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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第6課 推與證明復(fù)習與小結(jié) 蘇教版選修1-2 教學(xué)目標： 1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用． 2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理． 3．了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點． 教學(xué)重點： 了解本章知識結(jié)構(gòu)；進一步感受和體會常用的數(shù)學(xué)思維模式和證明方法． 教學(xué)難點： 靈活選擇并運用所學(xué)知識解決問題. 教學(xué)過程： 一、 基本回顧 本章知識結(jié)構(gòu)： 歸納推理 類比推理 直接證明 間接證明 分析法 綜合法 反證法 演繹推理 合情推理 證明 推理與證明 推理 基礎(chǔ)知識過關(guān)： （1）合情推理包括 推理、 推理． （2） 稱為歸納推理；它是一種由 到 ，由 到 的推理． （3） 稱為類比推理；它是一種由 到 的推理． （4）歸納推理的一般步驟是：① ，② ． （5）類比推理的一般步驟是：① ，② ． （6）從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們稱這種推理為 ，它是一種由 到 的推理． （7） 和 是直接證明的兩種基本方法． （8）反證法證明問題的一般步驟：① ；② ； ③ ；④ ． . 二、 典例研究 例1 （1）觀察下列兩等式的規(guī)律，請寫出一個（包含下面兩命題）一般性的命題：① ② ． （2）考察下列一組不等式： 將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是 . （3）已知，計算得，，， ，，由此推測：當時，有 ． 例2 （1）在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1:2，則它們的面積比為1:4．類似地，在空間內(nèi)，若兩個正四面體的棱長的比為1:2，則它們的體積比為 ． （2）若數(shù)列是等差數(shù)列，對于，則數(shù)列也是等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，若數(shù)列是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，對于，則 時，數(shù)列也是等比數(shù)列． （3）已知橢圓具有性質(zhì)：若是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點，點是橢圓上的任意一點，當直線的斜率都存在時，則是與點位置無關(guān)的定值，試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)． 例3 若的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，分別用綜合法和分析法證明：． 證明：（分析法）要證， 只需證， 即證， ∵的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，∴， 由余弦定理得，即， 故原命題成立． （綜合法）∵的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，∴， 由余弦定理得，即， 或， 兩邊同除以得． 說明：分析法和綜合法是兩種常用的直接證明方法．分析法的特點是執(zhí)果索因，綜合法的特點是由因?qū)Ч?，分析法常用來探尋解題思路，綜合法常用來書寫解題過程． 例4　已知，求證：不能同時大于． 分析：“不能同時大于”包含多種情形，不易直接證明，可考慮反證法． 證明：假設(shè)同時大于， 即，∵， ∴三式同向相乘得， 又， 同理， 這與假設(shè)矛盾，故原命題得證． 說明：反證法屬于“間接證明法”，是從反面的角度思考問題的證明方法．用反證法證明命題“若p則q”時，可能會出現(xiàn)以下三種情況： （1）導(dǎo)出非p為真，即與原命題的條件矛盾； （2）導(dǎo)出q為真，即與假設(shè)“非q為真”矛盾； （3）導(dǎo)出一個恒假命題． 使用反證法證明問題時，準確地作出反設(shè)（即否定結(jié)論），是正確運用反證法的前提．當遇到否定性、惟一性、無限性、至多、至少等類型問題時，常用反證法．