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) 解析:(Ⅰ)取BD的中點O,在線段CD上取點F,使得DF=3CF,連接OP、OF、FQ ∵△ACD中,AQ=3QC且DF=3CF,∴QF∥AD且QF=AD ∵△BDM中,O、P分別為BD、BM的中點 ∴OP∥DM,且OP=DM,結(jié)合M為AD中點得:OP∥AD且OP=AD ∴OP∥QF且OP=QF,可得四邊形OPQF是平行四邊形 ∴PQ∥OF ∵PQ?平面BCD且OF?平面BCD,∴PQ∥平面BCD; (Ⅱ)過點C作CG⊥BD,垂足為G,過G作GH⊥BM于H,連接CH ∵AD⊥平面BCD,CG?平面BCD,∴AD⊥CG 又∵CG⊥BD,AD、BD是平面ABD內(nèi)的相交直線 ∴CG⊥平面ABD,結(jié)合BM?平面ABD,得CG⊥BM ∵GH⊥BM,CG、GH是平面CGH內(nèi)的相交直線 ∴BM⊥平面CGH,可得BM⊥CH 因此,∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角,可得∠CHG=60 設∠BDC=θ,可得 Rt△BCD中,CD=BDcosθ=2cosθ,CG=CDsinθ=2sinθcosθ,BG=BCsinθ=2sin2θ Rt△BMD中,HG==;Rt△CHG中,tan∠CHG=== ∴tanθ=,可得θ=60,即∠BDC=60, ∵BD=2, ∴CD=, ∴S△BCD==, ∴VA﹣BCD==. 【思路點撥】(Ⅰ)取BD的中點O,在線段CD上取點F,使得DF=3CF,連接OP、OF、FQ.根據(jù)平行線分線段成比例定理結(jié)合三角形的中位線定理證出四邊形OPQF是平行四邊形,從而PQ∥OF,再由線面平行判定定理,證出PQ∥平面BCD;(Ⅱ)過點C作CG⊥BD,垂足為G,過G作GH⊥BM于H,連接CH.根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)證出BM⊥CH,因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角,可得∠CHG=60.設∠BDC=θ,用解直角三角形的方法算出HG和CG關(guān)于θ的表達式,最后在Rt△CHG中,根據(jù)正切的定義得出tan∠CHG,從而得到tanθ,由此可得∠BDC,進而可求四面體A﹣BCD的體積. 【數(shù)學理卷xx屆浙江省重點中學協(xié)作體高三第一次適應性測試(xx11)word版】20.(本小題滿分15分) (第20題圖) 如圖,已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,,,、分別是、的中點,點在直線上,且滿足。 (1)證明:; (2)若平面與平面所成的角為,試確定點的位置。 【知識點】空間平行、垂直關(guān)系,以及線面所成的角G4,G5,G10 【答案解析】(1)略。(2)點P在B1A1的延長線上,且|A1P|=. (1) 證明:如圖,以AB,AC,AA1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系A-xyz. 則P(λ,0,1),N(,,0),M(0,1,), (2分) 從而=(-λ,,-1),=(0,1,), (2分) =(-λ)0+1-1=0,所以PN⊥AM; (3分) (2)平面ABC的一個法向量為n==(0,0,1).(1分) 設平面PMN的一個法向量為m=(x,y,z), 由(1)得=(λ,-1,). (2分) 由 (1分) 解得. (1分) ∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45, ∴|cos〈m,n〉|=||==, (1分) 解得λ=-. 故點P在B1A1的延長線上,且|A1P|=. (2分) 【思路點撥】立體幾何問題一般采用空間向量解比較簡單,首先建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,要求PN⊥AM,只需求=0即可;對于面面角,就求出兩個面的法向量,根據(jù)這兩個法向量的夾角可以確定參數(shù)的值,從而求出P點的位置。 【數(shù)學理卷xx屆浙江省溫州十校(溫州中學等)高三上學期期中聯(lián)考(xx11) 】20.如圖,已知四棱錐,底面為菱形,平面,,分別是的中點. P B E C D F A (Ⅰ)證明:; (Ⅱ)若,求二面角的余弦 值. 【知識點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題;空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.G4 G5 【答案解析】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) 解析:(Ⅰ)證明:由四邊形為菱形,,可得為正三角形. 因為為的中點,所以. 又,因此. 因為平面,平面,所以. 而平面,平面且, 所以平面.又平面, 所以. (7分) (Ⅱ)解法一:因為平面,平面, 所以平面平面. P 過作于,則平面, 過作于,連接, 則為二面角的平面角, S F A D O C E B 在中,,, 又是的中點,在中,, 又, 在中,, 即所求二面角的余弦值為. (14分) 解法二:由(Ⅰ)知兩兩垂直,以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,又分別為的中點,所以 P B E C D F A y z x , , 所以. 設平面的一法向量為, 則因此 取,則, 因為,,, 所以平面, 故為平面的一法向量. 又, 所以. 因為二面角為銳角, 所以所求二面角的余弦值為. 【思路點撥】(Ⅰ)由已知條件推導出AE⊥AD,AE⊥PA,由此能證明AE⊥平面PAD,從而得到AE⊥PD.(Ⅱ)以A為坐標原點,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值. 【數(shù)學理卷xx屆浙江省溫州十校(溫州中學等)高三上學期期中聯(lián)考(xx11) 】4.設是兩條不同的直線, 是兩個不同的平面,下列命題中錯誤的是( ) A.若,,,則 B.若,,,則 C.若,,則 D.若,,,則 【知識點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.G4 G5 【答案解析】D 解析:若,,,則由平面與平面垂直的判定定理得,故A正確; 若,,,則由直線與平面平行的判定定理得,故B正確; 若,,則由平面與平面垂直的判定定理得,故C正確; 若,,,則m與n相交、平行或異面,故D錯誤. 故選:D. 【思路點撥】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解. 【數(shù)學理卷xx屆廣東省陽東一中、廣雅中學高三第一次聯(lián)考(xx10)】18.(本小題滿分14分) B1 C1 A1 B C D 如圖,三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3, D為AC的中點. (1)求證:AB1//面BDC1; (2)求二面角C1—BD—C的余弦值; (3)在側(cè)棱AA1上是否存在點P,使得CP⊥面BDC1?并證明你的結(jié)論. 【知識點】直線與平面平行;二面角;直線與平面垂直.G4,G5,G11 【答案解析】略 解析:解:(I)證明:連接B1C,與BC1相交于O,連接OD ∵BCC1B1是矩形,∴O是B1C的中點. 又D是AC的中點,∴OD//AB1.………………………2分 ∵AB1面BDC1,OD面BDC1,∴AB1//面BDC1.………4分 (II)解:如圖,建立空間直角坐標系,則 C1(0,0,0),B(0,3,2),C(0,3,0),A(2,3,0), D(1,3,0)……………………5分 設=(x1,y1,z1)是面BDC1的一個法向量,則 即.…………………………………………6分 易知=(0,3,0)是面ABC的一個法向量. .……………………………8分 ∴二面角C1—BD—C的余弦值為.…………………………………………9分 (III)假設側(cè)棱AA1上存在一點P(2,y,0)(0≤y≤3),使得CP⊥面BDC1.則∴方程組無解.∴假設不成立. ∴側(cè)棱AA1上不存在點P,使CP⊥面BDC1.……………………………14分 【思路點撥】由條件可證明直線與平面平行,再建立空間坐標系利用向量求出二面角的余弦值,最利用向量進行說明. 【數(shù)學理卷xx屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質(zhì)量檢測(xx11)】7.設是兩條不同的直線, 是兩個不同的平面,下列命題中正確的是 A.若,,則 B.若∥,,則∥ C.若,,則 D.若,∥,∥,則 【知識點】空間中的平行關(guān)系 空間中的垂直關(guān)系G4 G5 【答案解析】D 選項A,若α⊥β,m?α,n?β,則可能m⊥n,m∥n,或m,n異面,故A錯誤;選項B,若α∥β,m?α,n?β,則m∥n,或m,n異面,故B錯誤; 選項C,若m⊥n,m?α,n?β,則α與β可能相交,也可能平行,故C錯誤; 選項D,若m⊥α,m∥n,則n⊥α,再由n∥β可得α⊥β,故D正確.故選D 【思路點撥】由α⊥β,m?α,n?β,可推得m⊥n,m∥n,或m,n異面;由α∥β,m?α,n?β,可得m∥n,或m,n異面;由m⊥n,m?α,n?β,可得α與β可能相交或平行;由m⊥α,m∥n,則n⊥α,再由n∥β可得α⊥β. 【數(shù)學文卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試(xx11)】21.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥ CD, AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD. E和F分別是CD和PC的中點. 求證: (1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. 【知識點】空間中的平行關(guān)系空間中的垂直關(guān)系G4 G5 【答案解析】(1)略(2)略(3)略 (1)因為平面PAD∩平面ABCD=AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,且PA⊥AD.所以PA⊥底面ABCD. (2)因為AB∥CD,CD=2AB,E為CD的中點, 所以AB∥DE,且AB=DE. 所以ABED為平行四邊形.所以BE∥AD. 又因為BE?平面PAD,AD?平面PAD, 所以BE∥平面PAD. (3)因為AB⊥AD,且四邊形ABED為平行四邊形. 所以BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD,從而CD⊥PD. 又E,F(xiàn)分別是CD和CP的中點, 所以EF∥PD,故CD⊥EF.CD?平面PCD, 由EF,BE在平面BEF內(nèi),且EF∩BE=E, ∴CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥平面PCD. 【思路點撥】利用線線平行證明線面平行利用線面垂直證明面面垂直。 【數(shù)學文卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試(xx11)】3.設m,n是兩條不同直線,α,β是兩個不同的平面,下列命題正確的是( ). A.m∥α,n∥β,且α∥β,則m∥n B.m⊥α,n⊥β,且α⊥β,則m⊥n C.m⊥α,n?β,m⊥n,則α⊥β D.m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β 【知識點】空間中的平行關(guān)系 空間中的垂直關(guān)系G4 G5 【答案解析】B 對于A,若m∥α,n∥β且α∥β,說明m、n是分別在平行平面內(nèi)的直線,它們的位置關(guān)系應該是平行或異面,故A錯;對于B,由m⊥α,n⊥β且α⊥β,則m與n一定不平行,否則有α∥β,與已知α⊥β矛盾,通過平移使得m與n相交,且設m與n確定的平面為γ,則γ與α和β的交線所成的角即為α與β所成的角,因為α⊥β,所以m與n所成的角為90,故命題B正確.對于C,根據(jù)面面垂直的性質(zhì),可知m⊥α,n?β,m⊥n,∴n∥α,∴α∥β也可能α∩β=l,也可能α⊥β,故C不正確; 對于D,若“m?α,n?α,m∥β,n∥β”,則“α∥β”也可能α∩β=l,所以D不成立.故選B. 【思路點撥】對于A、由面面平行的判定定理,得A是假命題對于B、由m⊥α,n⊥β且α⊥β,可知m與n不平行,借助于直線平移先得到一個與m或n都平行的平面,則所得平面與α、β都相交,根據(jù)m與n所成角與二面角平面角互補的結(jié)論.對于C、通過直線與平面平行的判定定理以及平面與平面平行的性質(zhì)定理,判斷正誤即可;對于D、利用平面與平面平行的判定定理推出結(jié)果即可. 【數(shù)學文卷xx屆貴州省遵義航天高級中學高三上學期第三次模擬考試(xx11)】19.(本題滿分12分) 如圖,在正三棱柱中,點D在邊BC上,AD⊥C1D. (1)求證:平面ADC1⊥平面BCC1B1; (2)設E是B1C1上的一點,當?shù)闹禐槎嗌贂r,A1E∥平面ADC1? 請給出證明. 【知識點】面面垂直的判定;線面平行的條件. G4 G5 【答案解析】(1)證明:見解析;(2)當?shù)闹禐?時,A1E∥平面ADC1, 證明:見解析. 解析:(1)證明:在正三棱柱中,平面ABC,AD平面ABC , ADC, 又AD,,平面,平面, 平面. 又平面, 平面平面. (2)由(1)得,,在正三角形ABC中,D是BC的中點, 當,即E為得中點時,平面. 證明如下:(如圖)四邊形是矩形,且D,E分別是BC, 的中點,所以 又,, 四邊形為平行四邊形, 而平面,平面, 故平面. 【思路點撥】(1)根據(jù)面面垂直的判定定理,只需在平面ADC1 找到直線與平面BCC1B1垂直即可,此直線為AD;(2)由(1)得D是線段BC的中點,所以E為得中點時,有 ,進而得A1E∥平面ADC1. 【數(shù)學文卷xx屆湖南省師大附中高三上學期第二次月考(xx10)】18、(本小題滿分12分) 如圖,直三棱柱中,AC=BC=1,∠ACB=,點D為AB中點. (1) 求證:面; (2) 若,求二面角的平面角的大小. 【知識點】線面平行的判定;二面角大小的求法. G4 G11 【答案解析】(1)證明:見解析;(2). 解析:(1)證明:連接與交于E,連接ED,則E為中點,又點D是AB中點,則,-------3分 而DE平面,平面,則有平面;-----6分 (2)因為二面角的平面角與二面角的平面角互補,又因為 ,則平面,所以, 則為二面角的平面角,-------9分 在中,, 故,即二面角的平面角大小為-------11分 所以二面角的平面角的大小為.-------12分 【思路點撥】(1)只需 在平面內(nèi)找到直線與直線平行,為此連接與交于E,連接ED,證明即可;(2)由圖知二面角的平面角與二面角的平面角互補,所以先求二面角的平面角大小,可證為二面角的平面角,易求,所以所求二面角大小為. 【數(shù)學文卷xx屆浙江省重點中學協(xié)作體高三第一次適應性測試(xx11)word版】6.設為兩條不同的直線,為兩個不同的平面.下列命題中,正確的是( ▲ )。 A.若與所成的角相等,則 B.若,,則 C.若,,則 D.若,,則 【知識點】空間中直線與平面的位置關(guān)系G4 G5 【答案解析】C解析:A.兩條直線的位置關(guān)系不能確定,所以錯誤;B. 與平面的關(guān)系都有可能,所以錯誤;C.當一條直線與一個平面垂直,與另一個平面平行時,則兩個平面垂直,所以正確;D.兩條直線分別于兩個平面平行,則兩條直線沒有關(guān)系,所以錯誤;故選擇C. 【思路點撥】根據(jù)空間中平面與直線的位置關(guān)系,對錯誤的結(jié)論能找到反例即可. 【數(shù)學文卷xx屆浙江省溫州十校(溫州中學等)高三上學期期中聯(lián)考(xx11)】20.(本小題滿分14分))如圖,在三棱柱中,⊥底面,且△ 為正三角形,,為的中點. (1)求證:直線∥平面; (2)求證:平面⊥平面; (3)求三棱錐的體積. 【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積;平面與平面垂直的判定.G4 G5 G7 【答案解析】(1)見解析; (2) 見解析;(3) 9 解析:(1)證明:連接B1C交BC1于點O,連接OD,則點O為B1C的中點.…………1分 ∵D為AC中點,得DO為中位線,∴.…………………………2分 ∴直線AB1∥平面BC1D ………………………4分 (2)證明:∵底面,∴ ……………………………………5分 ∵底面正三角形,D是AC的中點 ∴BD⊥AC ………………………………6分 ∵,∴BD⊥平面ACC1A1 ……………………………………7分 , …………………8分 (3)由(2)知△ABC中,BD⊥AC,BD=BCsin60=3 ∴ == ………………………………10分 又是底面BCD上的高 ………………………………11分 ∴=??6=9 ………………………13分 【思路點撥】(1)連接B1C交BC1于點O,連接OD,則點O為B1C的中點.可得DO為△AB1C中位線,A1B∥OD,結(jié)合線面平行的判定定理,得A1B∥平面BC1D; (2)由AA1⊥底面ABC,得AA1⊥BD.正三角形ABC中,中線BD⊥AC,結(jié)合線面垂直的判定定理,得BD⊥平面ACC1A1,最后由面面垂直的判定定理,證出平面BC1D⊥平面ACC1A;(3)利用等體積轉(zhuǎn)換,即可求三棱錐C﹣BC1D的體積. 【數(shù)學文卷xx屆浙江省溫州十校(溫州中學等)高三上學期期中聯(lián)考(xx11)】4.設是兩個不同的平面,是一條直線,以下命題正確的是( ) A.若,則 B.若,則 C.若,則 D.若,則 【知識點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.G4 G5 【答案解析】C 解析:A:若,則l∥β或者l?β,所以A錯誤. B:若,則或者,所以B錯誤. C:根據(jù)線面垂直的定義可得:若,則是正確的,所以C正確. D:若,則或者l∥β或者l與β相交,所以D錯誤. 故選C. 【思路點撥】A:由題意可得l∥β或者l?β.B:由題意可得:或者.C:根據(jù)線面垂直的定義可得:若,則是正確的,.D:若,則或者l∥β或者l與β相交. 【數(shù)學文卷xx屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質(zhì)量檢測(xx11)】6.關(guān)于直線,及平面α,β,下列命題中正確的是( ) A.若l∥α,αβ=m,則l∥m B.若∥α,m∥α,則∥m C.若l⊥α,l∥β,則α⊥β D.若l∥α,m⊥l,則m⊥α 【知識點】空間中的平行關(guān)系 空間中的垂直關(guān)系G4 G5 【答案解析】D A.若l∥α,α∩β=m,.則l,m平行或異面,只有l(wèi)?β,才有l(wèi)∥m.故A錯;B.若l∥α,m∥α,則由線面平行的性質(zhì)可得l,m平行、相交、異面,故B錯; C.若l⊥α,l∥β,則由線面平行的性質(zhì)定理,l?γ,γ∩β=m,則l∥m,又l⊥α,故m⊥α,由面面垂直的判定定理得,α⊥β,故C正確; D.若l∥α,m⊥l,則m與α平行、相交或在平面內(nèi),故D錯.故選C. 【思路點撥】由線面平行的性質(zhì)定理可判斷A;又線面平行的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理即可判斷C;由線面平行的性質(zhì)定理可判斷B;由線面平行的性質(zhì)定理可判斷D G5 空間中的垂直關(guān)系 【數(shù)學(理)卷xx屆重慶市重慶一中高三上學期第二次月考(xx10)】19.(本題滿分13分) 如圖,在多面體中,四邊形是正方形,. (1)求證:; (2)求二面角的余弦值. 【知識點】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定.G5 G11 【答案解析】(1)見解析; (2) 解析:(1)作BC的中點E,連接 且,四邊形是平行四邊形, ,則//面 同理,面面 面,面………………………………………6分 (2)四邊形為正方形, , , 由勾股定理可得:, , 同理可得 ,以A 為原點如圖建系。 則 設面的法向量為,則 ,令,則 設面的法向量為,則 則,令,則 所以 所以 ………………………………………13分 【思路點撥】(1) 取BC中點E,連結(jié)AE,C1E,B1E,由已知得四邊形CEB1C1是平行四邊形,AEC1A1是平行四邊形,由此能證明AB1∥面A1C1C. (2)由已知得A1A=AB=AC=1,A1A⊥AB,A1A⊥AC,從而A1A⊥面ABC,以A為原點,以AC為x軸建立坐標系,利用向量法能求出二面角C﹣A1C1﹣B的余弦值的大?。? 【數(shù)學理卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試(xx11)】9 .已知點分別是正方體的棱的中點,點分別是線段與上的點,則與平面垂直的直線有 條。 ( ?。? A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)個 【知識點】空間中的垂直關(guān)系G5 【答案解析】B 設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,以C為原點建立空間直角坐標系, 則D1(2,0,2),E(1,2,0),=(-1,2,-2),C1(0,0,2),F(xiàn)(2,2,1), =(2,2,-1),設,則M(2-λ,2λ,2-2λ), 設,則N(2t,2t,2-t), ∴=(2t-2+λ,2t-2λ,2λ-t), ∵直線MN與平面ABCD垂直,∴,解得λ=t=, ∵方程組只有唯一的一組解,∴與平面ABCD垂直的直線MN有1條.故選:B. 【思路點撥】設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,以C為原點建立空間直角坐標系,利用向量法求出與平面ABCD垂直的直線MN只有1條. 【數(shù)學理卷xx屆浙江省重點中學協(xié)作體高三第一次適應性測試(xx11)word版】20.(本小題滿分15分) (第20題圖) 如圖,已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,,,、分別是、的中點,點在直線上,且滿足。 (1)證明:; (2)若平面與平面所成的角為,試確定點的位置。 【知識點】空間平行、垂直關(guān)系,以及線面所成的角G4,G5,G10 【答案解析】(1)略。(2)點P在B1A1的延長線上,且|A1P|=. (2) 證明:如圖,以AB,AC,AA1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系A-xyz. 則P(λ,0,1),N(,,0),M(0,1,), (2分) 從而=(-λ,,-1),=(0,1,), (2分) =(-λ)0+1-1=0,所以PN⊥AM; (3分) (2)平面ABC的一個法向量為n==(0,0,1).(1分) 設平面PMN的一個法向量為m=(x,y,z), 由(1)得=(λ,-1,). (2分) 由 (1分) 解得. (1分) ∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45, ∴|cos〈m,n〉|=||==, (1分) 解得λ=-. 故點P在B1A1的延長線上,且|A1P|=. (2分) 【思路點撥】立體幾何問題一般采用空間向量解比較簡單,首先建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,要求PN⊥AM,只需求=0即可;對于面面角,就求出兩個面的法向量,根據(jù)這兩個法向量的夾角可以確定參數(shù)的值,從而求出P點的位置。 【數(shù)學理卷xx屆浙江省溫州十校(溫州中學等)高三上學期期中聯(lián)考(xx11) 】20.如圖,已知四棱錐,底面為菱形,平面,,分別是的中點. P B E C D F A (Ⅰ)證明:; (Ⅱ)若,求二面角的余弦 值. 【知識點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題;空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.G4 G5 【答案解析】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) 解析:(Ⅰ)證明:由四邊形為菱形,,可得為正三角形. 因為為的中點,所以. 又,因此. 因為平面,平面,所以. 而平面,平面且, 所以平面.又平面, 所以. (7分) (Ⅱ)解法一:因為平面,平面, 所以平面平面. P 過作于,則平面, 過作于,連接, 則為二面角的平面角, S F A D O C E B 在中,,, 又是的中點,在中,, 又, 在中,, 即所求二面角的余弦值為. (14分) 解法二:由(Ⅰ)知兩兩垂直,以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,又分別為的中點,所以 P B E C D F A y z x , , 所以. 設平面的一法向量為, 則因此 取,則, 因為,,, 所以平面, 故為平面的一法向量. 又, 所以. 因為二面角為銳角, 所以所求二面角的余弦值為. 【思路點撥】(Ⅰ)由已知條件推導出AE⊥AD,AE⊥PA,由此能證明AE⊥平面PAD,從而得到AE⊥PD.(Ⅱ)以A為坐標原點,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值. 【數(shù)學理卷xx屆浙江省溫州十校(溫州中學等)高三上學期期中聯(lián)考(xx11) 】4.設是兩條不同的直線, 是兩個不同的平面,下列命題中錯誤的是( ) A.若,,,則 B.若,,,則 C.若,,則 D.若,,,則 【知識點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.G4 G5 【答案解析】D 解析:若,,,則由平面與平面垂直的判定定理得,故A正確; 若,,,則由直線與平面平行的判定定理得,故B正確; 若,,則由平面與平面垂直的判定定理得,故C正確; 若,,,則m與n相交、平行或異面,故D錯誤. 故選:D. 【思路點撥】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解. 【數(shù)學理卷xx屆廣東省陽東一中、廣雅中學高三第一次聯(lián)考(xx10)】18.(本小題滿分14分) B1 C1 A1 B C D 如圖,三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3, D為AC的中點. (1)求證:AB1//面BDC1; (2)求二面角C1—BD—C的余弦值; (3)在側(cè)棱AA1上是否存在點P,使得CP⊥面BDC1?并證明你的結(jié)論. 【知識點】直線與平面平行;二面角;直線與平面垂直.G4,G5,G11 【答案解析】略 解析:解:(I)證明:連接B1C,與BC1相交于O,連接OD ∵BCC1B1是矩形,∴O是B1C的中點. 又D是AC的中點,∴OD//AB1.………………………2分 ∵AB1面BDC1,OD面BDC1,∴AB1//面BDC1.………4分 (II)解:如圖,建立空間直角坐標系,則 C1(0,0,0),B(0,3,2),C(0,3,0),A(2,3,0), D(1,3,0)……………………5分 設=(x1,y1,z1)是面BDC1的一個法向量,則 即.…………………………………………6分 易知=(0,3,0)是面ABC的一個法向量. .……………………………8分 ∴二面角C1—BD—C的余弦值為.…………………………………………9分 (III)假設側(cè)棱AA1上存在一點P(2,y,0)(0≤y≤3),使得CP⊥面BDC1.則∴方程組無解.∴假設不成立. ∴側(cè)棱AA1上不存在點P,使CP⊥面BDC1.……………………………14分 【思路點撥】由條件可證明直線與平面平行,再建立空間坐標系利用向量求出二面角的余弦值,最利用向量進行說明. 【數(shù)學理卷xx屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質(zhì)量檢測(xx11)】19.(本小題滿分12分)如圖在圓錐中,已知,⊙O的直徑,是弧A B P O D C 的中點,為的中點. (Ⅰ)證明:平面平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值. 【知識點】空間中的垂直關(guān)系G5 【答案解析】(Ⅰ)略(Ⅱ) (Ⅰ)連接OC,∵OA=OC,D是AC的中點 ∴AC⊥OD又∵PO⊥底面⊙O,AC?底面⊙O∴AC⊥PO ∵OD、PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線 ∴AC⊥平面POD,而AC?平面PAC ∴平面POD⊥平面PAC (Ⅱ)在平面POD中,過O作OH⊥PD于H,由(Ⅰ)知,平面POD⊥平面PAC所以OH⊥平面PAC, 又∵PA?平面PAC∴PA⊥HO 在平面PAO中,過O作OG⊥PA于G,連接GH,則有PA⊥平面OGH,從而PA⊥HG.故∠OGH為二面角B-PA-C的平面角,在Rt△ODA中,OD=OA?sin45= 在Rt△ODP中,OH= = = 在Rt△OPA中,OG= = = 在Rt△OGH中,sin∠OGH= = 所以cos∠OGH= ==故二面角B-PA-C的余弦值為 【思路點撥】(Ⅰ)連接OC,先根據(jù)△AOC是等腰直角三角形證出中線OD⊥AC,再結(jié)合PO⊥AC證出AC⊥POD,利用平面與平面垂直的判定定理,可證出平面POD⊥平面PAC; (Ⅱ)過O分別作OH⊥PD于H,OG⊥PA于G,再連接GH,根據(jù)三垂線定理證明∠OGH為二面角B-PA-C的平面角,最后分別在Rt△ODA、Rt△ODP、Rt△OGH中計算出OH、OG和sin∠OGH,最后求出所求二面角的余弦值. 【數(shù)學理卷xx屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質(zhì)量檢測(xx11)】7.設是兩條不同的直線, 是兩個不同的平面,下列命題中正確的是 A.若,,則 B.若∥,,則∥ C.若,,則 D.若,∥,∥,則 【知識點】空間中的平行關(guān)系 空間中的垂直關(guān)系G4 G5 【答案解析】D 選項A,若α⊥β,m?α,n?β,則可能m⊥n,m∥n,或m,n異面,故A錯誤;選項B,若α∥β,m?α,n?β,則m∥n,或m,n異面,故B錯誤; 選項C,若m⊥n,m?α,n?β,則α與β可能相交,也可能平行,故C錯誤; 選項D,若m⊥α,m∥n,則n⊥α,再由n∥β可得α⊥β,故D正確.故選D 【思路點撥】由α⊥β,m?α,n?β,可推得m⊥n,m∥n,或m,n異面;由α∥β,m?α,n?β,可得m∥n,或m,n異面;由m⊥n,m?α,n?β,可得α與β可能相交或平行;由m⊥α,m∥n,則n⊥α,再由n∥β可得α⊥β. 【數(shù)學文卷xx屆貴州省遵義航天高級中學高三上學期第三次模擬考試(xx11)】19.(本題滿分12分) 如圖,在正三棱柱中,點D在邊BC上,AD⊥C1D. (1)求證:平面ADC1⊥平面BCC1B1; (2)設E是B1C1上的一點,當?shù)闹禐槎嗌贂r,A1E∥平面ADC1? 請給出證明. 【知識點】面面垂直的判定;線面平行的條件. G4 G5 【答案解析】(1)證明:見解析;(2)當?shù)闹禐?時,A1E∥平面ADC1, 證明:見解析. 解析:(1)證明:在正三棱柱中,平面ABC,AD平面ABC , ADC, 又AD,,平面,平面, 平面. 又平面, 平面平面. (2)由(1)得,,在正三角形ABC中,D是BC的中點, 當,即E為得中點時,平面. 證明如下:(如圖)四邊形是矩形,且D,E分別是BC, 的中點,所以 又,, 四邊形為平行四邊形, 而平面,平面, 故平面. 【思路點撥】(1)根據(jù)面面垂直的判定定理,只需在平面ADC1 找到直線與平面BCC1B1垂直即可,此直線為AD;(2)由(1)得D是線段BC的中點,所以E為得中點時,有 ,進而得A1E∥平面ADC1. 【數(shù)學文卷xx屆浙江省溫州十校(溫州中學等)高三上學期期中聯(lián)考(xx11)】20.(本小題滿分14分))如圖,在三棱柱中,⊥底面,且△ 為正三角形,,為的中點. (1)求證:直線∥平面; (2)求證:平面⊥平面; (3)求三棱錐的體積. 【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積;平面與平面垂直的判定.G4 G5 G7 【答案解析】(1)見解析; (2) 見解析;(3) 9 解析:(1)證明:連接B1C交BC1于點O,連接OD,則點O為B1C的中點.…………1分 ∵D為AC中點,得DO為中位線,∴.…………………………2分 ∴直線AB1∥平面BC1D ………………………4分 (2)證明:∵底面,∴ ……………………………………5分 ∵底面正三角形,D是AC的中點 ∴BD⊥AC …………………………- 配套講稿:
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- 2019-2020年高三數(shù)學總復習分類匯編 第三期 G單元 立體幾何 2019 2020 年高 數(shù)學 復習 分類 匯編 第三 單元
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