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2019-2020年高考數學專題復習 第44講 古典概型練習 新人教A版 [考情展望]　1.考查古典概型概率公式的應用，尤其是古典概型與互斥、對立事件的綜合問題更是高考的熱點.2.在解答題中古典概型常與統計相結合進行綜合考查，考查學生分析和解決問題的能力，難度以中檔題為主． 一、基本事件的特點 1．任何兩個基本事件是互斥的． 2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 古典概型中基本事件數的計算方法 (1)列舉法：此法適合于較簡單的試驗． (2)樹狀圖法：樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適合較復雜問題中基本事件數的探求． (3)列表法：對于表達形式有明顯二維特征的事件采用此法較為方便． (4)排列、組合數公式法． 二、古典概型 1．定義 具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． ︱ 2．古典概型的概率公式 P(A)＝. 1．甲、乙、丙三名同學站成一排，甲站在中間的概率是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【解析】　甲、乙、丙三名同學站成一排，有6個基本事件，其中甲站在中間的基本事件有2個，故所求概率為P＝＝. 【答案】　C 2．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為(　　) A. B. C. D. 【解析】　甲、乙兩位同學參加3個小組的所有可能性有33＝9種，其中，甲、乙參加同一小組的情況有3種． 故甲、乙參加同一個興趣小組的概率P＝＝. 【答案】　A 3．三張卡片上分別寫上字母E，E，B，將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為________． 【解析】　三張卡片隨機排成一行的基本事件有BEE，EBE，EEB，共3個， 故所求概率為P＝. 【答案】　 4．從1,2,3,4這四個數中一次隨機地取兩個數，則其中一個數是另一個數的兩倍的概率是________． 【解析】　從1,2,3,4中隨機取兩個數，不同的結果為{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共有6個基本事件．滿足一個數是另一個數兩倍的取法有{1,2}，{2,4}共兩種，∴所求事件的概率P＝＝. 【答案】　 5．(xx江西高考)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個數，則這兩數之和等于4的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　從A，B中各任取一個數有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6個基本事件，滿足兩數之和等于4的有(2,2)，(3,1)2個基本事件，所以P＝＝. 【答案】　C 6．(xx課標全國卷Ⅱ)從n個正整數1,2，…，n中任意取出兩個不同的數，若取出的兩數之和等于5的概率為，則n＝________. 【解析】　由題意知n＞4，取出的兩數之和等于5的有兩種情況：1,4和2,3，所以P＝＝，即n2－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8. 【答案】　8 考向一 [184]　古典概型的概率 　(1)某藝校在一天的5節(jié)課中隨機安排語文、數學、外語三門文化課和其他兩門藝術課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術課的概率為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. (2)甲口袋中裝有大小相同的標號分別為1,2,3,4的4個小球，乙口袋中裝有大小相同的標號分別為2,3,4,5的4個小球．現從甲、乙口袋中各取一個小球． ①求兩球標號之積為偶數的概率； ②設ξ為取出的兩球的標號之差的絕對值，求對任意x∈R，不等式x2＋3x＋ξ≥0恒成立的概率． 【思路點撥】　(1)把5門課全排列得到5門課一天的所有排法種數，分類求出相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術課的排法種數，然后利用古典概型概率計算公式求概率． (2)依題意，所求事件的概率滿足古典概型，分別求基本事件總數與所求事件所包含的基本事件個數，進而利用古典概型概率公式計算． 【嘗試解答】　(1)一天中5節(jié)課的安排情況共有A＝120種． 相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術課的排法分3類． (1)語文、數學、外語三門文化課之間沒有藝術課，可把3節(jié)文化課捆綁在一起與2門藝術課全排列，排法種數為AA＝36種； (2)語文、數學、外語三門文化課全排列，之間產生3個空，有兩門之間插1節(jié)藝術課，另兩門文化課相鄰，排法種數為ACAA＝48種； (3)語文、數學、外語三門文化課每兩門之間插1節(jié)藝術課，排法種數為AA＝12種． 故在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術課的概率為＝. 【答案】　A (2)①設兩球標號之積為偶數為事件A，則其對立事件為兩球標號之積為奇數， P(A)＝1－P()＝1－＝. ②對任意x∈R，不等式x2＋3x＋ξ≥0恒成立， 則x2＋3x＋ξ＝0的判別式，Δ≤9,9－ξ≤0. 又ξ∈N，ξ＝2,3,4. 當ξ＝2時，甲取1乙取3，甲取2乙取4，甲取3乙取5，甲取4乙取2； 當ξ＝3時，甲取1乙取4，甲取2乙取5； 當ξ＝4時，甲取1乙取5， 概率為P＝＝. 規(guī)律方法1　1.有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數.2.(1)用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉.(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數原理的正確使用. 對點訓練　(1)如圖10－5－1， 圖10－5－1 給定由6個點(任意相鄰兩點距離為1)組成的正三角形點陣，在其中任意取2個點，則兩點間的距離為2的概率是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. (2)甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． ①若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，求選出的2名教師性別相同的概率； ②若從報名的6名教師中任選2名，求選出的2名老師來自同一學校的概率． 【解析】　(1)從6個點中選出2個的選法共有C＝15種 若使得取出的兩點中距離為2，則只能是三角形的頂點中任意取出2個，只有3種情況P＝＝ 故選B. 【答案】　B (2)①從甲、乙兩校報名的教師中各選1名，共有n＝CC＝9種選法． 記“2名教師性別相同”為事件A，則事件A包含基本事件總數m＝C1＋C1＝4，∴P(A)＝＝. ②從報名的6人中任選2名，有n＝C＝15種選法． 記“選出的2名老師來自同一學?！睘槭录﨎，則事件B包含基本事件總數m＝2C＝6. ∴選出2名教師來自同一學校的概率P(B)＝＝. 考向二 [185]　古典概型與統計的綜合應用 　某高校在xx年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如圖所示． 組號 分組 頻數 頻率 第1組 [160,165) 5 0.050 第2組 [165,170) 35 0.350 第3組 [170,175) 30 0.300 第4組 [175,180) 20 0.200 第5組 [180,185] 10 0.100 合計 100 1.00 (1)為了能選拔出最優(yōu)秀的學生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試？ (2)在(1)的前提下，學校決定在這6名學生中，隨機抽取2名學生接受A考官進行面試，求第4組至少有一名學生被考官A面試的概率？ 【思路點撥】　(1)根據分層抽樣方法求解． (2)利用古典概型公式計算． 【嘗試解答】　(1)∵第3、4、5組共有60名學生， ∴利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組分別為： 第3組：6＝3人， 第4組：6＝2人， 第5組：6＝1人， ∴第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人． (2)由題意知本題是一個古典概型， 試驗發(fā)生包含的事件是從六位同學中抽兩位同學有C＝15種 滿足條件的事件是第4組至少有一名學生被考官A面試有CC＋1＝9種結果， ∴至少有一位同學被A面試的概率為＝ 規(guī)律方法2　有關古典概型與統計結合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點，概率與統計結合題，無論是直接描述還是利用概率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決. 對點訓練　某校高三學生體檢后，為了解高三學生的視力情況，該校從高三六個班的300名學生中以班為單位(每班學生50人)，每班按隨機抽樣抽取了8名學生的視力數據，其中高三(1)班抽取的8名學生的視力數據與人數見下表： 視力數據 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人數 2 2 2 1 1 (1)用上述樣本數據估計高三(1)班學生視力的平均值； (2)已知其余五個班學生視力的平均值分別為4.3、4.4,4.5、4.6、4.8.若從這六個班中任意抽取兩個班學生視力的平均值作比較，求抽取的兩個班學生視力的平均值之差的絕對值不大于0.2的概率． 【解】　(1)高三(1)班學生視力的平均值為＝4.7， 故用上述樣本數據估計高三(1)班學生視力的平均值為4.7， (2)從這六個班中任意抽取兩個學生視力的平均值作比較，所有的取法共有C＝15種，而滿足抽取的兩個班學生視力的平均值的絕對值不大于0.2的取法有 (4.3,4.5)、(4.3,4.6)、(4.3,4.7)、(4.3,4.8)、(4.4,4.6)、(4.4,4.7)、(4.4,4.8)、(4.5,4.7)、(4.5,4.8)、(4.6,4.8)，共有9個，故抽取的兩個班學生視力的平均值之差的絕對值不大于0.2的概率為＝. 規(guī)范解答之二十一　古典概型問題求解策略 第一步：理清題意，列出所有基本事件，計算基本事件總數；第二步：分析所求事件，找出所求事件的個數；第三步：根據古典概型概率公式求解得出結論． ————[1個示范例]————[1個規(guī)范練]———— 　(12分)袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標號分別為1,2,3；藍色卡片兩張，標號分別為1,2. (1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一張標號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率． 【規(guī)范解答】　(1)標號為1,2,3的三張紅色卡片分別記為A，B，C，標號為1,2的兩張藍色卡片分別記為D，E，從五張卡片中任取兩張的所有可能的結果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)(C，E)，(D，E)共10種.3分 由于每一張卡片被取到的機會均等，因此這些基本事件的出現是等可能的． 從五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4的結果為(A，D)，(A，E)，(B，D)共3種.5分 所以這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4的概率為.6分 (2)記F是標號為0的綠色卡片，從六張卡片中任取兩張的所有可能的結果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15種.9分 由于每一張卡片被取到的機會均等，因此這些基本事件的出現是等可能的． 從六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4的結果為(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)共8種.11分 所以這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4的概率為.12分 【名師寄語】　(1)在列舉基本事件空間時，易漏掉或重復計數，故要特別關注細節(jié)，使解題結果準確過程完善.(2)在解決該類問題時，必要時要先將所求事件轉化為彼此互斥的事件的和，或者先去求對立事件的概率，進而再用互斥事件的概率加法公式或對立事件的概率公式求出所求事件的概率. (xx泰安二模)學校游園活動有一個游戲項目：箱子里裝有3個紅球，2個白球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從箱子里摸出3個球，若摸出的是3個紅球為優(yōu)秀；若摸出的2個紅球1個白球為良好；否則為合格． (1)求在1次游戲中獲得優(yōu)秀的概率； (2)求在1次游戲中獲得良好及以上的概率． 【解】　將3個紅球編號1,2,3；2個白球編號為4,5. 則從5個球中摸出3個球的所有可能情況為： (123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)共10種． 令D表示在1次游戲中獲得優(yōu)秀的事件，則獲得優(yōu)秀的情況為(123)共一種， E表示在1次游戲中獲得良好的事件，則獲得良好的情況為(124)，(125)，(134)，(135)，(234)，(235)共6種． F表示在1次游戲中獲得良好及以上的事件． (1)P(D)＝； (2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝＋＝.