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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 平擺線和漸開線練習(xí) 北師大版選修4-4 1給出下列說法： ①圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程； ②圓的漸開線的參數(shù)方程也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題； ③在求圓的平擺線和漸開線方程時(shí)，如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同，可能會(huì)得到不同的參數(shù)方程； ④圓的漸開線和x軸一定有交點(diǎn)而且是唯一的交點(diǎn)． 其中正確的說法有(　　)． A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④ 2平擺線(0≤t≤2π)與直線y＝2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是(　　)． A．(π－2,2) B．(3π＋2,2) C．(π－2,2)或(3π＋2,2) D．(π－3,5) 3如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中AE，EF，F(xiàn)G，GH…的圓心依次按B，C，D，A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH的長(zhǎng)是(　　)． A．3π B．4π C．5π D．6π 4我們知道關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的平擺線(φ為參數(shù))關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的曲線的參數(shù)方程為(　　)． A．(φ為參數(shù)) B．(φ為參數(shù)) C．(φ為參數(shù)) D．(φ為參數(shù)) 5半徑為3的圓的平擺線上某點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，那么其橫坐標(biāo)為__________． 6已知圓的方程為x2＋y2＝4，點(diǎn)P為其漸開線上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________． 7已知平擺線的生成圓的直徑為80 mm，寫出平擺線的參數(shù)方程，并求其一拱的拱寬和拱高． 8已知圓的漸開線(φ為參數(shù)，0≤φ＜2π)上有一點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，求漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的面積．  參考答案 1 答案：C　對(duì)于一個(gè)圓，只要半徑確定，漸開線和平擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇坐標(biāo)系的不同，其在坐標(biāo)系中的位置也會(huì)不同，相應(yīng)的參數(shù)方程也會(huì)有所區(qū)別，至于漸開線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)要看選取的坐標(biāo)系的位置． 2答案：C　由y＝2得2＝2(1－cos t)，∴cos t＝0. ∵0≤t≤2π，∴或. ∴x1＝＝π－2， x2＝＝3π＋2. ∴交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(π－2,2)或(3π＋2,2)． 3答案：C　根據(jù)漸開線的定義可知，是半徑為1的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為2的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為π；是半徑為3的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為；是半徑為4的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為2π.所以曲線AEFGH的長(zhǎng)是5π. 4答案：B　關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的函數(shù)互為反函數(shù)，而求反函數(shù)的過程主要體現(xiàn)了x與y的互換．所以要寫出平擺線方程關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱曲線方程，只需把其中的x與y互換． 5 答案：6kπ(k∈Z)　∵r＝3，∴平擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 把y＝0代入，得cos φ＝1. ∴sin φ＝0，∴φ＝2kπ(k∈Z)． ∴x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)． 6 答案：(π，2)　由題意，圓的半徑r＝2，其漸開線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 當(dāng)時(shí)，x＝π，y＝2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(π，2)． 7答案：解：∵平擺線的生成圓的半徑r＝40 mm，∴此平擺線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，它一拱的拱寬為2πr＝2π40＝80π(mm)，拱高為2r＝240＝80(mm)． 8 答案：解：把已知點(diǎn)(3,0)代入?yún)?shù)方程得解得所以基圓的面積S＝πr2＝π32＝9π.