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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 課時作業(yè)28 簡單的線性規(guī)劃問題 新人教版必修5 1．有5輛6噸的汽車，4輛4噸的汽車，要運(yùn)送最多的貨物，完成這項運(yùn)輸任務(wù)的線性目標(biāo)函數(shù)為(　　) A．z＝6x＋4y　　　　　　 B．z＝5x＋4y C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y 答案　A 解析　設(shè)需x輛6噸汽車，y輛4噸汽車，則運(yùn)輸貨物的噸數(shù)為z＝6x＋4y，即目標(biāo)函數(shù)z＝6x＋4y. 2．某學(xué)校用800元購買A、B兩種教學(xué)用品，A種用品每件100元，B種用品每件160元，兩種用品至少各買一件，要使剩下的錢最少，A、B兩種用品應(yīng)各買的件數(shù)為(　　) A．2件，4件 B．3件，3件 C．4件，2件 D．不確定 答案　B 解析　設(shè)買A種用品x件，B種用品y件，剩下的錢為z元，則 求z＝800－100x－160y取得最小值時的整數(shù)解(x，y)，用圖解法求得整數(shù)解為(3,3)． 3．在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機(jī)運(yùn)往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)．現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用．每輛甲型貨車運(yùn)輸費(fèi)用400元，可裝洗衣機(jī)20臺；每輛乙型貨車運(yùn)輸費(fèi)用300元，可裝洗衣機(jī)10臺．若每輛車至多只運(yùn)一次，則該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為(　　) A．2 000元 B．2 200元 C．2 400元 D．2 800元 答案　B 解析　設(shè)需使用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，運(yùn)輸費(fèi)用z元，根據(jù)題意，得線性約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝400x＋300y，畫圖可知，當(dāng)平移直線400x＋300y＝0至經(jīng)過點(diǎn)(4,2)時，z取最小值2 200. 4．某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件則x＝10x＋10y的最大值是________． 答案　90 解析　先畫出滿足約束條件的可行域，如圖中陰影部分所示． 由解得 但x∈N*，y∈N*，結(jié)合圖知當(dāng)x＝5，y＝4時，zmax＝90. 5．鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表： a b(萬噸) c(百萬元) A 50% 1 3 B 70% 0.5 6 某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費(fèi)用為________(百萬元)． 答案　15 解析　設(shè)購買鐵礦石A、B分別為x，y萬噸，購買鐵礦石的費(fèi)用為z(百萬元)， 則 目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋6y. 由得 記P(1,2)，畫出可行域，如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋6y過點(diǎn)P(1,2)時，z取最小值，且最小值為zmin＝31＋62＝15. 6．某企業(yè)擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品每件體積為5 m3，重量為2噸，運(yùn)出后，可獲利潤10萬元；乙種產(chǎn)品每件體積為4 m3，重量為5噸，運(yùn)出后，可獲利潤20萬元，集裝箱的容積為24 m3，最多載重13噸，裝箱可獲得最大利潤是________． 答案　60萬元 解析　設(shè)甲種產(chǎn)品裝x件，乙種產(chǎn)品裝y件(x，y∈N)，總利潤為z萬元，則 且z＝10x＋20y. 作出可行域，如圖中的陰影部分所示． 作直線l0：10x＋20y＝0，即x＋2y＝0.當(dāng)l0向右上方平移時z的值變大，平移到經(jīng)過直線5x＋4y＝24與2x＋5y＝13的交點(diǎn)(4,1)時，zmax＝104＋201＝60(萬元)，即甲種產(chǎn)品裝4件、乙種產(chǎn)品裝1件時總利潤最大，最大利潤為60萬元． 7．某工廠用兩種不同的原料均可生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成本1 000元，運(yùn)費(fèi)500元，可得產(chǎn)品90 kg，若采用乙種原料，每噸成本1 500元，運(yùn)費(fèi)400元，可得產(chǎn)品100 kg.如果每月原料的總成本不超過6 000元，運(yùn)費(fèi)不超過2 000元，那么工廠每月最多可生產(chǎn)多少產(chǎn)品？ 解析　將已知數(shù)據(jù)列成下表： 每噸甲原料 每噸乙原料 費(fèi)用限制 成本(元) 1 000 1 500 6 000 運(yùn)費(fèi)(元) 500 400 2 000 產(chǎn)品(kg) 90 100 設(shè)此工廠每月甲乙兩種原料各用x(t)、y(t)，生產(chǎn)z(kg)產(chǎn)品，則 即z＝90x＋100y. 作出以上不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域． 作直線l：90x＋100y＝0，即9x＋10y＝0. 把l向右上方移動到位置l1時，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，且與原點(diǎn)距離最大，此時z＝90x＋100y取得最大值． ∴zmax＝90＋100＝440. 因此工廠最多每天生產(chǎn)440 kg產(chǎn)品． 8．某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)訂午餐和晚餐．已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐？ 解析　方法一　設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位，所花的費(fèi)用為z元，則依題意得：z＝2.5x＋4y，且x，y滿足 即 z在可行域的四個頂點(diǎn)A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)處的值分別是zA＝2.59＋40＝22.5， zB＝2.54十43＝22， zC＝2.52＋45＝25， zD＝2.50＋48＝32. 比較之，zB最小，因此，應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，就可滿足要求． 方法二　設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位，所花的費(fèi)用為z元，則依題意得：z＝2.5x＋4y，且x，y滿足 即 讓目標(biāo)函數(shù)表示的直線2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)處取得最小值． 因此，應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，就可滿足要求． 1．車間有男工25人，女工20人，要組織甲、乙兩種工作小組，甲組有5名男工，3名女工，乙組有4名男工，5名女工，并且要求甲組種數(shù)不少于乙組，乙種組數(shù)不少于1組，則最多各能組成工作小組為(　　) A．甲4組、乙2組 B．甲2組、乙4組 C．甲、乙各3組 D．甲3組、乙2組 答案　D 解析　設(shè)甲、乙兩種工作分別有x、y組，依題意有作出可行域可知(3,2)符合題意，即甲3組，乙2組． 2．某運(yùn)輸公司接受了向抗洪搶險地區(qū)每天至少運(yùn)送180 t支援物資的任務(wù)，該公司有8輛載重為6 t的A型卡車和4輛載重為10 t的B型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車4次，B型卡車3次，每輛卡車每天往返的成本費(fèi)用為A型卡車320元，B型卡車504元，請你給該公司調(diào)配車輛，使公司所花的成本費(fèi)用最低． 解析　設(shè)每天調(diào)出A型卡車x輛，B型卡車y輛，公司所花的成本為z元，依題意有 ? 目標(biāo)函數(shù)z＝320x＋504y(其中x，y∈N)． 上述不等式組所確定的平面區(qū)域如圖所示．由圖易知，直線z＝320x＋504y在可行域內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)中，點(diǎn)(5,2)使z＝320x＋504y取得最小值，z最小值＝3205＋5042＝2608(元)． 即調(diào)A型卡車5輛，B型卡車2輛時，公司所花的成本費(fèi)用最低． 3．醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐，甲種原料每10 g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價3元；乙種原料每10 g含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì)，售價2元．若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)，試問：應(yīng)如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養(yǎng)需要、又使費(fèi)用最?。? 【解析】　設(shè)甲、乙兩種原料分別用10x g和10y g， 需要的費(fèi)用為z＝3x＋2y. 病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)，可表示為5x＋7y≥35；同理，對鐵質(zhì)的要求可以表示為10x＋4y≥40. 這樣，問題成為在約束條件 下，求目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2y的最小值． 作出可行域，如圖，令z＝0，作直線l0：3x＋2y＝0. 由圖形可知，把直線l0平移至經(jīng)過頂點(diǎn)A時，z取最小值． 由得A(，3)． 所以用甲種原料10＝28(g)， 乙種原料310＝30(g)，費(fèi)用最?。?