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2019-2020年高三第二次模擬考試 理科數(shù)學 含解析 本試卷共4頁，150分。考試時間長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。 一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項. 1.若﹁p∨q是假命題，則 A. p∧q是假命題B. p∨q是假命題C. p是假命題D. ﹁q是假命題 【答案】A 若﹁p∨q是假命題，則，都為為假命題，所以為真命題，為為假命題，所以p∧q是假命題，選A. 2.下列四個函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在定義域上單調(diào)遞增的是 A. B. C. D. 【答案】C A,為非奇非偶函數(shù).B在定義域上不單調(diào)。D為非奇非偶函數(shù)。所以選C. 3.如圖，是⊙O上的四個點，過點B的切線與的 延長線交于點E.若，則 A. B. C. D. 【答案】B 因為A，B，C，D是⊙O上的四個點，所以∠A+∠BCD=180，因為∠BCD=110，所以∠A=70．因為BE與⊙O相切于點B，所以∠DBE=∠A=70．故選B． 4.設(shè)平面向量，若//，則等于 A. B. C. D. 【答案】D 因為//，所以，解得。所以，即。所以，選D. 5.已知是不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的兩個不同的點，則的最大值是 A. B. C. D. 【答案】 B 作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的四邊形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），,D（1，2），因為M、N是區(qū)域內(nèi)的兩個不同的點，所以運動點M、N，可得當M、N分別與對角線BD的兩個端點重合時，距離最遠，因此|MN|的最大值是|,選B. 6.已知數(shù)列的前項和為,,,則 A. B. C. D. 【答案】C 由得，所以，即。所以數(shù)列是以為首項，公比的等比數(shù)列，所以，選C. 7.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積為 A． B. C. D. 【答案】A 視圖復原的幾何體是長方體的一個角，如圖：直角頂點處的三條棱長分別為，其中斜側(cè)面的高為。所以幾何體的表面積為，選A. 8.定義運算 ，稱 為將點映到點的 一次變換.若＝ 把直線上的各點映到這點本身，而把直線 上的各點映到這點關(guān)于原點對稱的點.則的值依次是 A. B. C. D. 【答案】B 設(shè)是直線上的點，在定義運算的作用下的點的坐標為。則有。設(shè)是直線上的點，在定義運算的作用下的點的坐標為。則有。兩式聯(lián)立解得，選B. 二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分. 9.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點的坐標為 . 【答案】 ,對應(yīng)的點的坐標為. 10.直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則直線的斜率為 . 【答案】 消去參數(shù)得直線的標準方程為，即，所以直線的斜率為 11.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是.，則 . 【答案】 由正弦定理得，解得.因為，所以,即,所以. 12.若展開式中的二項式系數(shù)和為，則等于 ，該展開式中的常數(shù)項為 . 【答案】 由題意知，所以。所以展開式的通項公式為。由得。所以常數(shù)項為。 13.拋物線的焦點坐標為，則拋物線的方程為 ，若點在拋物線 上運動，點在直線上運動，則的最小值等于 . 【答案】， 因為拋物線的焦點坐標為，所以。所以拋物線的方程為。設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，與拋物線聯(lián)立得，即。當判別式時，解得，即切線方程為。所以兩平行線的距離為。所以的最小值等于。 14.在數(shù)列中，如果對任意的，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為 比等差數(shù)列，稱為比公差．現(xiàn)給出以下命題： ①若數(shù)列滿足，則該數(shù)列不是比等差數(shù)列； ②若數(shù)列滿足，則數(shù)列是比等差數(shù)列，且比公差； ③等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列； ④若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列是比等差數(shù)列． 其中所有真命題的序號是 . 【答案】①② ①由得。，因為，，所以，即①數(shù)列不是比等差數(shù)列。所以①正確。②若數(shù)列滿足，則，所以為常數(shù)，所以數(shù)列是比等差數(shù)列，且比公差，正確。③若等比數(shù)列的公比為,則為常數(shù)，所以一定是比等差數(shù)列。當?shù)炔顢?shù)列為時，有，為比等差數(shù)列。所以③錯誤。④若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，不妨設(shè)，則，所以，，所以不是常數(shù)，所以數(shù)列不是比等差數(shù)列，所以④錯誤，即真命題的序號①②。 三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明, 演算步驟或證明過程. 15.（本小題滿分13分） 已知函數(shù)的最小正周期為，且圖象過點. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. 16.（本小題滿分14分） 如圖, 是正方形， 平面， ，. (Ⅰ) 求證：； (Ⅱ) 求二面角的余弦值； （Ⅲ）設(shè)點是線段上一個動點，試確定點的位置， 使得平面，證明你的結(jié)論. 17.（本小題滿分13分） 小明從家到學校有兩條路線，路線1上有三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；路線2上有兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為． （Ⅰ）若小明上學走路線1，求最多遇到1次紅燈的概率； （Ⅱ）若小明上學走路線2，求遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學期望； （Ⅲ）按照“平均遇到紅燈次數(shù)越少為越好”的標準，請你幫助小明從上述兩條路線中選擇一條最好的上學路線，并說明理由． 18.（本小題滿分13分） 已知函數(shù)（）. （Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）當時，取得極值. ① 若，求函數(shù)在上的最小值； ② 求證：對任意，都有. 19.（本小題滿分14分） 已知橢圓：的離心率為，且過點．直線 交橢圓于,（不與點重合）兩點． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明 理由． 20.（本小題滿分13分） 設(shè)，對于項數(shù)為的有窮數(shù)列，令為中的最大值，稱數(shù)列為的“創(chuàng)新數(shù)列”．例如數(shù)列3，5，4，7的創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，7．考查自然數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列． （Ⅰ）若，寫出創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，5，5的所有數(shù)列； （Ⅱ）是否存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出符合條件的創(chuàng)新數(shù)列；若不存在，請說明理由； （Ⅲ）是否存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的數(shù)列的個數(shù)；若不存在，請說明理由． 房山區(qū)xx年高考第二次模擬考試參考答案 數(shù) 學 （理科） xx.05 一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分. 1A 2C 3B 4D 5B 6C 7A 8B 二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分. 9. 10. 11. 12. 13. 14. ①② 三、解答題: 本大題共6小題,共80分. 15（本小題滿分13分） （Ⅰ）由最小正周期為可知 ， ………………2分 由得 ， 又， 所以 ， ………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 所以 …………………………………………………………………9分 解 得 ……………………………12分 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為. …………………………………………………13分 16（本小題滿分14分） (Ⅰ)證明： 因為平面， 所以. ……………………1分 因為是正方形， 所以， 所以平面, …………………3分 從而 ……………………4分 (Ⅱ)解：因為兩兩垂直， 所以建立空間直角坐標系如圖所示. …………5分 設(shè)，可知. ……………………6分 則 ,，，，，， 所以，， ………………7分 設(shè)平面的法向量為，則，即， 令，則. …………………8分 因為平面，所以為平面的法向量， ， 所以 ………………………………………9分 因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為. …………10分 (Ⅲ)解：點是線段上一個動點，設(shè). 則， 因為平面， 所以， ……………11分 即，解得. ……………13分 此時，點坐標為，，符合題意. ……………14分 17（本小題滿分13分） （Ⅰ）設(shè)走路線1最多遇到1次紅燈為A事件，則 ． ………………2分 （Ⅱ）依題意，的可能取值為0，1，2． ， ， ． ………………………………8分 隨機變量的分布列為： 0 1 2 P ………………………………………………9分 ． ………………10分 （Ⅲ）設(shè)選擇路線1遇到紅燈次數(shù)為，則， 所以． ………………12分 因為，所以選擇路線1上學最好． ………………13分 18（本小題滿分13分） （Ⅰ） …………1分 當時， 解得或, 解得 ……………2分 所以單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為………3分 （Ⅱ）①當時，取得極值， 所以 解得（經(jīng)檢驗符合題意） ……………4分 + 0 - 0 + ↗ ↘ ↗ 所以函數(shù)在，遞增，在遞減. ……5分 當時，在單調(diào)遞減， ………………6分 當時 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， . ………………7分 當時，在單調(diào)遞增， ……………………8分 綜上，在上的最小值 ……………………9分 ②令 得（舍） 因為 所以 ……………11分 所以，對任意，都有 ……………13分 19（本小題滿分14分） （Ⅰ）， ， ，， ． ------------------------------------------3分 （Ⅱ）設(shè) ， ， 由 ① ②----------------------5分 ， --------------------8分 設(shè)為點到直線BD：的距離， --------------------10分 ----------------------13分 當且僅當時等號成立 所以當時，的面積最大，最大值為----------------14分 20（本小題滿分13分） （Ⅰ）由題意，創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，5，5的所有數(shù)列有6個， 3，5，1，2，4； ……………………………………………………………2分 3，5，1，4，2；　　　 3，5，2，1，4； 3，5，2，4，1； 3，5，4，1，2； 3，5，4，2，1；………………………………………………………………4分 （Ⅱ）存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列． 設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為， 因為為前個自然數(shù)中最大的一個，所以．若為等比數(shù)列， 設(shè)公比為，因為，所以．……………7分 當時，為常數(shù)列滿足條件，即為數(shù)列 當時，為增數(shù)列，符合條件的數(shù)列只能是， 又不滿足等比數(shù)列．綜上符合條件的創(chuàng)新數(shù)列只有一個． ………………………………………………………………8分 （Ⅲ）存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列， 設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，因為為前個自然數(shù)中最大的一個， 所以．若為等差數(shù)列，設(shè)公差為， 因為，所以．且 當時，為常數(shù)列滿足條件，即為數(shù)列（或?qū)懲椆剑? 此時數(shù)列是首項為的任意一個排列，共有個數(shù)列； ………………………………………11分 當時，符合條件的數(shù)列只能是，此時數(shù)列是， 有1個； 當時， 又 這與矛盾，所以此時不存在. 綜上滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為個（或回答個）． ……………………………………………13分