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2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十章 概率階段測試卷 文 一、 選擇題(每小題5分，共60分) 1. 把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(C) A. 對立事件　 B. 不可能事件 C. 互斥但不對立事件 D. 以上答案都不對 由于甲和乙有可能一人得到紅牌，一人得不到紅牌，也有可能甲、乙兩人都得不到紅牌，故兩事件為互斥但不對立事件． 2. 取一根長度為4 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1 m的概率是(C) A. 　　　　　　　　 B. 　　　　　　 C. 　　　　　　　 D. 把繩子4等分，當(dāng)剪斷點位于中間兩部分時，兩段繩子都不少于1 m，故所求概率為P＝＝. 3. (xx赤峰模擬)先后拋擲硬幣三次，則至少一次正面朝上的概率是(D) A. 　　 B. C. 　　 D. 至少一次正面朝上的對立事件的概率為，故P＝1－ ＝. 4. 從{1，2，3，4，5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1，2，3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是(D) A. 　 B. C. 　　 D. 所有的基本事件為： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共15種．其中b>a的基本事件個數(shù)有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3種，故所求概率為，即，故選D. 5. 從含有4個元素的集合的所有子集中任取一個，所取的子集是含有2個元素的集合的概率是(D) A. 　　 B. 　 C. 　　 D. 4個元素的集合共16個子集，其中含有兩個元素的子集有6個，故所求概率為P＝＝. 6. 某班準(zhǔn)備到郊外野營，為此向商店定了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準(zhǔn)時收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運到，他們就不會淋雨，則下列說法正確的是(D) A. 一定不會淋雨　　 B. 淋雨的可能性為 C. 淋雨的可能性為　　 D. 淋雨的可能性為 基本事件有“下雨帳篷到”“不下雨帳篷到”“下雨帳篷未到”“不下雨帳篷未到”4種情況，而只有“下雨帳篷未到”時會淋雨，故淋雨的可能性為. 7. (xx湛江一模)在線段AB上任取一點P，以P為頂點，B為焦點作拋物線，則該拋物線的準(zhǔn)線與線段AB有交點的概率是(B) A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 設(shè)線段AB中點為C，以P為頂點，B為焦點作拋物線，如圖所示．根據(jù)拋物線的對稱性，則點P落在線段CB上時，滿足拋物線的準(zhǔn)線與線段AB有交點．因此，事件“拋物線的準(zhǔn)線與線段AB有交點”的概率P＝＝. 8. 如圖所示，在半徑為R的圓內(nèi)隨機撒一粒黃豆，它落在圓的內(nèi)接正三角形(陰影部分)內(nèi)的概率是(D) A. B. C. D. ∵S圓＝πR2，S△＝3R2sin 120＝R2，∴所求的概率為＝. 9. 設(shè)集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分別從集合A和集合B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點P(a，b)，記“點P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為(D) A. 3 B. 4 C. 2和5 D. 3和4 點P(a，b)的個數(shù)共有23＝6(個)，落在直線x＋y＝2上的概率P(C2)＝；落在直線x＋y＝3上的概率P(C3)＝；落在直線x＋y＝4上的概率P(C4)＝；落在直線x＋y＝5上的概率P(C5)＝，故選D. 10. (xx江南十校聯(lián)考)第16屆亞運會于2010年11月12日在中國廣州舉行，運動會期間從來自A大學(xué)的2名志愿者和來自B大學(xué)的4名志愿者中隨機抽取2人到體操比賽場館服務(wù)，至少有一名A大學(xué)志愿者的概率是(C) A. B. C. D. 記2名來自A大學(xué)的志愿者為A1，A2，4名來自B大學(xué)的志愿者為B1，B2，B3，B4.從這6名志愿者中選出2名基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15種．其中至少有一名A大學(xué)志愿者的事件有9種．故所求概率P＝＝.故選C. 11. 在一張打方格的紙上投一枚直徑為1的硬幣，要使得硬幣與方格線不相交的概率小于1%，則方格的邊長(方格邊長設(shè)為a)的取值范圍為(C) A. 　　 B. C. D. 硬幣與方格線不相交，則a＞1時，才可能發(fā)生，在每一個方格內(nèi)，當(dāng)硬幣的圓心落在邊長為a－1，中心與方格的中心重合的小正方形內(nèi)時，硬幣與方格線不相交，故硬幣與方格線不相交的概率P＝，由＜1%，得1＜a＜. 12. 集合A＝{(x，y)|y≥|x－1|，x∈N}，集合B＝{(x，y)|y≤－x＋5，x∈N}，先后擲兩顆骰子，設(shè)擲第一顆骰子得到的點數(shù)記作a，擲第二顆骰子得到的點數(shù)記作b，則(a，b)∈A∩B的概率等于(B) A. 　　 B. 　 C. 　　 D. 根據(jù)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，可知A∩B對應(yīng)的整數(shù)點有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)共8個．現(xiàn)先后拋擲2顆骰子，所得點數(shù)分別有6種，共會出現(xiàn)36種結(jié)果．∴滿足(a，b)∈A∩B的概率為＝. 二、 填空題(每小題 5 分，共 20 分) 13. 在人民商場付款處排隊等候付款的人數(shù)及其概率如下： 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 則至少有兩人排隊的概率為__0.74__． P＝1－(0.1＋0.16)＝0.74. 14. (xx廣東六校聯(lián)考)盒子里共有大小相同的3個白球，1個黑球．若從中隨機摸出兩個球，則它們的顏色不同的概率是____． 設(shè)3個白球為A，B，C，1個黑球為d，則從中隨機摸出兩只球的所有可能情況有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd，共6種，其中兩只球顏色不同的有3種，故所求概率為. 15. (xx溫州測試)將一枚骰子投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為____． 圓心(2，0)到直線ax－by＝0的距離d＝，當(dāng)d<時，直線與圓相交，則由d＝<，得b>a，滿足題意的b>a共有15種情況，因此直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為＝. 16. 在體積為V的三棱錐S－ABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐S－APC的體積大于的概率是____． 由題意可知>，三棱錐S－ABC的高與三棱錐S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，則PM，BN分別為△APC與△ABC的高，∴＝＝>，又＝，∴>，故所求的概率為(即為長度之比)． 三、 解答題(共70分) 17. (10分)射箭比賽的箭靶涂有 5 個彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)分別為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色，金色靶心叫“黃心”，奧運會的比賽靶面直徑是122 cm，靶心直徑12.2 cm，運動員在70 m外射箭，假設(shè)都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點是等可能的，求射中“黃心”的概率． 記“射中黃心”為事件A，由于中靶點隨機的落在面積為 π1222 cm2的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點在面積為 π12.22 cm2的黃心時，事件A發(fā)生，(4分) 于是事件A發(fā)生的概率P(A)＝＝0.01， ∴射中“黃心”的概率為0.01.(10分) 18. (10分)(xx深圳調(diào)研)一個袋中有4個大小相同的小球，其中紅球1個，白球2個，黑球1個，現(xiàn)從袋中有放回地取球，每次隨機取一個． (1)求連續(xù)取兩次都是白球的概率； (2)假設(shè)取一個紅球記2分，取一個白球記1分，取一個黑球記0分，若連續(xù)取三次，則分?jǐn)?shù)之和為4分的概率是多少？ 設(shè)兩個白球分別為白1，白2.(1)連續(xù)取兩次的基本事件有：(紅，紅)，(紅，白1)，(紅，白2)，(紅，黑)；(白1，紅)(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，紅)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，紅)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16個．(2分) 連續(xù)取兩次都是白球的基本事件有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4個，故所求概率為P1＝＝.(5分) (2)連續(xù)取三次的基本事件有：(紅，紅，紅)，(紅，紅，白1)，(紅，紅，白2)，(紅，紅，黑)；(紅，白1，紅)，(紅，白1，白1)，(紅，白1，白2)，(紅，白1，黑)，…，共64個．(7分) ∵取一個紅球記2分，取一個白球記1分，取一個黑球記0分，若連續(xù)取三次，則分?jǐn)?shù)之和為4分的基本事件如下： (紅，白1，白1)，(紅，白1，白2)，(紅，白2，白1)，(紅，白2，白2)，(白1，紅，白1)，(白1，紅，白2)，(白2，紅，白1)，(白2，紅，白2)，(白1，白1，紅)，(白1，白2，紅)，(白2，白1，紅)，(白2，白2，紅)，(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(黑，紅，紅)，共15個，故所求概率為.(10分) 19. (12分)2012年9月7日云南省昭通市發(fā)生5.7級地震后，某市根據(jù)上級要求，要從本市人民醫(yī)院報名參加救援的護(hù)理專家、外科專家、心理治療專家8名志愿者中，各抽調(diào)1名專家組成一個醫(yī)療小組與省專家組一起赴昭通進(jìn)行醫(yī)療救助，其中A1，A2，A3是護(hù)理專家，B1，B2，B3是外科專家，C1，C2是心理治療專家． (1)求A1恰被選中的概率； (2)求B1和C1不全被選中的概率． (1)從8名志愿者中選出護(hù)理專家、外科專家、心理治療專家各1名，其一切可能的結(jié)果為： (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共有18個基本事件．(6分) 用M表示“A1恰被選中”這一事件，則M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6個基本事件． ∴P(M)＝＝.(8分) (2)用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件，則其對立事件N表示“B1和C1全被選中”這一事件， 由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3個基本事件，∴P(N)＝＝，(10分) 由對立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－＝.(12分) 20. (12分)某班同學(xué)利用寒假在5個居民小區(qū)內(nèi)選擇兩個小區(qū)逐戶進(jìn)行一次“低碳生活習(xí)慣”的調(diào)查，以計算每戶的碳月排放量．若月排放量符合低碳標(biāo)準(zhǔn)的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”．若小區(qū)內(nèi)有至少75%的住戶屬于“低碳族”，則稱這個小區(qū)為“低碳小區(qū)”，否則稱為“非低碳小區(qū)”．已知備選的5個居民小區(qū)中有3個非低碳小區(qū)，2個低碳小區(qū)． (1)求所選的兩個小區(qū)恰有一個為“非低碳族小區(qū)”的概率； (2)假定選擇的“非低碳小區(qū)”為小區(qū)A，調(diào)查顯示其“低碳族”的比例為，數(shù)據(jù)如圖①所示，經(jīng)過同學(xué)們的大力宣傳，三個月后，又進(jìn)行了一次調(diào)查，數(shù)據(jù)如圖②所示，問這時小區(qū)A是否達(dá)到“低碳小區(qū)”的標(biāo)準(zhǔn)？ ,①) ,②) (1)設(shè)三個“非低碳小區(qū)”為A，B，C，兩個“低碳小區(qū)”為m，n，用(x，y)表示選定的兩個小區(qū)，x，y∈{A，B，C，m，n}，(2分) 則從5個小區(qū)中任選兩個小區(qū)，所有可能的結(jié)果有10個，它們是(A，B)，(A，C)，(A，m)，(A，n)，(B，C)，(B，m)，(B，n)，(C，m)，(C，n)，(m，n)．(5分) 用D表示“選出的兩個小區(qū)恰有一個為非低碳小區(qū)”這一事件，則D中的結(jié)果有6個，它們是：(A，m)，(A，n)，(B，m)，(B，n)，(C，m)，(C，n)．(7分) 故所求概率為P(D)＝＝.(8分) (2)由圖①可知碳月排放量不超過300千克的屬于“低碳族”． 由圖②可知，三個月后的低碳族的比例為0.07＋0.23＋0.46＝0.76＞0.75，(10分) ∴三個月后小區(qū)A達(dá)到了“低碳小區(qū)”的標(biāo)準(zhǔn)．(12分) 21. (12分)(xx濟南調(diào)研)已知向量a＝(2，1)，b(x，y)． (1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率； (2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夾角是鈍角的概率． (1)設(shè)“a∥b”為事件A，由a∥b，得x＝2y. 基本事件空間為Ω＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)}，共包含12個基本事件； 其中事件A包含2個基本事件：{(0，0)，(2，1)}． 則P(A)＝＝，即向量a∥b的概率為.(6分) (2)設(shè)“a，b的夾角是鈍角”為事件B，由a，b的夾角是鈍角，可得ab＜0，即2x＋y＜0，且x≠2y. 基本事件空間為Ω＝， B＝， 則由圖可知，P(B)＝＝＝，即向量a，b的夾角是鈍角的概率是.(12分) 22. (14分)某電視生產(chǎn)廠家今年推出A，B，C，D四種款式的電視機，每種款式電視機的外觀均有黑色、銀白色兩種．該廠家三月份的電視機產(chǎn)量(單位：臺)如下表： A款式 B款式 C款式 D款式 黑色 150 200 200 x 銀白色 160 180 200 150 若按電視機的款式采取分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的電視機中抽取70臺，其中C款式的電視機有20臺． (1)求x的值； (2)若在C款式電視機中按顏色進(jìn)行分層抽樣抽取一個容量為6的樣本，然后將該樣本看成一個總體，從中任取2臺，求取出的恰是1臺黑色、1臺銀白色電視機的概率； (3)若從A款式電視機中隨機抽取10臺，并對其進(jìn)行檢測，它們的得分分別為94，92，92，96，97，95，98，90，94，97.如果把這10臺電視機的得分看做一個樣本，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過2的概率． (1)設(shè)該廠本月生產(chǎn)電視機共n臺，由題意得＝，解得n＝1 400，∴x＝1 400－(150＋160＋200＋180＋200＋200＋150)＝1 400－1 240＝160，即x的值為160.(4分) (2)在C款式電視機中按顏色進(jìn)行分層抽樣抽取一個容量為6的樣本，即抽取了3臺黑色電視機(分別記為a，b，c)，3臺銀白色電視機(分別記為d，e，f)，從中任取兩臺的取法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15種．(7分) 而恰是1臺黑色、1臺銀白色電視機的取法有(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，共9種， ∴所求概率為＝，即取出的恰是1臺黑色、1臺銀白色電視機的概率為.(10分) (3)樣本平均數(shù)為(94＋92＋92＋96＋97＋95＋98＋90＋94＋97)＝94.5，那么與樣本平均數(shù)的絕對值不超過2的數(shù)有94，96，95，94，共4個，∴該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過2的概率為＝.(14分)